弹簧类问题分析

弹簧类系列问题弹簧类系列问题 P3 复习精要 轻弹簧是一种理想化的物理模型 以轻质弹簧为载体 设置复杂的物理情景 考查力的概 念 物体的平衡 牛顿定律的应用及能的转化与守恒 是高考命题的重点 此类命题几乎 每年高考卷面均有所见 引起足够重视 一 弹簧类问题的分类 1 弹簧的瞬时问题 弹簧的两端都有其他物体或力的约束时 使其发生形变时 弹力不能由某一值突变为零 或由零突变为某一值 2 弹簧的平衡问题 这类题常以单一的问题出现 涉及到的知识是胡克定律 一般用 f kx 或 f k x 来求 解 3 弹簧的非平衡问题 这类题主要指弹簧在相对位置发生变化时 所引起的力 加速度 速度 功能和合外力 等其它物理量发生变化的情况 4 弹力做功与动量 能量的综合问题 在弹力做功的过程中弹力是个变力 并与动量 能量联系 一般以综合题出现 有机 地将动量守恒 机械能守恒 功能关系和能量转化结合在一起 分析解决这类问题时 要 细致分析弹簧的动态过程 利用动能定理和功能关系等知识解题 P5 二 弹簧问题的处理办法 1 弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力 当题目中出现弹簧时 要注意弹力的大 小与方向时刻要与当时的形变相对应 在题目中一般应从弹簧的形变分析入手 先确定弹簧 原长位置 现长位置 找出形变量 x 与物体空间位置变化的几何关系 分析形变所对应的 弹力大小 方向 以此来分析计算物体运动状态的可能变化 2 因弹簧 尤其是软质弹簧 其形变发生改变过程需要一段时间 在瞬间内形变量可以认 为不变 因此 在分析瞬时变化时 可以认为弹力大小不变 即弹簧的弹力不突变 3 在求弹簧的弹力做功时 因该变力为线性变化 可以先求平均力 再用功的定义进行计 算 也可据动能定理和功能关系 能量转化和守恒定律求解 同时要注意弹力做功的特点 Wk kx22 kx12 弹力的功等于弹性势能增量的负值 弹性势能的公式 Ep kx2 高考不作定量要求 可作定性讨论 因此 在求弹力的功或弹性势能的改变时 一般以能量 的转化与守恒的角度来求解 P7 例例 1 2001 年上海 年上海 如图 A 所示 一质量为 m 的物体系于长度分别为 l1 l2的两 根细线上 l1的一端悬挂在天花板上 与竖直方向夹角为 l2水平 拉直 物体处于平衡状态 现将 l2线剪断 求剪断瞬时物体的加速度 l1 l2 图A 30 A B F 1 下面是某同学对该题的一种解法 解 设 l1线上拉力为 T1 l2线上拉力为 T2 重力为 mg 物体在三力作用下保持平衡 T1cos mg T1sin T2 T2 mgtan 剪断线的瞬间 T2突然消失 物体即在 T2反方向获得加速度 因为 mgtan ma 所以加速 度 a gtan 方向在 T2反方向 你认为这个结果正确吗 请对该解法作出评价并说明理由 答 1 结果不正确 因为 l2被剪断的瞬间 l1上张力的大小发生了突变 此瞬间 T1 mg cos a g sin 2 若将图 A 中的细线 l1改为长度相同 质量不计的轻弹簧 如图 B 所示 其他条 件不变 求解的步骤与 1 完全相同 即 a gtan 你认为这个 结果正确吗 请说明理由 答 2 结果正确 因为 l2被剪断的瞬间 弹簧 l1的长度不能 发生突变 T1的大小和方向都不变 P9 例例 2 2005 年全国理综年全国理综 III 卷 卷 如图所示 在倾角为 的光滑斜面上有两个用轻质 弹簧相连接的物块 A B 它们的质量分别为 mA mB 弹簧的劲度系数为 k C 为一固定 挡板 系统处一静止状态 现开始用一恒力 F 沿斜面方向拉物块 A 使之向上运动 求物块 B 刚要离开 C 时物块 A 的加速度 a 和从开始到此时物块 A 的位移 d 重力加速度为 