几种特殊类型行列式及其计算

1 1 行列式的定义及性质行列式的定义及性质 1 1 定义定义 3 级行列式n 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa aaa 等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和 这里是n 12 12 n jjnj a aa 1 12n j jj 的一个排列 每一项都按下列规则带有符号 当是偶排列时 带正号 1 2 n 1 12n j jj 1 当是奇排列时 带有负号 这一定义可写成 12n j jj 1 1 2 12 1 2 11121 21222 12 12 1 n n n n j jj n jjnj j jj nnnn aaa aaa a aa aaa 这里 表示对所有级排列求和 1 2n j jj n 1 2 性质性质 4 性质 1 2 1 行列互换 行列式的值不变 性质 1 2 2 某行 列 的公因子可以提到行列式的符号外 性质 1 2 3 如果某行 列 的所有元素都可以写成两项的和 则该行列式可以写成两行 列式的和 这两个行列式的这一行 列 的元素分别为对应的两个加数之一 其余各行 列 与原 行列式相同 性质 1 2 4 两行 列 对应元素相同 行列式的值为零 性质 1 2 5 两行 列 对应元素成比例 行列式的值为零 性质 1 2 6 某行 列 的倍数加到另一行 列 对应的元素上 行列式的值不变 性质 1 2 7 交换两行 列 的位置 行列式的值变号 2 2 行列式的分类及其计算方法行列式的分类及其计算方法 2 1 箭形 爪形 行列式箭形 爪形 行列式 这类行列式的特征是除了第 行 列 或第行 列 及主 次 对角线上元素外的其他元素均1n 为零 对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上 下 三角形行列式来计算 即利用对 角元素或次对角元素将一条边消为零 例 1计算阶行列式n 1 2 323 111 100 1000 100 nn n a a Daa aa a 解 将第一列减去第二列的倍 第三列的倍第 n 列的倍 得 2 1 a 3 1 a 1 n a 1 2 2 3 11 111 000 000 000 n n n a aa a D a a 1 22 1 nn i ii i aa a 2 2 两三角型行列式两三角型行列式 这类行列式的特征是对角线上方的元素都是 对角线下方的元素都是的行列式 初看 cb 这一类型似乎并不具普遍性 但很多行列式均是由这类行列式变换而来 对这类行列式 当 时可以化为上面列举的爪形来计算 当时则用拆行 列 法来计算 bc bc 9 例 2 计算行列式 1 2 3n n accc bacc Dbbac bbba 解 当时bc 3 1 2 3n n abbb babb Dbbab bbba 将第行到第行都减去第 行 则化为以上所述的爪形 即2n1 n D 1 12 13 1 00 00 00 n n abbb baab Dbaab baab 用上述特征 的方法 则有1 11 2 12 13 1 1 000 00 00 00 n i i n n ab ba ab baab D baab baab 111 11 nn iiin ii abbabababab 当时 用拆行 列 法 则 bc 9 11 22 33 0 0 0 n nn xaaaxaaa bxaabxaa Dbbxabbxa bbbxbbbbxb 11 22 33 0 0 0 n xaaxaaa bxabxaa bbxbbxa bbbxbbbbb 4 1 2 1 1 0 000 nn n xaa baxaa xb Da babaxaa b 化简得 1211nnnn Db xaxaxaxb D 1 而若一开始将拆为 则得 n x n axa 1211nnnn Da xbxbxbxa D 2 由 得 12 nn xbxa 11 1 nn nij ij Daxbbxa ab 有一些行列式虽然不是两三角型的行列式 但是可以通过适当变换转化成两三角型行列 式进行计算 例 3 计算行列式 2 n dbbb cxaa Dncaxa caax 解 将第一行 第一列 得 a b a c 2 2 n a d aaa bc axaa bc D aaxa a aaax 即化为上情形 计算得 21 12 1 nn n Dd xanadbcxa 而对于一些每行 列 上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公 5 共因子的 则用升阶法来简化 8 例 4 计算行列式 2 1121 2 2122 2 12 1 1 1 n n n nnn xx xx x x xxx x D x xx xx 解 将行列式升阶 得 12 2 1121 2 2122 2 12 1 01 01 01 n n nn nnn xxx xx xx x Dx xxx x x xx xx 将第 行减去第一行的倍 得i i x 2 in 12 1 2 1 100 010 001 n n n xxx x Dx x 这就化为了爪形 按上述特征 的方法计算可得1 2 12 1 1 0100 0010 0001 n in i n xxxx D 2 1 1 n i i x 2 3 两条线型行列式两条线型行列式 