2013年中考数学试卷分类汇编-代数综合

为您服务教育网 1 代数综合代数综合 1 2013 德州 下列函数中 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大的是 A y x 1B y x2 1 C 1 y x D y x2 1 考点 二次函数的性质 一次函数的性质 反比例函数的性质 分析 根据二次函数 一次函数 反比例函数的增减性 结合自变量的取值范围 逐一判 断 解答 解 A y x 1 一次函数 k 0 故 y 随着 x 增大而减小 错误 B y x2 1 x 0 故当图象在对称轴右侧 y 随着 x 的增大而增大 而在对称轴 左侧 x 0 y 随着 x 的增大而减小 正确 C y k 1 0 在每个象限里 y 随 x 的增大而减小 错误 D y x2 1 x 0 故当图象在对称轴右侧 y 随着 x 的增大而减小 而在对称轴 左侧 x 0 y 随着 x 的增大而增大 错误 故选 B 点评 本题综合考查二次函数 一次函数 反比例函数的增减性 单调性 是一道难度中 等的题目 2 2013 攀枝花 如图 抛物线 y ax2 bx c 经过点 A 3 0 B 1 0 C 0 3 1 求抛物线的解析式 2 若点 P 为第三象限内抛物线上的一点 设 PAC 的面积为 S 求 S 的最大值并求出此 时点 P 的坐标 3 设抛物线的顶点为 D DE x 轴于点 E 在 y 轴上是否存在点 M 使得 ADM 是直角三 角形 若存在 请直接写出点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 考点 二次函数综合题 分析 1 已知抛物线上的三点坐标 利用待定系数法可求出该二次函数的解析式 2 过点 P 作 x 轴的垂线 交 AC 于点 N 先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式 设 P 点坐标为 x x2 2x 3 根据 AC 的解析式表示出点 N 的坐标 再根据 S PAC S PAN S PCN就可以表示出 PAC 的面积 运用顶点式就可以求出结论 为您服务教育网 2 3 分三种情况进行讨论 以 A 为直角顶点 以 D 为直角顶点 以 M 为直角 顶点 设点 M 的坐标为 0 t 根据勾股定理列出方程 求出 t 的值即可 解答 解 1 由于抛物线 y ax2 bx c 经过 A 3 0 B 1 0 可设抛物线的解析 式为 y a x 3 x 1 将 C 点坐标 0 3 代入 得 a 0 3 0 1 5 解得 a 1 则 y x 3 x 1 x2 2x 3 所以抛物线的解析式为 y x2 2x 3 2 过点 P 作 x 轴的垂线 交 AC 于点 N 设直线 AC 的解析式为 y kx m 由题意 得 解得 直线 AC 的解析式为 y x 3 设 P 点坐标为 x x2 2x 3 则点 N 的坐标为 x x 3 PN PE NE x2 2x 3 x 3 x2 3x S PAC S PAN S PCN S PN OA 3 x2 3x x 2 当 x 时 S 有最大值 此时点 P 的坐标为 3 在 y 轴上是否存在点 M 能够使得 ADE 是直角三角形 理由如下 y x2 2x 3 y x 1 2 4 顶点 D 的坐标为 1 4 A 3 0 AD2 1 3 2 4 0 2 20 设点 M 的坐标为 0 t 分三种情况进行讨论 当 A 为直角顶点时 如图 3 由勾股定理 得 AM2 AD2 DM2 即 0 3 2 t 0 2 20 0 1 2 t 4 2 解得 t 所以点 M 的坐标为 0 当 D 为直角顶点时 如图 3 由勾股定理 得 DM2 AD2 AM2 即 0 1 2 t 4 2 20 0 3 2 t 0 2 解得 t 为您服务教育网 3 所以点 M 的坐标为 0 当 M 为直角顶点时 如图 3 由勾股定理 得 AM2 DM2 AD2 即 0 3 2 t 0 2 0 1 2 t 4 2 20 解得 t 1 或 3 所以点 M 的坐标为 0 1 或 0 3 综上可知 在 y 轴上存在点 M 能够使得 ADE 是直角三角形 此时点 M 的坐标为 0 或 0 或 0 1 或 0 3 为您服务教育网 4 点评 本题考查的是二次函数综合题 涉及到用待定系数法求一次函数 二次函数的解析 式 三角形的面积 二次函数的顶点式的运用 勾股定理等知识 难度适中 运用 数形结合 分类讨论及方程思想是解题的关键 3 2013 达州压轴题 如图 在直角体系中 直线 AB 交 x 轴于点 A 5 0 交 y 轴于点 B AO 是 M 的直径 其半圆交 AB 于点 C 且 AC 3 取 BO 的中点 D 连接 CD MD 和 OC 1 求证 CD 是 M 的切线 2 二次函数的图象经过点 D M A 其对称轴上有一动点 P 连接 PD PM 求 PDM 的周长最小时点 P 的坐标 3 在 2 的条件下 当 PDM 的周长最小时 抛物线上是否存在点 Q 使 1 6 QAMPDM SS AA 若存在 求出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 解析 1 证明 连结 CM OA 为 M 直径 OCA 90 OCB 90 D 为 OB 中点 DC DO DCO DOC 1 分 MO MC MCO MOC 2 分 