g 解 令 x1表示未加 F 时弹簧的压缩量 由胡克定律和牛顿定律可知 令 x2表示 B 刚要离开 C 时弹簧的伸长量 a 表示此时 A 的加速度 由胡克定律和牛顿定 律可知 mgsin kx1 kx2 mBgsin F mAgsin kx2 mAa 得 A BA m sing mm F a 由题意 d x1 x2 由 式可得 k sing mm d BA P10 例例 3 如图示 倾角 30 的光滑斜面上 并排放着质量分别是 mA 10kg 和 mB 2kg 的 A B 两物块 一个劲度系数 k 400N m 的轻弹簧一端与物块 B 相连 另一端 与固定挡板相连 整个系统处于静止状态 现对 A 施加一沿斜面向上 的力 F 使物块 A 沿斜面向上作匀加速运动 已知力 F 在前 0 2s 内为变力 0 2s 后为恒力 g 取 10m s2 求 F 的最大 值和最小值 答 Fmin mA mB a 60N l1 l2 图B C A B Fmax mAg sin mBa 100N P12 例例 4 A B 两木块叠放在竖直轻弹簧上 如图所示 已知木块 A B 质量分别为 0 42 kg 和 0 40 kg 弹簧的劲度系数 k 100 N m 若在木块 A 上作用一个竖直向上的力 F 使 A 由静止开始以 0 5 m s2的加速度竖直向上做匀加速运动 g 10 m s2 1 使木块 A 竖直做匀加速运动的过程中 力 F 的最大值 2 若木块由静止开始做匀加速运动 直到 A B 分离的过程中 弹簧的弹性势能减少了 0 248 J 求这一过程 F 对木块做的功 解解解解 当 F 0 即不加竖直向上 F 力时 设 A B 叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为 x 有 kx mA mB g x mA mB g k 对 A 施加 F 力 分析 A B 受力如图 对 A F N mAg mAa 对 B kx N mBg mBa 可知 当 N 0 时 AB 有共同加速度 a a 由 式知欲使 A 匀加速运动 随 N 减小 F 增大 当 N 0 时 F 取得了最大值 Fm 即 Fm mA g a 4 41 N 又当 N 0 时 A B 开始分离 由 式知此时 弹簧压缩量 kx mB a g x mB a g k AB 共同速度 v2 2a x x 由题知 此过程弹性势能减少了 WP EP 0 248 J 设 F 力功 WF 对这一过程应用动能定理或功能原理 WF EP mA mB g x x 1 2 mA mB v2 联立 且注意到 EP 0 248J 可知 WF 9 64 10 2J P15 例例 5 2005 年全国卷年全国卷 24 如图 质量为的物体 A 经一轻质弹簧与下方地面上 1 m 的质量为的物体 B 相连 弹簧的劲度系数为 k A B 都处于静止状态 一条不可伸长 2 m 的轻绳绕过轻滑轮 一端连物体 A 另一端连一轻挂钩 开始时各段绳都处于伸直状态 A 上方的一段绳沿竖直方向 现在挂钩上挂一质量为的物体 C 并从静止 3 m 状态释放 已知它恰好能使 B 离开地面但不继续上升 若将 C 换成 另一个质量为的物体 D 仍从上述初始位置由静止状态释 21 mm 放 则这次 B 刚离地时 D 的速度的大小是多少 已知重力加速度为 g 答 kmm gmmm v 2 2 31 2 211 P18 例例 6 2004 年广西卷年广西卷 17 16 分 图中 轻弹簧的一端固定 另一端与滑块 B 相连 B B B A A A A A A B B B N N N N N N m mm A A Ag g g m mm B B Bg g g F F F KxKxKx m2 A B k m1 B 静止在水平导轨上 