这类行列式的特征是除了主 次 对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个 顶点中的某个点外 其他元素都为零 这类行列式可直接展开降阶 对两条线中某一条线元 素全为的 自然也直接展开降阶计算 0 例 5 计算行列式 6 11 22 11 n nn nn ab ab D ab ba 解 按第一行展开可得 221 3322 1 1 1111 11 1 n nn nnnn nnn abb abab Dab abab aab 1 121 2 1 n nn a aabbb 例 6 计算行列式 11 11 2 11 11 nn nn n nn nn ab ab ab D cd cd cd 解 方法 1 直接展开可得 1111 1111 1 2 21111 1111 00 1 00 nnnn n nnn nnnn nn abab abab Dacdbcd cdcd dc 7 1111 211 1111 1111 1111 1 nnnn n nnnn nnnn abab abab a db c cdcd cdcd 21 nnnnn a db cD 则 211112122 1 n nnnnnnnnnnnnniiiinn i Da db cDa db cadbcDa dbc 方法 2 拉普拉斯定理法 按第一行和第行展开得 3 2n 11 1 21 2 11 2 11 11 1 nn nn nn n nn nn ab abab D cdcd cd 21 nnnnn a db cD 其余的同法 1 2 4 HessenbergHessenberg 型行列式型行列式 这类行列式的特征是除主 次 对角线及与其相邻的斜线 再加上第 或第行外 其他元1n 素均为零 这类行列式都用累加消点法 即通常将第一行 列 元素化简到只有一个非零元素 以便于这一行或列的展开降阶计算 例 7 计算行列式 1231 11000 02200 220 00011 n nn D nn nn 解 将各列加到第一列得 8 1 231 2 01000 02200 220 00011 n n n nn D nn nn 按第一列展开得 1000 2200 1 2 220 0011 n n n D nn nn 11 1 2 n n 2 5 三对角型行列式三对角型行列式 形如的行列式 这类行列式的特征是除这三条斜线上元素外 其 n ab cab Dc b ca 他元素均为零 这是一递推结构的行列式 所有主子式都有同样的结构 从而以最后一列展 开 将所得的阶行列式再展开即得递推公式 对这类行列式用递推法 1n 5 例 8 计算行列式 n ab cab Dc b ca 解 按第一列展开有 12nnn DaDbcD 解特征方程得 2 0 xaxbc 22 12 44 22 aabcaabc xx 9 则 11 12 12 12 nn n xx Dxx xx 例 9 计算行列式 95 49 95 49 n D 解 按第一行展开得 1 9200 nn DD 解特征方程得 12 4 5xx 则 11 45 nn n Dab 分别使得则1 2n 16 25 ab 11 54 nn n D 2 6 各行各行 列列 元素和相等的行列式元素和相等的行列式 这类行列式的特征是其所有行 列 对应元素相加后相等 对这类行列式 将其所有行 列 加 到第一行 列 或第行 列 提取公因式后 再把每一行都减去第一行 列 即可使行列式中n 出现大量的零元素 例 10 计算行列式 111 222 1 1 1 n nnn aaa aaa D aaa 解 将第行到第行都加到第 行 得2n1 10 111 222 111 1 1 nnn n nnn aaaaaa aaa D aaa 222 1 111 1 1 1 n nnn aaa aa aaa 1 111 010 1 001 n aa 1 1 n aa 2 7 相邻两行相邻两行 列列 对应元素相差对应元素相差 的行列式的行列式1 这类行列式的特征是大部分以数字为元素且相邻两行 列 元素相差 的行列式 对这类1 行列式 自第一行 列 开始 前行 列 减去后行 列 或自第行 列 开始 后行 列 减去前行n 列 即可出现大量元素为 或的行列式 再进一步化简即出现大量的零元素 11 若相邻两行 列 元素相差倍数 则前 后 行 列 减去后 前 行 列 的倍 可使行列式kk 出现大量的零元素 例 11 计算行列式 01221 10132 21043 23401 12310 n nn nn nn D nnn nn 解 依次用前行减去后行 可得 11111 11111 11111 11111 12310 n D nnn 现将第 列加到第列至第列 得12n 11 10000 12000 12200 12220 123241 n D nnnnn 1 2 121 n n n 例 11 计算阶行列式n 221 132 2143 234 231 1 1 1 1 1 nn nnn nnnn n n aaaa aaaa aaaa D aaaa aaaa 解 这是相邻两行 列 相差倍数 可采用前行减去后行的倍的方法化简得aa 231 10000 01000 00100 00010 1 n n n n n n a a a D a aaaa 1 1 n n a 2 8 范德蒙德型行列式范德蒙德型行列式 这类行列式的特征是有逐行 列 元素按方幂递增或递减