DCM DCO MCO DOC MOC DOM 90 3 分 为您服务教育网 5 又 点 C 在 M 上 DC 是 M 的切线 4 分 2 解 在 Rt ACO 中 有 OC 22 ACOA 又 A 点坐标 5 0 AC 3 OC 22 35 4 tan OAC OA OB AC OC 53 4OB 解得 OB 3 20 又 D 为 OB 中点 OD 3 10 D 点坐标为 0 3 10 5 分 连接 AD 设直线 AD 的解析式为 y kx b 则有 0 5 3 10 bk b j 解得 3 2 3 10 k b 直线 AD 为 y 3 2 x 3 10 二次函数的图象过 M 2 5 0 A 5 0 抛物线对称轴 x 4 15 6 分 点 M A 关于直线 x 4 15 对称 设直线 AD 与直线 x 4 15 交于点 P PD PM 为最小 又 DM 为定长 满足条件的点 P 为直线 AD 与直线 x 4 15 的交点 7 分 当 x 4 15 时 y 3 2 4 15 3 10 6 5 故 P 点的坐标为 4 15 6 5 8 分 3 解 存在 S PDM S DAM S PAM 2 1 AM yD 2 1 AM yP 2 1 AM yD yp 为您服务教育网 6 S QAM 2 1 AM Q y 由 2 知 D 0 3 10 P 4 15 6 5 6 1 3 10 6 5 yQ 解得 yQ 12 5 9 分 二次函数的图像过 M 0 2 5 A 5 0 设二次函数解析式为 y a x 2 5 x 5 又 该图象过点 D 0 3 10 a 2 5 5 3 10 a 15 4 y 15 4 x 2 5 x 5 10 分 又 C 点在抛物线上 且 yQ 12 5 15 4 x 2 5 x 5 12 5 解之 得 x1 4 2515 x2 4 2515 x3 4 15 点 Q 的坐标为 4 2515 12 5 或 4 2515 12 5 或 4 15 12 5 12 分 4 2013 天津压轴题 已知抛物线 y1 ax2 bx c a 0 的对称轴是直线 l 顶点为点 M 若自变量 x 和函数值 y1的部分对应值如下表所示 求 y1与 x 之间的函数关系式 若经过点 T 0 t 作垂直于 y 轴的直线 l A 为直线 l 上的动点 线段 AM 的垂 直平分线交直线 l 于点 B 点 B 关于直线 AM 的对称点为 P 记 P x y2 1 求 y2与 x 之间的函数关系式 2 当 x 取任意实数时 若对于同一个 x 有 y1 y2恒成立 求 t 的取值范围 x 103 y1 ax2 bx c 00 考点 二次函数综合题 专题 探究型 分析 I 先根据物线经过点 0 得出 c 的值 再把点 1 0 3 0 代入抛物 线 y1的解析式即可得出 y1与 x 之间的函数关系式 为您服务教育网 7 II 先根据 I 中 y1与 x 之间的函数关系式得出顶点 M 的坐标 记直线 l 与直线 l 交于点 C 1 t 当点 A 与点 C 不重合时 由已知得 AM 与 BP 互相垂直平分 故可得出四边形 ANMP 为菱形 所以 PA l 再由点 P x y2 可知点 A x t x 1 所以 PM PA y2 t 过点 P 作 PQ l 于点 Q 则点 Q 1 y2 故 QM y2 3 PQ AC x 1 在 Rt PQM 中 根据勾股定理 即可得出 y2与 x 之间的函数关系式 再由当点 A 与点 C 重合时 点 B 与点 P 重合可 得出 P 点坐标 故可得出 y2与 x 之间的函数关系式 据题意 借助函数图象 当抛物线 y2开口方向向上时 可知 6 2t 0 即 t 3 时 抛物线 y1的顶点 M 1 3 抛物线 y2的顶点 1 由于 3 所以 不合题意 当抛物线 y2开口方向向下时 6 2t 0 即 t 3 时 求出 y1 y2的值 若 3t 11 0 要使 y1 y2恒成立 只要抛物线方向及且顶点 1 在 x 轴下 方 因为 3 t 0 只要 3t 11 0 解得 t 符合题意 若 3t 11 0 y1 y2 0 即 t 也符合题意 解答 解 抛物线经过点 0 c y1 ax2 bx 点 1 0 3 0 在抛物线 y1 ax2 bx 上 解得 y1与 x 之间的函数关系式为 y1 x2 x II y1 x2 x y1 x 1 2 3 直线 l 为 x 1 顶点 M 1 3 由题意得 t 3 如图 记直线 l 与直线 l 交于点 C 1 t 当点 A 与点 C 不重合时 由已知得 AM 与 BP 互相垂直平分 四边形 ANMP 为菱形 PA l 又 点 P x y2 点 A x t x 1 为您服务教育网 8 PM PA y2 t 过点 P 作 PQ l 于点 Q 则点 Q 1 y2 QM y2 3 PQ AC x 1 在 Rt PQM 中 PM2 QM2 PQ2 即 y2 t 2 y2 3 2 x 1 2 整理得 y2 x 1 2 即 y2 x3 x 当点 A 与点 C 重合时 点 B 与点 P 重合 P 1 P 点坐标也满足上式 y2与 x 之间的函数关系式为 y2 x3 x t 3 根据题意 借助函数图象 当抛物线 y2 开口方向向上时 6 2t 0 即 t 3 时 抛物线 y1的顶点 M 1 3 抛物线 y2的顶点 1 3 不合题意 当抛物线 y2开口方向向下时 6 2t 0 即 t 3 时 y1 y2 x 1 2 3 