弹簧处在原长状态 另一质量与 B 相同滑块 A 从导轨上的 P 点以 某一初速度向 B 滑行 当 A 滑过距离时 与 B 相碰 碰撞时间极短 碰后 A B 紧贴在 1 l 一起运动 但互不粘连 已知最后 A 恰好返回出发点 P 并停止 滑块 A 和 B 与导轨的滑 动摩 擦因数都为 运动过程中弹簧最大形变量为 2 l 求 A 从 P 出发时的初速度 0 v 解 令 A B 质量皆为 m A 刚接触 B 时速度为 碰前 1 v 由功能关系 有 1 2 1 2 0 2 1 2 1 mglmvmv A B 碰撞过程中动量守恒 令碰后 A B 共同运动的速度为有 2 v 21 2mvmv 碰后 A B 先一起向左运动 接着 A B 一起被弹回 在弹簧恢复到原长时 设 A B 的 共同速度为 在这过程中 弹簧势能始末两态都为零 利用功能关系 有 3 v 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 3 2 2 lgmvmvm 此后 A B 开始分离 A 单独向右滑到 P 点停下 由功能关系有 1 2 3 2 1 mglmv 由以上各式 解得 1610 210 llgv P20 0707 年年 1 1 月苏州市教学调研测试月苏州市教学调研测试 17 15 分 如图所示 质量均为 m 的 A B 两球间 有压缩的轻短弹簧处于锁定状态 放置在水平面上竖直光滑的发射管内 两球的大小尺寸 和弹簧尺寸都可忽略 它们整体视为质点 解除锁定时 A 球能上升的最大高度为 H 现 让两球包括锁定的弹簧从水平面出发 沿光滑的半径为 R 的半圆 槽从左侧由静止开始下滑 滑至最低点时 瞬间解除锁定 求 1 两球运动到最低点弹簧锁定解除前所受轨道的弹力 2 A 球离开圆槽后能上升的最大高度 解 解 1 6 分 A B 系统由水平位置滑到轨道最低点时速度为 v0 根据机械守恒定律 2mgR 2m v02 1 2 设轨道对小球的弹力为 F 根据牛顿第二定律 2 0 22 v Fmgm R 得 F 6mg 2 9 分 解除锁定后弹簧将弹性势能全部转化为 A B 的机械能 则弹性势能为 EP mgH 解除锁定后 A B 的速度分别为 vA vB 解除锁定过程中动量守恒 P l2 l1 AB A R B A B 0 2 BA mvmvmv 系统机械能守恒 2mv02 EP m vA2 m vB2 1 2 1 2 1 2 联立上述各式得 2 A vgRgH 正号舍去 2 A vgRgH 设球 A 上升的高度为 h 球 A 上升过程机械能守恒 mg h R m vA2 1 2 整理后得 2 2 H hRH P23 06 年广东汕头市二模年广东汕头市二模 17 16 分 如图示 一轻质弹簧一端固定 另一端与质量为 M 的小滑块连接 开始时滑块静止在水平导轨的 O 点 弹簧处于原长状态 导轨的 OA 段 是粗糙的 其余部分都是光滑的 有一质量为 m 的子弹以大小为 v 的速度水平向右射入滑 块 并很快停留在滑块中 之后 滑块先向右滑行并越过 A 点 然后再向左滑行 最后恰 好停在出发点 O 处 1 求滑块滑行过程中弹簧弹性势能的最大值 2 滑块停在 O 点后 另一质量也为 m 的子弹以另一速度水平向右射入滑块并很快停留 在滑块中 此后滑块滑行过程先后有两次经过 O 点 求第二颗子弹入射前的速度 u 的大小 在什么范围内 解 解 1 设 OA 段的长度为 l 与滑块间的动摩擦因数为 设第一颗子弹射入滑块后滑 块的速度为 v1 由动量守恒定律得 mv M m v1 滑块向右滑行至最右端时 弹簧弹性势能达到最大 设为 EP 由功能关系得 1 2 M m v12 M m gl EP 滑块由最右端向左滑行至 O 点 由功能关系得 EP M m gl 解得 mM vm EP 4 