二次函数中考试题分类汇编

二次函数中考试题分类汇编 一 选择题一 选择题 1 已知二次函数的图象如图所示 有下列 5 个结 0 2 acbxaxy 论 0 abccab 024 cbabc32 的实数 其中正确的结论有 B bammba 1 m A 2 个B 3 个C 4 个D 5 个 2 如图是二次函数 y ax2 bx c 图象的一部分 图象过点 A 3 0 对称轴 为 x 1 给出四个结论 b2 4ac 2a b 0 a b c 0 5a b 其中 正确结论是 B A B C D 3 二次函数与 x 轴的交点个数是 B 2 21yxx A 0 B 1 C 2 D 3 4 在同一坐标系中一次函数和二次函数yaxb 的图象可能为 A 2 yaxbx 5 已知二次函数 a 0 的图象开口向上 并经过点 1 2 1 0 下列 2 yaxbxc 结论正确的是 D A 当 x 0 时 函数值 y 随 x 的增大而增大 B 当 x 0 时 函数值 y 随 x 的增大而减小 C 存在一个负数 x0 使得当 x x0时 函数 值 y 随 x 的增大而增大 D 存在一个正数 x0 使得当 xx0时 函数 值 y 随 x 的增大而增大 6 已知二次函数 y x2 x a a 0 当自变量 x 取 m 时 其相应的函数值小于 0 那么下列 结论中正确的是 B A m 1 的函数值小于 0 B m 1 的函数值大于 0 C m 1 的函数值等于 0 D m 1 的函数值与 0 的大小关系不确定 二 填空题二 填空题 1 二次函数 y ax2 bx c 的图象如图 8 所示 且 P a b c 2a b Q a b c 2a b 则 P Q 的大小关系为 P Q 图 8 O x y Ox y O x y O x y ABCD 2 如图 9 所示的抛物线是二次函数的图象 22 31yaxxa 那么的值是 1a 3 已知二次函数的部分图象如 2 2yxxm 图所示 则关于的一元二次方程x 的解为 2 20 xxm 1 1x 2 3x 4 已知二次函数的图象如图所 2 yaxbxc 示 则点在第 象限 三 P abc 三 解答题三 解答题 1 知一抛物线与x轴的交点是 B 1 0 且经过点 0 2 A C 2 8 1 求该抛物线的解析式 2 求该抛物线的顶点坐标 解 1 设这个抛物线的解析式为cbxaxy 2 由已知 抛物线过 B 1 0 C 2 8 三点 得 0 2 A 3 分 解这个方程组 得 824 0 024 cba cba cba 4 2 2 cba 所求抛物线的解析式为 6 分 422 2 xxy 2 2 9 2 1 2 2 2422 222 xxxxxy 该抛物线的顶点坐标为 2 9 2 1 2 在直角坐标平面内 二次函数图象的顶点为 且过点 14 A 3 0 B 1 求该二次函数的解析式 2 将该二次函数图象向右平移几个单位 可使平移后所得图象经过坐标原点 并直接写 出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标 x 解 1 设二次函数解析式为 2 1 4ya x 二次函数图象过点 得 3 0 B 044a 1a 二次函数解析式为 即 2 1 4yx 2 23yxx x y O 第 4 题 O y x 图 9 y x O13 第 3 题 2 令 得 解方程 得 0y 2 230 xx 1 3x 2 1x 二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和 x 3 0 10 二次函数图象向右平移 1 个单位后经过坐标原点 平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为x 4 0 3 已知二次函数图象的顶点是 且过点 12 3 0 2 1 求二次函数的表达式 并在图 10 中画出它的图象 2 求证 对任意实数 点都不在这个m 2 M mm 二次函数的图象上 解 1 依题意可设此二次函数的表达式为 2 分 2 1 2ya x 又点在它的图象上 可得 解得 3 0 2 3 2 2 a 1 2 a 所求为 令 得 2 1 1 2 2 yx 0y 12 13xx 画出其图象如右 2 证明 若点在此二次函数的图象上 M 则 得 22 