11-12学年几何与代数B试题A答案

第 1 页 共 8 页 北北 京京 交交 通通 大大 学学 2011 2012 学年第一学期学年第一学期 几何与代数几何与代数 B 期末考试试卷期末考试试卷 A 参考答案与评分标准 一 一 本题满分 本题满分 30 分 每空分 每空 3 分 请把答案填在空中 分 请把答案填在空中 1 已知向量与三个坐标轴正向的夹角是相等的锐角 且的长度是 2 3 则 2 2 2 2 若无解 则 2 123 123 123 2 2 2 axxx xaxx xxax a 3 若矩阵的秩为 则的值为 0 112 012 1012 a Aa 2a 4 已知四阶行列式 则其第四行前两个元素的代数 3344 1567 1122 abcd k 4142 aa 余子式之和是 2k 4142 AA 5 若可由向量组线性表出 则 2 3 0 1 1 1 12 1 1 1 1 1 2 2 t t 6 已知三阶方阵 为的伴随矩阵 则的伴随矩阵 112 224 336 A AA A 0 A 第 2 页 共 8 页 7 已知向量可由向量组线 12 123 1 2 3 0 2 5 1 0 2 性表示 则向量组的一个最大线性无关组是 1212 12 8 点关于直线的对称点是 3 1 4 4120 2230 xyz xyz 7 7 28 3 33 9 设 A 是 3 阶方阵 1 1 2 是 A 的 3 个特征值 则 1 2 1 AA 10 若二次曲面方程经正交变换化为椭圆 222 1231213 225xxaxbx xx x 柱面方程 则 1 0 22 12 25yy a b 二二 10 10 分分 计算 n 阶行列式 1 2 12 1 n 11 11 11 1 1 0 11 11 1 1 11 n n a a Da aa a a 解解 将第一行 1 倍加到其它各行 1 21 11 n1 11 11 00 0 0 0 0 n a aa D aa aa 再将第 i 列的倍加到最后一列 i 1 n 1 得 1 1n i a a 第 3 页 共 8 页 11 1 21 2 11 1 n1 n 1 11 1 1 11 11 00 00 0 0 0 0 00 0 0 0 00 n i i n n aa a aa a D aa a aa a 1 2 12 1 1 1 1 n n n n i i Da aa a 三 三 1212 分 分 当为何值时 线性方程组a b 1234 234 234 1234 0 221 3 21 321 xxxx xxx xaxxb xxxax 无解 有惟一解 有无穷多解 并在有无穷多解的情况下 写出它的所有解 用导出组基础解系表示 解解 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 3 分 1111011110 0122101221 0132100102 321100010 abab aa 1 当时 方程组有唯一解 5a1 分 2 当时 方程组的增广矩阵可化为a 1 第 4 页 共 8 页 11110 01221 00002 00000 b i 当时 方程组无解 7 分b 2 ii 当时 方程组有无穷多解 此时方程组的增广矩阵可化为2b 10111 01221 00000 00000 一个特解是 导出组的基础解系是 1 1 0 0 11 22 10 01 此时方程组的通解是 12 分 1 2 12 3 4 111 221 100 010 x x cc x x 四 四 1010 分 分 试求过点与向量垂直 并与直线 1 2 3 A 4 3 1 相交的直线方程 123 211 xyz L 解解 设所求直线的方向向量为则由直线与垂直知 sa b c r 4 3 1 4a 3b c 0 1 2 分 第 5 页 共 8 页 由所求直线与直线相交得 123 211 xyz L 2110 240 abc 即 2 6 分250abc 由 1 2 解得 a 8c b 11c 8 分 所求直线方程为 10 分 123 8111 xyz 五 8 8 分 分 求过点且与平面垂直的平面 12 1 1 1 0 1 1 MM 0 xyz 方程 解解 所求平面的法向量为 5 分1022 111 ijk ijk rrr rrr 所求平面方程为 7 分2 1 1 1 1 1 0 xyz 即 8 分20 xyz 六六 1111 分 分 已知 n 阶方阵 A B 满足 2 2AAABABI 1 证明可逆 AB 2 当时 求 100 031 062 A B 第 6 页 共 8 页 解解 1 由知 2 2AAABABI AIABI 所以可逆 3 分AB 2 由知 2 2AAABABI 6 分 1 BAIA 又 10 分 1 100 1 011 2 064 IA 故 11 分 1 100 1 073 2 0188 BAIA 七七 1414 分 分 设a 为实数 2 101 020 101 ABaIA 1 求正交矩阵 C 使得为对角形 T C BC 2 a 为何值时 为正定矩阵 B 解解 1 1 3 分 2 2 IA 属于 2 的线性无关特征向量是线性方程组 2I A X 0 的非零解 即是方程组 的解 13 0 xx 求得属于 2 的线性无关特征向量 12 01 1 0 01 第 7 页 共 8 页 正交化单位化得 7 分 12 01 1 1 0 2 01 属于 0 的特征向量是线性方程组 A X 0 的非零解 即是方程组 13 2 0 0 xx x 的非零解 求得属于 0 的线性无关特征向量 3 1 0 1 单位化得 9 分 3 1 1 0 2 1 令 11 0 22 100 11 0 22 C 则 10 分 2 2 0 T C AC 于是 12 分 2 222 2 2 2 TTT a C BCCaIA CaIC ACa a 2 且且时 为正定矩阵 14 分0a 2a B 八八 5 5 分 分 设为阶正定矩阵 为阶单位矩阵 证明 AnIn1AI 第 8 页 共 8 页 证明证明 因为为对称矩阵 所以有