22 2 设第二颗子弹射入滑块后滑块的速度为 v2 由动量守恒定律得 mu M 2m v2 若滑块第一次返回 O 点时就停下 则滑块的运动情况与前面的情况相同 1 2 M 2m v2 2 M 2m g 2 l 解得 v mM mM u 2 若滑块第一次返回 O 点后继续向左滑行 再向右滑行 且重复第一次滑行过程 最后停在 O 点 则 1 2 M 2m v2 2 M 2m g 4l 解得 v mM mM u2 2 第二颗子弹入射前的速度 u 的大小在以下范围内 v mM mM uv mM mM 2 22 P26 例例 7 如图示 在光滑的水平面上 质量为 m 的小球 B 连接着轻质弹簧 处于静止 状态 质量为 2m 的小球 A 以初速度 v0向右运动 接着逐渐压缩弹簧并使 B 运动 过了一 段时间 A 与弹簧分离 1 当弹簧被压缩到最短时 弹簧的弹性势能 EP多大 2 若开始时在 B 球的右侧某位置固定一块挡板 在 A 球与弹簧未分离前使 B 球与挡板 发生碰撞 并在碰后立即将挡板撤走 设 B 球与挡板的碰撞时间极短 碰后 B 球的速度大 小不变但方向相反 欲使此后弹簧被压缩到最短时 弹性势能达到第 1 问中 EP的 2 5 倍 必须使 B 球 在速度多大时与挡板发生碰撞 解 解 1 当弹簧被压缩到最短时 AB 两球的速度相等设为 v 由动量守恒定律 2mv0 3mv 由机械能守恒定律 EP 1 2 2mv0 2 1 2 3mv2 mv 0 2 3 2 画出碰撞前后的几个过程图 由甲乙图 2mv0 2mv1 mv2 由丙丁图 2mv1 mv2 3mV 由甲丁图 机械能守恒定律 碰撞过程不做功 1 2 2mv02 1 2 3mV2 2 5EP 解得 v1 0 75v0 v2 0 5v0 V v0 3 P28 例例 8 在原子物理中 研究核子与核子关联的最有效途经是 双电荷交换反应 这类 反应的前半部分过程和下面力学模型类似 两个小球 A 和 B 用轻质弹簧相连 在光滑的水 平直轨道上处于静止状态 在它们左边有一垂直轨道的固定档板 P 右边有一小球 C 沿轨 道以速度 v0射向 B 球 如图所示 C 与 B 发生碰撞并立即结成一个整体 D 在它们继续向 左运动的过程中 当弹簧长度变到最短时 长度突然被锁定 不再改变 然后 A 球与档 板 P 发生碰撞 碰后 A D 静止不动 A 与 P 接触而不粘连 过一段时间 突然解除销定 锁定及解除锁定均无机械能损失 已知 A B C 三球的质量均为 m 1 求弹簧长度刚被锁定后 A 球的速度 2 求在 A 球离开档板 P 之后的运动过程中 P P P m mm A A A B B B V V V0 0 0 C C C B A v 0 B A v 0 甲 B A v 1 v 2 乙 B A v 1 v 2 丙 A V 丁 B 弹簧的最大弹性势能 解 解 整个过程可分为四个阶段来处理 1 设 球与 球粘结成 时 D 的速度为 1 由动量守恒定律 得 mv0 2mv1 当弹簧压至最短时 与 的速度相等 设此速度为 v2 由动量守恒定律 得 2mv1 3 v2 联立 式得 v2 v0 3 也可直接用动量守恒一次求出 从接触到相对静止 mv0 3mv2 v2 1 3 v0 2 设弹簧长度被锁定后 贮存在弹簧中的势能为 EP 由能量守恒定律 得 1 2 2 v12 1 2 3 v22 EP 撞击 后 与 的动能都为零 解除锁定后 当弹簧刚恢复到自然长度时 弹性势能全 部转变成 的动能 设 的速度为 v3 有 EP 1 2 2 v32 以后弹簧伸长 球离开挡板 并获得速度 设此时的速度为 v4 由动量守恒定律 得 2 v3 3 v4 当弹簧伸到最长时 其弹性势能最大 设此势能为 EP 由能量守恒定律 得 1 2 2 v32 1 2 3 v42 