x 1 2 x 1 2 若 3t 11 0 要使 y1 y2恒成立 只要抛物线 y x 1 2 开口方向向下 且顶点 1 在 x 轴下方 3 t 0 只要 3t 11 0 解得 t 符合题意 若 3t 11 0 y1 y2 0 即 t 也符合题意 综上 可以使 y1 y2恒成立的 t 的取值范围是 t 为您服务教育网 9 点评 本题考查的是二次函数综合题 涉及到待定系数法二次函数解的解析式 勾股定理 及二次函数的性质 解答此类题目时要注意数形结合思想的运用 5 2013 年江西省压轴题 已知抛物线抛物线y n x an 2 an n为正整数 且 0 a1 a2 0 a1 1 即y1 x 1 2 1 方法一 令y1 0 代入得 x 1 2 1 0 x1 0 x2 2 y1与x轴交于A0 0 0 A1 2 0 b1 2 方法二 y1 x a1 2 a1与x轴交于点A0 0 0 b1 1 2 1 0 b1 2 或 0 b1 0 舍去 b1 2 又 抛物线y2 x a2 2 a2与x轴交于点A1 2 0 2 a2 2 a2 0 a2 1 或 4 a2 a1 a2 1 舍去 取a2 4 抛物线y2 x 4 2 4 2 9 9 n2 n2 为您服务教育网 10 y x 详解如下 抛物线y2 x 4 2 4 令y2 0 代入得 x 4 2 4 0 x1 2 x2 6 y2与x轴交于点A1 2 0 A2 6 0 又 抛物线y3 x a3 2 a3与x轴交于A2 6 0 6 a3 2 a3 0 a3 4 或 9 a3 a3 a3 4 舍去 即a3 9 抛物线y3的顶点坐标为 9 9 由抛物线y1的顶点坐标为 1 1 y2的顶点坐标为 4 4 y3的顶点坐标为 9 9 依次类推抛物线yn的顶点坐标为 n2 n2 所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标 顶点坐标满足的函数关系式是 y x A0 0 0 A1 2 0 A0 A1 2 又 yn x n2 2 n2 令yn 0 x n2 2 n2 0 即x1 n2 n x2 n2 n A n 1 n2 n 0 A n n2 n 0 即 A n 1 A n n2 n n2 n 2 n 存在 是平行于直线y x且过A1 2 0 的直线 其表达式为y x 2 考点解剖考点解剖 本题考查了二次函数的一般知识 求字母系数 解析式 顶点坐标 字母表 示数 符号意识 数形结合思想 规律探究 合情推理 解题方法的灵活性等等 更重 要的是一种胆识和魄力 敢不敢动手 会不会从简单 从特殊值入手去探究一般规律 画 一画图帮助思考 所有这些都是做学问所必需的品质和素养 也是新课程改革所倡导的精 神和最高境界 解题思路解题思路 1 将A0坐标代入y1的解析式可求得a1的值 a1的值知道了y1的解析式 也就确定了 已知抛物线就可求出b1的值 又把 b1 0 代入y2 可求出a2 即得y2的 解析式 2 用同样的方法可求得a3 a4 a5 由此得到规律 2 n an 所以顶点坐 为您服务教育网 11 标满足的函数关系式是 y x 3 由 2 可知 011223 2 4 6A AA AA A 得 1 2 nn AAn 最后一问我们会猜测这是与直线y x平行且过A 2 0 的一条直线 用 特殊值法取 2 4 4 2 yx yx 得 1 1 2 0 x y 和 2 2 5 3 x y 得所截得的线段长度为3 2 换一组抛物线试试 求出的值也为3 2 当然用字母来运算就是解 222 2 yxnn yx 得 2 1 2 1 1 1 xn yn 和 2 2 2 2 2 4 xn yn 求得所截得的线段长度也为 3 2 解答过程解答过程 略 方法规律方法规律 掌握基础 知识 灵活运用 方法 敢于动手 不畏艰难 关键词关键词 二次函数 抛物线 规律探究 6 2013 年武汉压轴题 如图 点P是直线l 22 xy上的点 过点P的另一条直线 m交抛物线 2 xy 于A B两点 1 若直线m的解析式为 2 3 2 1 xy 求A B两点的坐标 2 若点P的坐标为 2 t 当PA AB时 请直接写出点A的坐标 试证明 对于直线l上任意给定的一点P 在抛物线上都能找到点A 使得PA AB 成立 3 设直线l交y轴于点C 若 AOB的外心在边AB上 且 BPC OCP 求点P的坐 标 解析 1 依题意 得 2 3 2 1 2 xy xy 解得 4 9 2 3 1 1 y x 1 1 2 2 y x A 2 3 4 9 B 1 1 2 A1 1 1 A2 3 9 过点 P B 分别作过点 A 且平行于x轴的直线的垂线 垂足分别为 G H x y 图 25图 1图 图 图 O l m P B A x y l O 图 25图 2图 图 图 x y C l m P A O B 图 25图 3图 图 图 为您服务教育网 12 设 P a 22 a A m 2 m PA PB PAG BAH AG AH PG BH B am 2 222 2 am 将点 B 坐标代入抛物线 2 xy 得02242 22 aaamm 08181616822816 2222 aaaaaa 无论a为何值时 关于m的方程总有两个不等的实数解 即对于任意给定的 点 P 抛物线上总能找到两个满足条件的点 A 3 设直线m 0 kbkxy交 y 轴于 D 设 A m 2 m B n 2 n 过 A B 两点分别作 AG