函数定义域的类型和求法

函数定义域的类型和求法函数定义域的类型和求法 本文介绍函数定义域的类型和求法 目的在于使学生全面认识定义域 深刻理 解定义域 正确求函数的定义域 现举例说明 一 常规型 即给出函数的解析式的定义域求法 其解法是由解析式有意义列出关于自变量 的不等式或不等式组 解此不等式 或组 即得原函数的定义域 例 1 求函数的定义域 解 要使函数有意义 则必须满足 由 解得 或 由 解得 或 和 求交集得且或 x 5 故所求函数的定义域为 例 2 求函数的定义域 解 要使函数有意义 则必须满足 由 解得 由 解得 由 和 求公共部分 得 故函数的定义域为 评注 和 怎样求公共部分 你会吗 二 抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数 不能常规方法求解 一般表示为已知一 个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式 一般有两种情况 1 已知的定义域 求的定义域 其解法是 已知的定义域是 a b 求的定义域是解 即为所求的定义域 例 3 已知的定义域为 2 2 求的定义域 解 令 得 即 因此 从而 故函数的定义域是 2 已知的定义域 求 f x 的定义域 其解法是 已知的定义域是 a b 求 f x 定义域的方法是 由 求 g x 的值域 即所求 f x 的定义域 例 4 已知的定义域为 1 2 求 f x 的定义域 解 因为 即函数 f x 的定义域是 三 逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围 特别是对于已知定义域 为 R 求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决 例 5 已知函数的定义域为 R 求实数 m 的取值范围 分析 函数的定义域为 R 表明 使一切 x R 都成立 由 项的系数是 m 所以应分 m 0 或进行讨论 解 当 m 0 时 函数的定义域为 R 当时 是二次不等式 其对一切实数 x 都成立的充 要条件是 综上可知 评注 不少学生容易忽略 m 0 的情况 希望通过此例解决问题 例 6 已知函数的定义域是 R 求实数 k 的取值范围 解 要使函数有意义 则必须 0 恒成立 因为的定义域为 R 即无实数 当 k 0 时 恒成立 解得 当 k 0 时 方程左边 3 0 恒成立 综上 k 的取值范围是 四 实际问题型 这里函数的定义域除满足解析式外 还要注意问题的实际意义对自变量的限制 这点要加倍注意 并形成意识 例 7 将长为 a 的铁丝折成矩形 求矩形面积 y 关于一边长 x 的函数的解析式 并求函数的定义域 解 设矩形一边为 x 则另一边长为于是可得矩形面积 由问题的实际意义 知函数的定义域应满足 故所求函数的解析式为 定义域为 0 例 8 用长为 L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架 如图 若矩形底边长 为 2x 求此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式 并求定义域 解 由题意知 此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积 如图 因为 CD AB 2x 所以 所以 故 根据实际问题的意义知 故函数的解析式为 定义域 0 五 参数型 对于含参数的函数 求定义域时 必须对分母分类讨论 例 9 已知的定义域为 0 1 求函数的定义域 解 因为的定义域为 0 1 即 故函数的定义域为下列 不等式组的解集 即 即两个区间 a 1 a 与 a 1 a 的交集 比较两个区间左 右端点 知 1 当时 F x 的定义域为 2 当时 F x 的定义域为 3 当或时 上述两区间的交集为空集 此时 F x 不能构成函 数 六 隐含型 有些问题从表面上看并不求定义域 但是不注意定义域 往往导致错解 事实 上定义域隐含在问题中 例如函数的单调区间是其定义域的子集 因此 求函 数的单调区间 必须先求定义域 例 10 求函数的单调区间 解 由 即 解得 即函数 y 的定义域 为 1 3 函数是由函