EP 联立 式得 2 0 36 1 mvEP P31 例例 9 03 年江苏高考年江苏高考 20 13 分 如图 1 在光滑水平长直轨道上 放着一个静止的 弹簧振子 它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成 两小球质量相等 现突然给左端小球 一个向右的速度 u0 求弹簧第一次恢复到自然长度时 每个小球的速度 如图 2 将 N 个这样的振子放在该轨道上 最左边的振子 1 被压缩至弹簧为某一长 度后锁定 静止在适当位置上 这时它的弹性势能为 E0 其余各振子间都有一定的距离 现解除对振子 1 的锁定 任其自由运动 当它第一次恢复到自然长度时 刚好与振子 2 碰 撞 此后 继续发生一系列碰撞 每个振子被碰后刚好都是在弹簧第一次恢复到自然长度 时与下一个振子相碰 求所有可能的碰撞都发生后 每个振子弹性势能的最大值 已知本 题中两球发生碰撞时 速度交换 即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度 设每个小球质量为 m 以 u1 u2分别表示弹簧恢复到自然长度时左右两端小球的速 度 由动量守恒和能量守恒定律有 mu1 mu2 mu0 1 2mu12 1 2mu22 1 2 mu02 解得 u1 u0 u2 0 或者 u1 0 u2 u0 由于振子从初始状态到弹簧恢复到自然长度过程中 右端小球一直加速 因此实际解为 1 2 3 4 N 左 左 右 右 图 1 图 2 m u1 0 u2 u0 以 v1 v1 分别表示振子 1 解除锁定后弹簧恢复到自然长度时 左右两小球的速度 规定向右为速度的正方向 由动量守恒和能量守恒定律 mv1 mv1 0 1 2mv12 1 2 mv1 2 E0 解得 或 m E v m E v 0 1 0 1 m E v m E v 0 1 0 1 由于该过程中左右小球分别向左右加速 故应取第 2 组解 振子 1 与振子 2 碰撞后 由于 交换速度 振子 1 右端小球速度变为 0 左端小球速度仍为 v1 此后两小球都向左运动 当它们速度相同时 弹簧弹性势能最大 设此速度为 v10 则 2mv10 mv1 用 E1表示最大弹 性势能 则 1 2mv102 1 2 mv102 E1 1 2mv12 解得 E1 E0 4 同理可推出 每个振子弹性势能最大的最大值都是 E0 4 P34 练习练习 1 04 全国 如图所示 四个完全相同的弹簧都处于水平位置 它们的右端受到 大小皆为 F 的拉力作用 而左端的情况各不相同 中弹簧的左端固定在墙上 中弹簧 的左端受大小也为 F 的拉力作用 中弹簧的左端拴一小物块 物块在光滑的桌面上滑动 中弹簧的左端拴一小物块 物块在有摩擦的桌面上滑动 若认为弹簧的质量都为零 以 l1 l2 l3 l4依次表示四个弹簧的伸长量 则有 D A l2 l1 B l4 l3 C l1 l3 D l2 l4 P35 练习练习 2 如图所示 一根轻质弹簧和一根细线共同拉住一个质量为 m 的小球 平衡 时细线恰是水平的 弹簧与竖直方向的夹角为 若突然剪断细线 则在刚剪断的瞬时 弹簧拉力的大小是 mg cos 小球加速度 的大小为 g tg 方向与竖直方向的夹角等于 90 小球再回 到原处时弹簧拉力的大小是 mg cos P36 练习练习 3 2001 年江浙卷 年江浙卷 18 如图所示 在一粗糙水平面上有两个质量分别为 m1和 m2的木块 1 和 2 中间用一原长为 l 劲度系数为 K 的轻弹簧连接起来 木块与地面间的 滑动摩擦因数为 现用一水平力向右拉木块 2 当两木块一起匀速运动时两木块之间的 距离是 A A B gm K l 1 gmm K l 21 C D gm K l 2 g mm mm K l 21 