BH 垂直x轴于 G H AOB 的外心在 AB 上 AOB 90 由 AGO OHB 得 BH OH OG AG 1 mn 联立 2 xy bkxy 得0 2 bkxx 依题意 得m n是方程0 2 bkxx的两 根 bmn 1 b 即 D 0 1 BPC OCP DP DC 3 P 设 P a 22 a 过点 P 作 PQ y轴于 Q 在 Rt PDQ 中 222 PDDQPQ 222 3122 aa 0 1 a 舍去 5 12 2 a P 5 12 5 14 PN 平分 MNQ PT NT ttt 22 2 1 2 x y P G H A B O 图 25图 2图 图 图 x y H G Q 图 25图 3图 图 图 B O A P m l C 为您服务教育网 13 7 2013 内江压轴题 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象与 x 轴交于 A x1 0 B x2 0 x1 x2 两点 与 y 轴交于点 C x1 x2是方程 x2 4x 5 0 的两根 1 若抛物线的顶点为 D 求 S ABC S ACD的值 2 若 ADC 90 求二次函数的解析式 考点 二次函数综合题 分析 1 首先解一元二次方程 求出点 A 点 B 的坐标 得到含有字母 a 的抛物线的交 点式 然后分别用含字母 a 的代数式表示出 ABC 与 ACD 的面积 最后得出结论 2 在 Rt ACD 中 利用勾股定理 列出一元二次方程 求出未知系数 a 得出抛 物线的解析式 解答 解 1 解方程 x2 4x 5 0 得 x 5 或 x 1 由于 x1 x2 则有 x1 5 x2 1 A 5 0 B 1 0 抛物线的解析式为 y a x 5 x 1 a 0 对称轴为直线 x 2 顶点 D 的坐标为 2 9a 令 x 0 得 y 5a C 点的坐标为 0 5a 依题意画出图形 如右图所示 则 OA 5 OB 1 AB 6 OC 5a 过点 D 作 DE y 轴于点 E 则 DE 2 OE 9a CE OE OC 4a S ACD S梯形 ADEO S CDE S AOC DE OA OE DE CE OA OC 2 5 9a 2 4a 5 5a 15a 而 S ABC AB OC 6 5a 15a S ABC S ACD 15a 15a 1 2 如解答图所示 在 Rt DCE 中 由勾股定理得 CD2 DE2 CE2 4 16a2 在 Rt AOC 中 由勾股定理得 AC2 OA2 OC2 25 25a2 设对称轴 x 2 与 x 轴交于点 F 则 AF 3 在 Rt ADF 中 由勾股定理得 AD2 AF2 DF2 9 81a2 ADC 90 ACD 为直角三角形 由勾股定理得 AD2 CD2 AC2 为您服务教育网 14 即 9 81a2 4 16a2 25 25a2 化简得 a2 a 0 a 抛物线的解析式为 y x 5 x 1 x2 x 点评 本题考查了二次函数的图象与性质 一元二次方程的解法 直角三角形与勾股定理 几何图形面积的计算等知识点 难度不是很大 但涉及的计算较多 需要仔细认真 避免出错 注意第 1 问中求 ACD 面积的方法 8 2013 泸州压轴题 如图 在直角坐标系中 点 A 的坐标为 2 0 点 B 的坐标为 1 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 经过三点 A B O O 为原点 1 求抛物线的解析式 2 在该抛物线的对称轴上 是否存在点 C 使 BOC 的周长最小 若存在 求出点 C 的 坐标 若不存在 请说明理由 3 如果点 P 是该抛物线上 x 轴上方的一个动点 那么 PAB 是否有最大面积 若有 求 出此时 P 点的坐标及 PAB 的最大面积 若没有 请说明理由 注意 本题中的结果均保 留根号 考点 二次函数综合题 为您服务教育网 15 分析 1 直接将 A O B 三点坐标代入抛物线解析式的一般式 可求解析式 2 因为点 A O 关于对称轴对称 连接 AB 交对称轴于 C 点 C 点即为所求 求直 线 AB 的解析式 再根据 C 点的横坐标值 求纵坐标 3 设 P x y 2 x 0 y 0 用割补法可表示 PAB 的面积 根据面积表 达式再求取最大值时 x 的值 解答 解 1 将 A 2 0 B 1 O 0 0 三点的坐标代入 y ax2 bx c a 0 可得 解得 故所求抛物线解析式为 y x2 x 2 存在 理由如下 如答图 所示 y x2 x x 1 2 抛物线的对称轴为 x 1 点 C 在对称轴 x 1 上 BOC 的周长 OB BC CO OB 2 要使 BOC 的周长最小 必须 BC CO 最小 点 O 与点 A 关于直线 x 1 对称 有 CO CA BOC 的周长 OB BC CO OB BC CA 当 A C B 三点共线 即点 C 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时 BC CA 最小 此时 BOC 的周长最小 设直线 AB 的解析式为 y kx t 则有 解得 直线 AB 的解析式为 y x 当 x 1 时 y 所求点 C 的坐标为 1 3 设 P x y 2 x 0 y 0 为您服务教育网 16 则 y x2 x 如答图 所示 过点 P 作 PQ y 轴于点 Q PG x 