1 1 2 2 mm 2 230mm 方程的判别式 该方程无解 4 1280 所以原结论成立 4 二次函数的图象如图 9 所示 根据图象解答下列问题 2 0 yaxbxc a 1 写出方程的两个根 2 分 2 0axbxc 2 写出不等式的解集 2 分 2 0axbxc 3 写出随的增大而减小的自变量的取值范围 2 分 yxx 4 若方程有两个不相等的实数根 求的取值范围 4 分 2 axbxck k 解 1 1 1x 2 3x 2 13x 3 2x 4 2k 图 10 123 3 2 1 01 2 3 y x 图 9 x y 3 3 2 2 1 14 1 1 2 O 5 如图 13 已知二次函数的图像经过点 A 和点 B 2 4yaxxc 1 求该二次函数的表达式 2 写出该抛物线的对称轴及顶点坐标 3 点P m m 与点Q 均在该函数图像上 其中m 0 且 这两点关于抛物线的对称轴对称 求m 的值及点Q 到 x 轴的 距离 解 1 将 x 1 y 1 x 3 y 9 分别代入得cxaxy 4 2 解得 二次函数的表达式 3439 1 4 1 1 2 2 ca ca 6 1 c a 为 64 2 xxy 2 对称轴为 顶点坐标为 2 10 2 x 3 将 m m 代入 得 64 2 xxy64 2 mmm 解得 m 0 不合题意 舍去 12 1 6mm 1 1 m m 6 点 P 与点 Q 关于对称轴对称 点 Q 到 x 轴的距离为 6 2 x 6 在平面直角坐标系中 已知二次函数的图象与轴交于xOy 2 0 yaxbxc a x 两点 点在点的左边 与轴交于点 其顶点的横坐标为 1 且过点AB AByC 和 2 3 312 1 求此二次函数的表达式 2 若直线与线段交于点 不与点重合 则是否存在这 0 l ykx k BCDBC 样的直线 使得以为顶点的三角形与相似 若存在 求出该直线的函lBOD BAC 数表达式及点的坐标 若不存在 请说明理由 D 3 若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点 试比较锐角P 与的大小 不必证明 并写出此时点的横坐标的取值范围 PCO ACO P p x 解 1 二次函数图象顶点的横坐标为 1 且过点和 2 3 312 由解得 1 2 423 93212 b a abc ab 1 2 3 a b c 此二次函数的表达式为 2 23yxx 2 假设存在直线与线段交于点 不与点重合 使得以 0 l ykx k BCDBC x y O3 9 1 1 A A B B 图 13 y x 1 1O 为顶点的三角形与相似 BOD BAC 在中 令 则由 解得 2 23yxx 0y 2 230 xx 12 13xx 令 得 10 3 0 AB 0 x 3y 0 3 C 设过点的直线 交于点 过点作轴于点 OlBCDDDEx E 点的坐标为 点的坐标为 点的坐标为 B 3 0 C 0 3 A 10 4345 ABOBOCOBC 22 333 2BC 要使或 BODBAC BDOBAC 已有 则只需 BB BDBO BCBA 或 成立 BOBD BCBA 若是 则有 而 3 3 29 2 44 BO BC BD BA A 45OBCBEDE 在中 由勾股定理 得 RtBDE 2 22229 2 2 4 BEDEBEBD 解得 负值舍去 9 4 BEDE 93 3 44 OEOBBE 点的坐标为 将点的坐标代入中 求得 D 3 9 4 4 D 0 ykx k 3k 满足条件的直线 的函数表达式为 l3yx 或求出直线的函数表达式为 则与直线平行的直线 的函数表达式为AC33yx ACl 此时易知 再求出直线的函数表达式为 联3yx BODBAC BC3yx 立求得点的坐标为 33yxyx D 3 9 4 4 若是 则有 而 3 4 2 2 3 2 BO BA BD BC A 45OBCBEDE 在中 由勾股定理 得 RtBDE 2222 2 2 2 2 BEDEBEBD 解得 负值舍去 点的坐标2BEDE 321OEOBBE D y x BEA O C D 1x l 为 12 将点的坐标代入中 求得 满足条件的直线 的函数表达式为D 0 ykx k 2k l 2yx 存在直线或与线段交于点 不与点重合 使得以 