21 P37 练习练习 4 如图所示 质量为 m1的框架顶部悬挂着质量分别为 m2 m3的两物体 m2 m3 物体开始处于静止状态 现剪断两物体间的 m2 m3 1 1 1 2 2 2 F 连线取走 m3 当物体 m2向上运动到最高点时 弹 簧对框架的作用力大小等于 m2 m3 g 框架对 地面的压力等于 m1 m2 m3 g P38 练习练习 5 05 年广东卷 6 如图所示 两根足够长的固定平行金属光滑导轨位于同一水平 面 导轨上横放着两根相同的导体棒 ab cd 与导轨构成矩形回路 导体棒的两端连接着处于 压缩状态的两根轻质弹簧 两棒的中间用细线绑住 它们的电阻均为 R 回路上其余部分的电 阻不计 在导轨平面内两导轨间有一竖直向下的匀强磁场 开始时 导体棒处于静止状态 剪断 细线后 导体棒在运动过程中 A D A 回路中有感应电动势 B 两根导体棒所受安培力的方向相同 C 两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒 机械能守恒 D 两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒 机械能不守恒 P39 练习练习 6 如图所示 质量为 m 的小球用水平弹簧系住 并用倾角为 30 的光滑木板 斜托住 小球恰好处于静止状态 当木板 AB 突然向下撤离的瞬间 小球的加速度为 C A 0 B 大小为 方向竖直向下 C 大小为 方向垂直于木板向下 g 3 32 g 3 32 D 大小为 方向水平向左g 3 3 P40 练习练习7 00 年春季招生考试年春季招生考试 11 一轻质弹簧 上端悬挂于天花板 下端系一质量为 M 的平板 处在平衡状态 一质量为 m 的均匀环套在弹簧外 与平板的距离为 h 如图所 示 让环自由下落 撞击平板 已知碰后环与板以相同的速度 向下运动 使弹簧伸长 A C A 若碰撞时间极短 则碰撞过程中环与板的总动量守恒 B 若碰撞时间极短 则碰撞过程中环与板的总机械能守恒 C 环撞击板后 板的新的平衡位置与 h 的大小无关 D 在碰后板和环一起下落的过程中 它们减少的动能等于克服弹簧力所作的功 P41 练习练习 8 如图所示 原长为 30 cm 的轻弹簧竖直立于地面 下端固定于地面 质量为 m 0 1kg 的物体放到弹簧顶部 物体静止 平衡时弹簧长为 26cm 如果物体从距地面 130 cm 处自由下落到弹簧上 当物体压缩弹簧到距地面 22cm 不计空气 阻力 取 g l0m s2 有 AC A 物体的动能为 1J d b ac h M m 30cm 4cm 4cm B 300 A B 物块的重力势能为 1 08J C 弹簧的弹性势能为 0 08J D 物块的动能与重力势能之和为 2 16J P42 练习练习 9 04 年广东年广东 如图所示 密闭绝热的具有一定质量的活塞 活塞的上部封闭着气 体 下部为真空 活塞与器壁的摩擦忽略不计 置于真空中的轻弹簧的一端固定于容器的底部 另一端固定在活塞上 弹簧被压缩后用绳扎紧 此时弹簧的弹性势能为 EP 弹簧处于自然长度 时的弹性势能为零 现绳突然断开 弹簧推动活塞向上运动 经过多次往复运动后活塞静止 气 体达到平衡态 经过此过程 D A EP全部转换为气体的内能 B EP一部分转换成活塞的重力势能 其余部分仍为弹簧的弹性势能 C EP全部转换成活塞的重力势能和气体的内能 D EP一部分转换成活塞的重力势能 一部分转换为气体的内能 其余部分仍为弹簧的弹性势能 P43 练习练习 10 如图所示 一根轻弹簧竖直放置在地面上 上端为 O 点 某人将质量为 m 的物块放在弹簧上端 O 处 使它缓慢下落到 A 处 放手后物块处于平衡状态 在此过程中 人所做的功为 W 如果将物块从距轻弹簧上端 O