轴于点 G 过点 A 作 AF PQ 轴于点 F 过点 B 作 BE PQ 轴于点 E 则 PQ x PG y 由题意可得 S PAB S梯形 AFEB S AFP S BEP AF BE FE AF FP PE BE y y 1 2 y 2 x 1 x y y x 将 代入 得 S PAB x2 x x x2 x x 2 当 x 时 PAB 的面积最大 最大值为 此时 y 点 P 的坐标为 点评 本题考查了坐标系中点的坐标求法 抛物线解析式的求法 根据对称性求线段和最 为您服务教育网 17 小的问题 也考查了在坐标系里表示面积及求面积最大值等问题 解答本题 3 也 可以将直线 AB 向下平移至与抛物线相切的位置 联立此时的直线解析式与抛物线解 析式 可求唯一交点 P 的坐标 9 2013 聊城压轴题 已知 ABC 中 边 BC 的长与 BC 边上的高的和为 20 1 写出 ABC 的面积 y 与 BC 的长 x 之间的函数关系式 并求出面积为 48 时 BC 的长 2 当 BC 多长时 ABC 的面积最大 最大面积是多少 3 当 ABC 面积最大时 是否存在其周长最小的情形 如果存在 请说出理由 并求出 其最小周长 如果不存在 请给予说明 考点 二次函数综合题 分析 1 先表示出 BC 边上的高 再根据三角形的面积公式就可以表示出表示 y 与 x 之 间的函数关系式 当 y 48 时代入解析式就可以求出其值 2 将 1 的解析式转化为顶点式就可以求出最大值 3 由 2 可知 ABC 的面积最大时 BC 10 BC 边上的高也为 10 过点 A 作直线 L 平行 于 BC 作点 B 关于直线 L 的对称点 B 连接 B C 交直线 L 于点 A 再连接 A B AB 根据轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值 解答 解 1 由题意 得 y x2 10 x 当 y 48 时 x2 10 x 48 解得 x1 12 x2 8 面积为 48 时 BC 的长为 12 或 8 2 y x2 10 x y x 10 2 50 当 x 10 时 y最大 50 3 ABC 面积最大时 ABC 的周长存在最小的情形 理由如下 由 2 可知 ABC 的 面积最大时 BC 10 BC 边上的高也为 10 过点 A 作直线 L 平行于 BC 作点 B 关于直线 L 的对称点 B 连接 B C 交直线 L 于点 A 再连接 A B AB 则由对称性得 A B A B AB AB A B A C A B A C B C 当点 A 不在线段 B C 上时 则由三角形三边关系可得 ABC 的周长 AB AC BC AB AC BC B C BC 当点 A 在线段 B C 上时 即点 A 与 A 重合 这时 ABC 的周长 AB AC BC A B A C BC B C BC 因此当点 A 与 A 重合时 ABC 的周长最小 这时由作法可知 BB 20 B C 10 ABC 的周长 10 10 因此当 ABC 面积最大时 存在其周长最小的情形 最小周长为 10 10 为您服务教育网 18 点评 本题是一道二次函数的综合试题 考查了二次函数的解析式的运用 一元二次方程 的解法和顶点式的运用 轴对称的性质的运用 在解答第三问时灵活运用轴对称的性质是 关键 10 2013 苏州压轴题 如图 已知抛物线 y x2 bx c b c 是常数 且 c 0 与 x 轴 分别交于点 A B 点 A 位于点 B 的左侧 与 y 轴的负半轴交于点 C 点 A 的坐标为 1 0 1 b c 点 B 的横坐标为 2c 上述结果均用含 c 的代数式表示 2 连接 BC 过点 A 作直线 AE BC 与抛物线 y x2 bx c 交于点 E 点 D 是 x 轴上的一 点 其坐标为 2 0 当 C D E 三点在同一直线上时 求抛物线的解析式 3 在 2 条件下 点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一个动点 连接 PB PC 设所得 PBC 的面积为 S 求 S 的取值范围 若 PBC 的面积 S 为整数 则这样的 PBC 共有 11 个 考点 二次函数综合题 分析 1 将 A 1 0 代入 y x2 bx c 可以得出 b c 根据一元二次方程根与系 为您服务教育网 19 数的关系 得出 1 xB 即 xB 2c 2 由 y x2 bx c 求出此抛物线与 y 轴的交点 C 的坐标为 0 c 则可设直线 BC 的解析式为 y kx c 将 B 点坐标代入 运用待定系数法求出直线 BC 的解析式为 y x c 由 AE BC 设直线 AE 得到解析式为 y x m 将点 A 的坐标代入 运用待 定系数法求出直线 AE 得到解析式为 y x 解方程组 求出点 E 坐标为 1 2c 1 c 将点 E 坐标代入直线 CD 的解析式 y x c 求 出 c 2 进而得到抛物线的解析式为 y x2 x 2 3 分两种情况进行讨论 当 1 x 0 时 由 0 S S ACB 易求 0 S 5 当 0 x 4 时 过点 P 作 PG x 轴于点 G 交 CB 于点 F 设点 P 坐 标为 x x2 x 2 则点 F 坐标为 x x 2 PF PG GF x2 2x S PF OB x2 4x x 2 2 4 根据二次函数的性质求 出 S最大值 4 即 