中考数学复习——二次函数知识点总结

1 y x2 2 y 2x2 y x2 y 2x2 y x2 y x2 2 二次函数知识点总结二次函数知识点总结 二次函数知识点 二次函数知识点 1 1 二次函数的概念 一般地 形如 二次函数的概念 一般地 形如 2 yaxbxc abc 是常数 是常数 0a 的函数 叫做二次函数 的函数 叫做二次函数 这里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数这里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数0a 而 而bc 可以为零 二次函数的定义域是全可以为零 二次函数的定义域是全 体实数 体实数 2 2 二次函数二次函数 2 yaxbxc 的结构特征 的结构特征 等号左边是函数 右边是关于自变量等号左边是函数 右边是关于自变量 x的二次式 的二次式 x的最高次数是的最高次数是 2 2 abc 是常数 是常数 a是二次项系数 是二次项系数 b是一次项系数 是一次项系数 c 是常数项 是常数项 二次函数的基本形式二次函数的基本形式 1 1 二次函数基本形式 二次函数基本形式 2 yax 的性质 的性质 总结 总结 结论 结论 a a 的绝对值越大 抛物线的开口越小 的绝对值越大 抛物线的开口越小 2 2 2 yaxc 的性质 的性质 总结 总结 a的符号的符号开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴性质性质 0a 向上向上 00 y 轴轴 0 x 时 时 y 随随 x的增大而增大 的增大而增大 0 x 时 时 y 随随 x的增大而减小 的增大而减小 0 x 时 时 y 有最小有最小 值值0 0a 向下向下 00 y 轴轴 0 x 时 时 y 随随 x的增大而减小 的增大而减小 0 x 时 时 y 随随 x的增大而增大 的增大而增大 0 x 时 时 y 有最大有最大 值值0 a的符号的符号开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴性质性质 0a 向上向上 0c y 轴轴 0 x 时 时 y 随随 x的增大而增大 的增大而增大 0 x 时 时 y 随随 x的增大而减小 的增大而减小 0 x 时 时 y 有最小有最小 值值c 2 结论 上加下减 结论 上加下减 3 3 2 ya xh 的性质 的性质 总结 总结 结论 左加右减 结论 左加右减 4 4 2 ya xhk 的性质 的性质 总结 总结 二次函数图象的平移二次函数图象的平移 1 1 平移步骤 平移步骤 将抛物线解析式转化成顶点式将抛物线解析式转化成顶点式 2 ya xhk 确定其顶点坐标 确定其顶点坐标 hk 保持抛物线保持抛物线 2 yax 的形状不变 将其顶点平移到的形状不变 将其顶点平移到 hk 处 具体平移方法如下 处 具体平移方法如下 0a 向下向下 0c y 轴轴 0 x 时 时 y 随随 x的增大而减小 的增大而减小 0 x 时 时 y 随随 x的增大而增大 的增大而增大 0 x 时 时 y 有最大有最大 值值c a的符号的符号开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴性质性质 0a 向上向上 0h X hX h xh 时 时 y 随随 x的增大而增大 的增大而增大 xh 时 时 y 随随 x的增大而减小 的增大而减小 xh 时 时 y 有最小有最小 值值0 0a 向下向下 0h X hX h xh 时 时 y 随随 x的增大而减小 的增大而减小 xh 时 时 y 随随 x的增大而增大 的增大而增大 xh 时 时 y 有最大有最大 值值0 a的符号的符号开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴性质性质 0a 向上向上 hk X hX h xh 时 时 y 随随 x的增大而增大 的增大而增大 xh 时 时 y 随随 x的增大而减小 的增大而减小 xh 时 时 y 有最小有最小 值值k 0a 向下向下 hk X hX h xh 时 时 y 随随 x的增大而减小 的增大而减小 xh 时 时 y 随随 x的增大而增大 的增大而增大 xh 时 时 y 有最大有最大 值值k 3 h 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 k y a x h 2 y ax2 ky ax2 2 2 平移规律 平移规律 在原有函数的基础上在原有函数的基础上 h值正右移 负左移 值正右移 负左移 k值正上移 负下移值正上移 负下移 概括成八个字概括成八个字 左加右减 上加下减左加右减 上加下减 三 二次函数三 二次函数 2 ya xhk 与与 2 yaxbxc 的比较的比较 请将 2 245yxx 利用配方的形式配成顶点式 请将 2 yaxbxc 配成 2 ya xhk 总结 总结 从解析式上看 从解析式上看 2 ya xhk 与与 2 yaxbxc 是两种不同的表达形式 后者通过配方可以得到前是两种不同的表达形式 后者通过配方可以得到前 者 即者 即 2 2 