3l yx 2yx BCDBC 为顶点的三角形与相似 且点的坐标分别为或 BOD BAC D 3 9 4 4 12 3 设过点的直线与该二次函数的图象交于点 0 3 10 CE 3 0 ykxk P 将点的坐标代入中 求得 此直线的函数表达式 10 E 3ykx 3k 为 33yx 设点的坐标为 并代入 得 P 33 xx 2 23yxx 2 50 xx 解得 不合题意 舍去 12 50 xx 512xy 点的坐标为 此时 锐角 P 512 PCOACO 又二次函数的对称轴为 1x 点关于对称轴对称的点的坐标为 C C 2 3 当时 锐角 当时 锐角 5 p x PCOACO 5 p x PCOACO 当时 锐角 25 p x PCOACO 7 如图 矩形 A BC O 是矩形 OABC 边 OA 在 x 轴正半轴上 边 OC 在 y 轴正半轴上 绕 B 点逆时针旋转得到的 O 点在 x 轴的正半轴上 B 点的坐标为 1 3 1 如果二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象经过 O O 两点且图象顶点 M 的纵坐标为 1 求这个二次函数的解析式 2 在 1 中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点 P 使得 POM 为直角三角形 若存在 请求出 P 点的坐标和 POM 的面积 若不存在 请说明理由 3 求边 C O 所在直线的解析式 x B E AO C 1x P C 8 容积率 t 是指在房地产开发中建筑面积与用地面积之比 即 t 为充分利用 用地面积 建筑面积 S M 土地资源 更好地解决人们的住房需求 并适当的控制建筑物的高度 一般地容积率 t 不 小于 1 且不大于 8 一房地产开发商在开发某小区时 结合往年开发经验知 建筑面积 M m2 与容积率 t 的关系可近似地用如图 1 中的线段 l 来表示 1 m2建筑面积上的资 金投入 Q 万元 与容积率 t 的关系可近似地用如图 2 中的一段抛物线段 c 来表示 试求图 1 中线段 l 的函数关系式 并求出开发该小区的用地面积 求出图 2 中抛物线段 c 的函数关系式 解 设线段 l 函数关系式为 M kt b 由图象得 解之 得 800006 280002 bk bk 2000 13000 b k 线段 l 的函数关系式为 M 13000t 2000 1 t 8 由 t 知 当 t 1 时 S用地面积 M建筑面积 用地面积 建筑面积 S M 把 t 1 代入 M 13000t 2000 中 得 M 15000 m2 即开发该小区的用地面积是 15000 m2 根据图象特征可设抛物线段 c 的函数关系式为 Q a t 4 2 k 把点 4 0 09 1 0 18 代入 得 解之 得 18 0 41 09 0 2 ka k 100 9 100 1 k a 抛物线段 c 的函数关系式为 Q t 4 2 即 Q t2 t 1 t 8 100 1 100 9 100 1 25 2 4 1 9 如图 10 已知抛物线 P y ax2 bx c a 0 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在 x 轴的正半 轴上 与 y 轴交于点 C 矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段 AB 上 顶点 F G 分别在线段 BC AC 上 抛物线 P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下 x 3 212 y 5 2 4 5 2 0 1 求 A B C 三点的坐标 2 若点 D 的坐标为 m 0 矩形 DEFG 的面积为 S 求 S 与 m 的函数关系 并指出 m 的取值范围 3 当矩形 DEFG 的面积 S 取最大值时 连接 DF 并延长至 点 M 使 FM k DF 若点 M 不在抛物线 P 上 求 k 的取值范 围 若因为时间不够等方面的原因 经过探索 思考仍无法圆满无法圆满 解答本题 请不要轻易放弃 试试将上述解答本题 请不要轻易放弃 试试将上述 2 2 3 3 小题换为下列小题换为下列 问题解答问题解答 