0 S 4 则 0 S 5 由 0 S 5 S 为整数 得出 S 1 2 3 4 分两种情况进行讨论 当 1 x 0 时 根据 PBC 中 BC 边上的高 h 小于 ABC 中 BC 边上的高 AC 得出 满足条件的 PBC 共有 4 个 当 0 x 4 时 由于 S x2 4x 根据一元二次 方程根的判别式 得出满足条件的 PBC 共有 7 个 则满足条件的 PBC 共有 4 7 11 个 解答 解 1 抛物线 y x2 bx c 过点 A 1 0 0 1 2 b 1 c b c 抛物线 y x2 bx c 与 x 轴分别交于点 A 1 0 B xB 0 点 A 位于点 B 的 左侧 1 与 xB是一元二次方程 x2 bx c 0 的两个根 1 xB xB 2c 即点 B 的横坐标为 2c 为您服务教育网 20 2 抛物线 y x2 bx c 与 y 轴的负半轴交于点 C 当 x 0 时 y c 即点 C 坐标为 0 c 设直线 BC 的解析式为 y kx c B 2c 0 2kc c 0 c 0 k 直线 BC 的解析式为 y x c AE BC 可设直线 AE 得到解析式为 y x m 点 A 的坐标为 1 0 1 m 0 解得 m 直线 AE 得到解析式为 y x 由 解得 点 E 坐标为 1 2c 1 c 点 C 坐标为 0 c 点 D 坐标为 2 0 直线 CD 的解析式为 y x c C D E 三点在同一直线上 1 c 1 2c c 2c2 3c 2 0 c1 与 c 0 矛盾 舍去 c2 2 b c 抛物线的解析式为 y x2 x 2 3 设点 P 坐标为 x x2 x 2 点 A 的坐标为 1 0 点 B 坐标为 4 0 点 C 坐标为 0 2 AB 5 OC 2 直线 BC 的解析式为 y x 2 分两种情况 为您服务教育网 21 当 1 x 0 时 0 S S ACB S ACB AB OC 5 0 S 5 当 0 x 4 时 过点 P 作 PG x 轴于点 G 交 CB 于点 F 点 F 坐标为 x x 2 PF PG GF x2 x 2 x 2 x2 2x S S PFC S PFB PF OB x2 2x 4 x2 4x x 2 2 4 当 x 2 时 S最大值 4 0 S 4 综上可知 0 S 5 0 S 5 S 为整数 S 1 2 3 4 分两种情况 当 1 x 0 时 设 PBC 中 BC 边上的高为 h 点 A 的坐标为 1 0 点 B 坐标为 4 0 点 C 坐标为 0 2 AC2 1 4 5 BC2 16 4 20 AB2 25 AC2 BC2 AB2 ACB 90 BC 边上的高 AC S BC h h S 如果 S 1 那么 h 1 此时 P 点有 1 个 PBC 有 1 个 如果 S 2 那么 h 2 此时 P 点有 1 个 PBC 有 1 个 如果 S 3 那么 h 3 此时 P 点有 1 个 PBC 有 1 个 如果 S 4 那么 h 4 此时 P 点有 1 个 PBC 有 1 个 即当 1 x 0 时 满足条件的 PBC 共有 4 个 当 0 x 4 时 S x2 4x 如果 S 1 那么 x2 4x 1 即 x2 4x 1 0 16 4 12 0 方程有两个不相等的实数根 此时 P 点有 2 个 PBC 有 2 个 如果 S 2 那么 x2 4x 2 即 x2 4x 2 0 16 8 8 0 方程有两个不相等的实数根 此时 P 点有 2 个 PBC 有 2 个 如果 S 3 那么 x2 4x 3 即 x2 4x 3 0 16 12 4 0 方程有两个不相等的实数根 此时 P 点有 2 个 PBC 有 2 个 如果 S 4 那么 x2 4x 4 即 x2 4x 4 0 为您服务教育网 22 16 16 0 方程有两个相等的实数根 此时 P 点有 1 个 PBC 有 1 个 即当 0 x 4 时 满足条件的 PBC 共有 7 个 综上可知 满足条件的 PBC 共有 4 7 11 个 故答案为 c 2c 11 点评 本题是二次函数的综合题 其中涉及到运用待定系数法求一次函数 二次函数的解 析式 二次函数的性质 直线平移的规律 求两个函数的交点坐标 三角形的面积 一元二次方程的根的判别及根与系数的关系等知识 综合性较强 有一定难度 运 用数形结合 分类讨论及方程思想是解题的关键 11 2013 宜昌压轴题 如图 1 平面之间坐标系中 等腰直角三角形的直角边 BC 在 x 轴 正半轴上滑动 点 C 的坐标为 t 0 直角边 AC 4 经过 O C 两点做抛物线 y1 ax x t a 为常数 a 0 该抛物线与斜边 AB 交于点 E 直线 OA y2 kx k 为常 数 k 0 1 填空 用含 t 的代数式表示点 A 的坐标及 k 的值 A t 4 k k 0 2 随着三角板的滑动 当 a 时 请你验证 抛物线 y1 ax x t 的顶点在函数 y 的图象上 当三角板滑至点 E 为 AB 的中点时 求 t 的值 3 直线 OA 与抛物线的另一个交点为点 D 当 t x t 4 y2 y1 的值随 x 的增大而减 小 当 x t 4 时 y2 y1 的值随 x 的增大而增大 求 a 与 t 的关系式及 t 的取值范围 考点 二次函数综合题 分析 1 根据题意易得点 A 的横坐标与点 C 的相同 点 A 的纵坐标即是线段 AC 的长度 把点 A 的坐标代入直线 OA 的解析式来求 