4 24 bacb ya x aa 其中 其中 2 4 24 bacb hk aa 四 二次函数四 二次函数 2 yaxbxc 的性质的性质 1 1 当当0a 时 抛物线开口向上 对称轴为时 抛物线开口向上 对称轴为 2 b x a 顶点坐标为 顶点坐标为 2 4 24 bacb aa 当当 2 b x a 时 时 y 随随 x的增大而减小 当的增大而减小 当 2 b x a 时 时 y 随随 x的增大而增大 当的增大而增大 当 2 b x a 时 时 y 有最有最 小值小值 2 4 4 acb a 2 2 当当0a 时 抛物线开口向下 对称轴为时 抛物线开口向下 对称轴为 2 b x a 顶点坐标为 顶点坐标为 2 4 24 bacb aa 当 当 2 b x a 时 时 y 随随 x的增大而增大 当的增大而增大 当 2 b x a 时 时 y 随随 x的增大而减小 当的增大而减小 当 2 b x a 时 时 y 有最大值有最大值 2 4 4 acb a 五 二次函数解析式的表示方法五 二次函数解析式的表示方法 1 1 一般式 一般式 2 yaxbxc a b c 为常数为常数 0a 2 2 顶点式 顶点式 2 ya xhk a h k为常数为常数 0a 3 3 两根式 两根式 12 ya xxxx 0a 1 x 2 x 是抛物线与是抛物线与 x轴两交点的横坐标轴两交点的横坐标 注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数都可以写成交点式 注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数都可以写成交点式 4 只有抛物线与只有抛物线与 x轴有交点 即轴有交点 即 2 40bac 时 抛物线的解析式才可以用交点式表示 二次函数解析时 抛物线的解析式才可以用交点式表示 二次函数解析 式的这三种形式可以互化式的这三种形式可以互化 六 二次函数的图象与各项系数之间的关系六 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 1 二次项系数二次项系数a 二次函数二次函数 2 yaxbxc 中 中 a作为二次项系数 显然作为二次项系数 显然0a 当当0a 时 抛物线开口向上 时 抛物线开口向上 a的值越大 开口越小 反之的值越大 开口越小 反之a的值越小 开口越大 的值越小 开口越大 当当0a 时 抛物线开口向下 时 抛物线开口向下 a的值越小 开口越小 反之的值越小 开口越小 反之a的值越大 开口越大 的值越大 开口越大 总结起来 总结起来 a决定了抛物线开口的大小和方向 决定了抛物线开口的大小和方向 a的正负决定开口方向 的正负决定开口方向 a的大小决定开口的大的大小决定开口的大 小 小 2 2 一次项系数一次项系数b 在二次项系数在二次项系数a确定的前提下 确定的前提下 b决定了抛物线的对称轴 决定了抛物线的对称轴 在在0a 的前提下 的前提下 当当0b 时 时 0 2 b a 即抛物线的对称轴在 即抛物线的对称轴在 y 轴左侧 轴左侧 当当0b 时 时 0 2 b a 即抛物线的对称轴就是 即抛物线的对称轴就是 y 轴 轴 当当0b 时 时 0 2 b a 即抛物线对称轴在 即抛物线对称轴在 y 轴的右侧 轴的右侧 在在0a 的前提下 结论刚好与上述相反 即的前提下 结论刚好与上述相反 即 当当0b 时 时 0 2 b a 即抛物线的对称轴在 即抛物线的对称轴在 y 轴右侧 轴右侧 当当0b 时 时 0 2 b a 即抛物线的对称轴就是 即抛物线的对称轴就是 y 轴 轴 当当0b 时 时 0 2 b a 即抛物线对称轴在 即抛物线对称轴在 y 轴的左侧 轴的左侧 总结起来 在总结起来 在a确定的前提下 确定的前提下 b决定了抛物线对称轴的位置 决定了抛物线对称轴的位置 总结 总结 3 3 常数项常数项c 当当0c 时 抛物线与时 抛物线与 y 轴的交点在轴的交点在 x轴上方 即抛物线与轴上方 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正 轴交点的纵坐标为正 当当0c 时 抛物线与时 抛物线与 y 轴的交点为坐标原点 即抛物线与轴的交点为坐标原点 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为轴交点的纵坐标为0 当当0c 时 抛物线与时 抛物线与 y 轴的交点在轴的交点在 x轴下方 即抛物线与轴下方 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负 轴交点的纵坐标为负 总结起来 总结起来 c 决定了抛物线与决定了抛物线与 y 轴交点的位置 轴交点的位置 总之 只要总之 只要abc 都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 二次函数解析式的确定 二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据已知条件确定二次函数解析式 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必须 