已知条件及第已知条件及第 1 1 小题与上相同 完全正确解答只能得小题与上相同 完全正确解答只能得 到到 5 5 分分 2 若点 D 的坐标为 1 0 求矩形 DEFG 的面积 解 解法一 设 2 0 yaxbxc a 任取 x y 的三组值代入 求出解析式 1 分 2 1 4 2 yxx 令 y 0 求出 令 x 0 得 y 4 12 4 2xx A B C 三点的坐标分别是 A 2 0 B 4 0 C 0 4 3 分 解法二 由抛物线 P 过点 1 3 可知 5 2 5 2 抛物线 P 的对称轴方程为 x 1 1 分 又 抛物线 P 过 2 0 2 4 则由抛物线的对称性可知 点 A B C 的坐标分别为 A 2 0 B 4 0 C 0 4 3 分 由题意 而 AO 2 OC 4 AD 2 m 故 DG 4 2m 4 分 ADDG AOOC 又 EF DG 得 BE 4 2m DE 3m 5 分 BEEF BOOC SDEFG DG DE 4 2m 3m 12m 6m2 0 m 2 6 分 注 也可通过解 Rt BOC 及 Rt AOC 或依据 BOC 是等腰直角三角形建立关系求 解 SDEFG 12m 6m2 0 m 2 m 1 时 矩形的面积最大 且最大面积是 6 当矩形面积最大时 其顶点为 D 1 0 G 1 2 F 2 2 E 2 0 7 分 设直线 DF 的解析式为 y kx b 易知 k b 2 3 2 3 22 33 yx 又可求得抛物线 P 的解析式为 8 分 2 1 4 2 yxx 令 可求出 x 设射线 DF 与抛物线 P 相交于点 N 则 N 的横 22 33 x 2 1 4 2 xx 161 3 坐标为 过 N 作 x 轴的垂线交 x 轴于 H 有 161 3 9 分 FNHE DFDE 161 2 3 3 561 9 点 M 不在抛物线 P 上 即点 M 不与 N 重合时 此时 k 的取值范围是 k 且 k 0 10 分 561 9 说明 若以上两条件错漏一个 本步不得分 图 10 若选择另一问题若选择另一问题 而 AD 1 AO 2 OC 4 则 DG 2 4 分 ADDG AOOC 又 而 AB 6 CP 2 OC 4 则 FG 3 FGCP ABOC SDEFG DG FG 6 10 2007 山东威海 如图 在平面直角坐标系中 点的坐标为 点的坐标A 12 B 为 二次函数的图象记为抛物线 31 2 yx 1 l 1 平移抛物线 使平移后的抛物线过点 但不过点 写出平移后的一个抛物线 1 lAB 的函数表达式 任写一个即可 2 平移抛物线 使平移后的抛物线过两点 记为抛物线 如图 求抛物线 1 lAB 2 l 的函数表达式 2 l 3 设抛物线的顶点为 为轴上一点 若 求点的坐标 2 lCKy ABKABC SS K 4 请在图 上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点 使为等腰三角 2 lPABP 形 若存在 请判断点共有几个可能的位置 保留作图痕迹 若不存在 请说明师 P 解 1 有多种答案 符合条件即可 例如 或 2 1yx 2 yxx 2 1 2yx 2 23yxx 2 21 yx 2 12 yx 2 设抛物线的函数表达式为 2 l 2 yxbxc 点 在抛物线上 12 A 31 B 2 l 解得 12 931 bc bc 9 2 11 2 b c B O y x 1 l 图 A 1 1 B O y x 2 l 图 A C 1 1 B O y x 2 l 图 A 1 1 B EFDO G K y x 2 l C A 图 抛物线的函数表达式为 2 l 2 911 22 yxx 3 点的坐标为 2 2 91197 22416 yxxx C 97 4 16 过三点分别作轴的垂线 垂足分别为 ABC xDEF 则 2AD 7 16 CF 1BE 2DE 5 4 DF 3 4 FE ABCADEBADFCCFEB SSSS 梯形梯形梯形 117517315 2 1 221 22164216416 延长交轴于点 设直线的函数表达式为 BAyGABymxn 点 在直线上 解得 12 A 31 B AB 2 13 mn mn 1 2 5 2 m n 直线的函数表达式为 点的坐标为 AB 15 22 yx