k 的值 为您服务教育网 23 2 求得抛物线 y1的顶点坐标 然后把该坐标代入函数 y 若该点满足 函数解析式 y 即表示该顶点在函数 y 图象上 反之 该顶点不在 函数 y 图象上 如图 1 过点 E 作 EK x 轴于点 K 则 EK 是 ACB 的中位线 所以根据三角形中位 线定理易求点 E 的坐标 把点 E 的坐标代入抛物线 y1 x x t 即可求得 t 2 3 如图 2 根据抛物线与直线相交可以求得点 D 横坐标是 4 则 t 4 4 由此可以求得 a 与 t 的关系式 解答 解 1 点 C 的坐标为 t 0 直角边 AC 4 点 A 的坐标是 t 4 又 直线 OA y2 kx k 为常数 k 0 4 kt 则 k k 0 2 当 a 时 y1 x x t 其顶点坐标为 对于 y 来说 当 x 时 y 即点 在抛物线 y 上 故当 a 时 抛物线 y1 ax x t 的顶点在函数 y 的图象上 如图 1 过点 E 作 EK x 轴于点 K AC x 轴 AC EK 点 E 是线段 AB 的中点 K 为 BC 的中点 EK 是 ACB 的中位线 EK AC 2 CK BC 2 E t 2 2 点 E 在抛物线 y1 x x t 上 t 2 t 2 t 2 解得 t 2 3 如图 2 则 x ax x t 解得 x 4 或 x 0 不合题意 舍去 故点 D 的横坐标是 t 为您服务教育网 24 当 x t 时 y2 y1 0 由题意得 t 4 t 解得 a t 0 点评 本题考查了坐标与图形的性质 二次函数图象上点的坐标特征 一次函数与二次函 数交点坐标等知识点 解题时 注意 数形结合 数学思想的应用 12 2013 黄冈压轴题 如图 在平面直角坐标系中 四边形 ABCD 是梯形 其中 A 6 0 B 3 C 1 动点 P 从点 O 以每秒 2 个单位的速度向点 A 运动 动点 Q 也同时从点 B 沿 B C O 的线路以每秒 1 个单位的速度向点 O 运动 当点 P 到达 A 点时 点 Q 也随之停止 设点 P Q 运动的时间为 t 秒 1 求经过 A B C 三点的抛物线的解析式 2 当点 Q 在 CO 边上运动时 求 OPQ 的面积 S 与时间 t 的函数关系式 3 以 O P Q 顶点的三角形能构成直角三角形吗 若能 请求出 t 的值 若不能 请说 明理由 4 经过 A B C 三点的抛物线的对称轴 直线 OB 和 PQ 能够交于一点吗 若能 请求出 此时 t 的值 或范围 若不能 请说明理由 考点 二次函数综合题 3481324 分析 1 利用待定系数法求出二次函数解析式即可 2 根据已知得出 OPQ 的高 进而利用三角形面积公式求出即可 3 根据题意得出 0 t 3 当 0 t 2 时 Q 在 BC 边上运动 得出若 OPQ 为 直角三角形 只能是 OPQ 90 或 OQP 90 当 2 t 3 时 Q 在 OC 边上运动 得出 OPQ 不可能为直角三角形 4 首先求出抛物线对称轴以及 OB 直线解析式和 PM 的解析式 得出 1 t 3 t 2t 恒成立 即 0 t 2 时 P M Q 总在一条直线上 再利用 2 t 3 时 求出 t 的值 根据 t 的取值范围得出答案 为您服务教育网 25 解答 解 1 设所求抛物线的解析式为 y ax2 bx c 把 A 6 0 B 3 C 1 三点坐标代入得 解得 即所求抛物线解析式为 y x2 x 2 如图 1 依据题意得出 OC CB 2 COA 60 当动点 Q 运动到 OC 边时 OQ 4 t OPQ 的高为 OQ sin60 4 t 又 OP 2t S 2t 4 t t2 4t 2 t 3 3 根据题意得出 0 t 3 当 0 t 2 时 Q 在 BC 边上运动 此时 OP 2t OQ PQ POQ POC 60 若 OPQ 为直角三角形 只能是 OPQ 90 或 OQP 90 若 OPQ 90 如图 2 则 OP2 PQ2 QO2 即 4t2 3 3t 3 2 3 3 t 2 解得 t1 1 t2 0 舍去 若 OPQ 为直角三角形 只能是 OPQ 90 或 OQP 90 若 OQP 90 如图 3 则 OQ2 PQ2 PO2 即 3 t 2 6 3t 3 2 4t2 解得 t 2 当 2 t 3 时 Q 在 OC 边上运动 此时 QP 2t 4 POQ COP 60 OQ OC 2 故 OPQ 不可能为直角三角形 综上所述 当 t 1 或 t 2 时 OPQ 为直角三角形 4 由 1 可知 抛物线 y x2 x x 2 2 其对称轴为 x 2 为您服务教育网 26 又 OB 的直线方程为 y x 抛物线对称轴与 OB 交点为 M 2 又 P 2t 0 设过 P M 的直线解析式为 y kx b 解得 即直线 PM 的解析式为 y x 即 1 t y x 2t 又 0 t 2 时 Q 3 t 代入上式 得 1 t 3 t 2t 恒成立 即 0 t 2 时 P M Q 总在一条直线上 即 M 在直线 PQ 上 当 2 t 3 时 OQ 4 t QOP 60 Q 代入上式得 1 t 2t 解得 t 2 或 t 均不合题意 舍去 综上所述 可知过点 A B C 三点的抛物线的对称轴 OB 和 PQ 能够交于一点 此 时 0 t 2 为您服务教育网 27 点评 此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求二次函数解析式和待定系数 