根据题目的特点 选择适当的形式 才能使解题简便 一般来说 有如下几种情况 根据题目的特点 选择适当的形式 才能使解题简便 一般来说 有如下几种情况 1 1 已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 2 2 已知抛物线顶点或对称轴或最大 小 值 一般选用顶点式 已知抛物线顶点或对称轴或最大 小 值 一般选用顶点式 3 3 已知抛物线与已知抛物线与 x轴的两个交点的横坐标 一般选用两根式 轴的两个交点的横坐标 一般选用两根式 4 4 已知抛物线上纵坐标相同的两点 常选用顶点式已知抛物线上纵坐标相同的两点 常选用顶点式 二 二次函数图象的对称二 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况 可以用一般式或顶点式表达二次函数图象的对称一般有五种情况 可以用一般式或顶点式表达 5 1 1 关于关于 x轴对称轴对称 2 yaxbxc 关于关于 x轴对称后 得到的解析式是轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 ya xhk 关于关于 x轴对称后 得到的解析式是轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 2 2 关于关于 y 轴对称轴对称 2 yaxbxc 关于关于 y 轴对称后 得到的解析式是轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 ya xhk 关于关于 y 轴对称后 得到的解析式是轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 3 3 关于原点对称关于原点对称 2 yaxbxc 关于原点对称后 得到的解析式是关于原点对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 ya xhk 关于原点对称后 得到的解析式是关于原点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 4 4 关于顶点对称关于顶点对称 2 yaxbxc 关于顶点对称后 得到的解析式是关于顶点对称后 得到的解析式是 2 2 2 b yaxbxc a 2 ya xhk 关于顶点对称后 得到的解析式是关于顶点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 5 5 关于点关于点 mn 对称对称 2 ya xhk 关于点关于点 mn 对称后 得到的解析式是对称后 得到的解析式是 2 22ya xhmnk 根据对称的性质 显然无论作何种对称变换 抛物线的形状一定不会发生变化 因此根据对称的性质 显然无论作何种对称变换 抛物线的形状一定不会发生变化 因此a永远不永远不 变 求抛物线的对称抛物线的表达式时 可以依据题意或方便运算的原则 选择合适的形式 习惯上是变 求抛物线的对称抛物线的表达式时 可以依据题意或方便运算的原则 选择合适的形式 习惯上是 先确定原抛物线 或表达式已知的抛物线 的顶点坐标及开口方向 再确定其对称抛物线的顶点坐标及先确定原抛物线 或表达式已知的抛物线 的顶点坐标及开口方向 再确定其对称抛物线的顶点坐标及 开口方向 然后再写出其对称抛物线的表达式 开口方向 然后再写出其对称抛物线的表达式 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程 1 1 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与 x轴交点情况 轴交点情况 一元二次方程一元二次方程 2 0axbxc 是二次函数是二次函数 2 yaxbxc 当函数值当函数值0y 时的特殊情况时的特殊情况 图象与图象与 x轴的交点个数 轴的交点个数 当当 2 40bac 时时 图象与 图象与 x轴交于两点轴交于两点 12 00A xB x 12 xx 其中的 其中的 12 xx 是一元二次是一元二次 方程方程 2 00axbxca 的两根 这两点间的距离的两根 这两点间的距离 2 21 4bac ABxx a 当当0 时 时 图象与图象与 x轴只有一个交点 轴只有一个交点 当当0 时 图象与时 图象与 x轴没有交点轴没有交点 1 当当0a 时 图象落在时 图象落在 x轴的上方 无论轴的上方 无论 x为任何实数 都有为任何实数 都有0y 2 当当0a 时 图象落在时 图象落在 x轴的下方 无论轴的下方 无论 x为任何实数 都有为任何实数 都有0y 2 2 抛物线抛物线 2 yaxbxc 的图象与的图象与 y 轴一定相交 交点坐标为轴一定相交 交点坐标为 0 c 6 3 3 二次函数常用解题方法总结 二次函数常用解题方法总结 求二次函数的图象与求二次函数的图象与 x轴的交点坐标 需转化为一元二次方程 轴的交点坐标 需转化为一元二次方程 求二次函数的最大 小 值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式 求二次函数