苏州市中考数学《对称图形—圆》拓展课本例题.doc

拓展课本例题 演绎中考精彩 课本例题、习题是经过专家精心遴选的，具有典型性、示范性的题目，而且具有可拓展的功能.从学生认知思维的最近发展区域，以课本习题为原型，从题设、结论及图形结构全方位、多角度的探究与联想，挖掘其蕴藏的深层内涵，可以引导学生深刻领悟解决问题的策略，优化思维品质，提升数学的思维水平.本文以苏科版数学九年级对称图形圆中的一道习题为例，诠释如下. 引例 如图1，是的直径，是上的一点，垂直于过点的切线，垂足为，则平分. 变式拓展1 将习题的条件切线与结论角的平分线交换，构造其逆命题，附加某些线段的长度计算圆中弦长或阴影部分的面积. 例1 (2016年黄石中考题)如图2, 的直径为，点在圆周上(异于，) ，. (1)若，求的值; (2)若是的平分线，求证:直线是的切线. 分析 (1)首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理便可求得的长. (2)连结，证即可;利用角平分线的性质和等边对等角，可证得，即可得到.由于，那么，由此得证.解 (1) 是的直径，点在上在中，,由勾股定理，得.(2)如图3，连结.，,又是的角平分线，,，,又，,是的切线. 评注 此题要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连结圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可. 例2 (2016年咸宁中考题)如图4，在中，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交，于点，F. (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由; (2)若，求阴影部分的面积(结果保留).解析 (1) 与相切，理由略.(2)设的半径为,则，.由(1)知,，即，解得,，.于是有. 评注 本题将阴影部分(不规则图形)的面积转化为规则图形(可求面积)面积的和或差()，这是解决此类问题的关键. 变式拓展2 将换成半圆，并延长切线与直径使之相交，形(图形结构变化)变而神(条件、结论)不变. 例3 (2016年黄冈中考题)如图5，是半圆的直径，点在的延长线上，切于点，垂足为，连结. (1)求证:; (2)求证:. 分析 (1)连结，由为圆的切线，利用切线的性质，得到垂直于.由垂直于，得到与平行，利用两直线平行得到一对内错角相等;再由,利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证. (2)连结，由为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到为直角三角形.根据一对直角相等，以及第一问的结论得到一对角相等，确定出与相似，由相似得比例，变形即可得证(证明略). 变式拓展3 添加中的锐角三角形函数值，探究的弦分所成的线段的比值. 例4 (2016年武汉中考题)如图6，点在以为直径的上，与过点的切线垂直，垂足为点，交于点. (1)求证:平分; (2)连结交于点，若，求的值. 解析 (1)因为是的切线，根据“有切点连半径”，我们可以连接半径，根据“切线垂直于过切点的半径”，所以又，,又，,所以平分.(2)连结，在中,由，可设,则，,由，可得，,.由，可得,，,. 评注 本题的第(2)问也可以通过，求出直径(用表示)，进而得到半径，利用四边形(是与的交点)是矩形，得到.进而根据勾股定理求出，在根据三角形中位线求出，最后得到，将的值转化为来求.变式拓展4 丰富课本习题的图形的结构，并添加相关条件，继续深化探究问题的结论 例5 (2016年孝感中考题)如图7，在中，点在上，经过点的与相切于点，与，分别相交于点，连结与，相交于点. (I)求证:平分. (2)若于点，平分，.试判断与的数量关系，并说明理由;求的半径. 分析 (1)略.(2)平分,又,即，； 设,则.，,，,，,，.为直径，.的半径为. 评注 本题将课本中相关习题与例题融合在一起，使图形的结构变得更加复杂，这就需要我们学会能够从复杂图形中分离出基本图形的技能，从而利用简单图形的性质解决问题. 从上述对课本习题与中考试题的对比分析中可以发现，许多中考试题源于课本，高于课本.这就启发我们在平时的学习中，要立足于课本，在学好基础知识，掌握基本技能和方法的基础上，多角度挖掘开发例习题中蕴含的丰富内涵，学会对自己已解决的问题进行反思、联想、总结.一方面反思问题的解题思路能否能迁移;另