法求一次函数解析式等知识 利用分类讨论思想得出 t 的值是解题关键 13 2013 荆门压轴题 已知关于 x 的二次函数 y x2 2mx m2 m 的图象与关于 x 的函数 y kx 1 的图象交于两点 A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 1 当 k 1 m 0 1 时 求 AB 的长 2 当 k 1 m 为任何值时 猜想 AB 的长是否不变 并证明你的猜想 3 当 m 0 无论 k 为何值时 猜想 AOB 的形状 证明你的猜想 平面内两点间的距离公式 考点 二次函数综合题 3718684 分析 1 先将 k 1 m 0 分别代入 得出二次函数的解析式为 y x2 直线的解析式为 y x 1 联立 得 x2 x 1 0 根据一元二次方程根与系数的关系得到 x1 x2 1 x1 x2 1 过点 A B 分别作 x 轴 y 轴的平行线 两线交于点 C 证明 ABC 是等腰直角三角形 根据勾股定理得出 AB AC 根据两点间距离公式及完全 平方公式求出 AB 同理 当 k 1 m 1 时 AB 2 当 k 1 m 为任何值时 联立 得 x2 2m 1 x m2 m 1 0 根据一元二次方程根与系数的关系得到 x1 x2 2m 1 x1 x2 m2 m 1 同 1 可求出 AB 3 当 m 0 k 为任意常数时 分三种情况讨论 当 k 0 时 由 得 A 1 1 B 1 1 显然 AOB 为直角三角形 当 k 1 时 联立 得 x2 x 1 0 根据一元二次方程根与系数的关系得到 x1 x2 1 x1 x2 1 同 1 求出 AB 则 AB2 10 运用两点间的距离公式及完全平方公式求出 OA2 OB2 10 由勾股定理的逆定理判定 AOB 为直角三角形 当 k 为任意实数时 联立 得 x2 kx 1 0 根据一元二次方程根与系数的关系得到 为您服务教育网 28 x1 x2 k x1 x2 1 根据两点间距离公式及完全平方公式求出 AB2 k4 5k2 4 OA2 OB2 k4 5k2 4 由勾股定理的逆定理判定 AOB 为直角三角形 解答 解 1 当 k 1 m 0 时 如图 由得 x2 x 1 0 x1 x2 1 x1 x2 1 过点 A B 分别作 x 轴 y 轴的平行线 两线交于点 C 直线 AB 的解析式为 y x 1 BAC 45 ABC 是等腰直角三角形 AB AC x2 x1 同理 当 k 1 m 1 时 AB 2 猜想 当 k 1 m 为任何值时 AB 的长不变 即 AB 理由如下 由 得 x2 2m 1 x m2 m 1 0 x1 x2 2m 1 x1 x2 m2 m 1 AB AC x2 x1 3 当 m 0 k 为任意常数时 AOB 为直角三角形 理由如下 当 k 0 时 则函数的图象为直线 y 1 由 得 A 1 1 B 1 1 显然 AOB 为直角三角形 当 k 1 时 则一次函数为直线 y x 1 由 得 x2 x 1 0 x1 x2 1 x1 x2 1 AB AC x2 x1 AB2 10 OA2 OB2 x12 y12 x22 y22 x12 x22 y12 y22 x12 x22 x1 1 2 x2 1 2 x12 x22 x12 2x1 1 x22 2x2 1 2 x12 x22 2 x1 x2 2 2 1 2 2 1 2 10 AB2 OA2 OB2 AOB 是直角三角形 为您服务教育网 29 当 k 为任意实数 AOB 仍为直角三角形 由 得 x2 kx 1 0 x1 x2 k x1 x2 1 AB2 x1 x2 2 y1 y2 2 x1 x2 2 kx1 kx2 2 1 k2 x1 x2 2 1 k2 x1 x2 2 4x1 x2 1 k2 4 k2 k4 5k2 4 OA2 OB2 x12 y12 x22 y22 x12 x22 y12 y22 x12 x22 kx1 1 2 kx2 1 2 x12 x22 k2x12 2kx1 1 k2x22 2kx2 1 1 k2 x12 x22 2k x1 x2 2 1 k2 k2 2 2k k 2 k4 5k2 4 AB2 OA2 OB2 AOB 为直角三角形 点评 本题考查了二次函数的综合题型 其中涉及到的知识点有一元二次方程根与系数的 关系 平面内两点间的距离公式 完全平方公式 勾股定理的逆定理 有一定难 度 本题对式子的变形能力要求较高 体现了由特殊到一般的思想 14 2013 黔东南州压轴题 已知抛物线 y1 ax2 bx c a 0 的顶点坐标是 1 4 它 与直线 y2 x 1 的一个交点的横坐标为 2 1 求抛物线的解析式 2 在给出的坐标系中画出抛物线 y1 ax2 bx c a 0 及直线 y2 x 1 的图象 并根据图 象 直接写出使得 y1 y2的 x 的取值范围 3 设抛物线与 x 轴的右边交点为 A 过点 A 作 x 轴的垂线 交直线 y2 x 1 于点 B 点 P 在抛物线上 当 S PAB 6 时 求点 P 的横坐标 x 的取值范围 为您服务教育网 30 考点 二次函数综合题 分析 1 首先求出抛物线与直线的交点坐标 然后利用待定系数法求出抛物线的解析式 2 确定出抛物线与 x 轴的两个交点坐标 依题意画出函数的图象 由图象可以直 观地看出使得 y1 y2的 x 的取值范围 3 首先求出