材料力学弯曲内力.ppt

第四章弯曲内力 4 1平面弯曲的概念 4 2梁的剪力和弯矩 4 3剪力图和弯矩图 4 4剪力 弯矩与荷载集度间的关系 4 5按叠加原理作弯矩图 4 1平面弯曲的概念 一 弯曲的概念 1 弯曲 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时 轴线变成了曲线 这种变形称为弯曲 2 梁 以弯曲变形为主的构件通常称为梁 3 工程实例 二 平面弯曲 杆件具有纵向对称面 荷载作用在纵向对称面内 梁弯曲后轴线弯成一条平面曲线 称为平面弯曲 在后几章中 将主要研究平面弯曲的内力 应力及变形等 三 简单静定梁 悬臂梁 简支梁 外伸梁 火车轮轴简化 梁的载荷与支座 车削工件 吊车大梁简化 受均布载荷 4 2梁的剪力和弯矩 F A B a l F A B FAx FAy FB 荷载和支座反力皆属外力 下面研究横截面的内力 P A B a l 将梁从 位置截开 取左侧 x A FAy Fs M x 因内力必须与外力平衡 故内力简化结果为一力和一力偶 该力与截面平行 称为截面的剪力 用Fs表示之 该力偶的力偶矩称为截面的弯矩 用M表示之 剪力正负的规定 使微段有顺时针转动趋势的剪力为正 反之为负 弯矩正负的规定 使微段下面受拉 上面受压变形的弯矩为正 反之为负 Fs Fs Fs Fs M M M M 剪力正负的规定 弯矩正负的规定 内力通过平衡方程计算 A FAy Fs M x 计算梁内力的步骤 取整体 求支座反力 悬臂梁此步可省 将梁在要求内力的部位截开 选简单一側作研究对象 画受力图 截面的剪力 弯矩一定要按正的规定画 列平衡方程 Fx 0 求剪力FS m 0 求弯矩 例1求图示梁1 2 3 4截面的内力 A B C D 2m 2m 2m F 12kN q 2kN m 1 1 2 2 3 3 4 4 解 取整体 FA FB 1 1截面 FA 1 1 Fs1 M1 A 由1 1截面的内力计算可得结论 杆端无力偶作用 紧挨杆端截面的弯矩M 0 C P 12kN 2 2截面 FA 2 2 Fs2 M2 A FA 3 3 Fs3 M3 A 3 3截面 D 2 2 3 3 P Fs3 M3 Fs2 M2 由2 3截面的内力计算可得如下结论 集中力 包括支座反力 两侧截面的的弯矩相等 集中力 包括支座反力 两侧截面的的剪力不等 左右截面剪力之差等于集中力 集中力以向下为正 C 4 4 M4 Fs4 4 4截面 由4 4截面的内力计算可得如下结论 自由端无集中力作用 端截面剪力等于零 F 0 自由端无集中力偶作用 端截面弯矩等于零 M 0 例2求图示梁1 2 3截面的内力 解 取整体 1 1截面 FA 1 1 Fs1 A M1 m1 FA 2 2 Fs2 M2 A 3 3 Fs3 M3 B m1 2 2截面 3 3截面 FB 由2 3截面的内力计算可得如下结论 集中力偶两侧截面的的剪力相等 集中力偶两侧截面的的弯矩不等 左右截面弯矩之差等于集中力偶矩 集中力偶矩以逆时针转为正 C 2 2 3 3 Fs3 M3 FS2 M2 m2 例3求图示梁1 2 3截面的内力 解 取整体 1 1截面 FA 1 1 Fs1 M1 A B FA 2 2 Fs2 M2 A m 2 2截面 3 3 Fs3 M3 FB q 3 3截面 B 4 3剪力图和弯矩图 q x q l x l Fs x M x 图示梁任一截面的内力 截面剪力是截面坐标的函数 称为剪力方程 截面弯矩也是截面坐标的函数 称为弯矩方程 q x l 剪力方程的函数图象称为剪力图 正的剪力画在基线上侧 负的画在下侧 剪力图 ql x Fs 弯矩方程的函数图象称为弯矩图 ql2 2 弯矩图 悬臂梁受均布载荷作用 试写出剪力和弯矩方程 并画出剪力图和弯矩图 解 任选一截面x 写出剪力和弯矩方程 依方程画出剪力图和弯矩图 由剪力图 弯矩图可见 最大剪力和弯矩分别为 4 例题5 图示简支梁C点受集中力作用 试写出剪力和弯矩方程 并画出剪力图和弯矩图 解 1 确定约束力 FAy Fb lFBy Fa l 2 写出剪力和弯矩方程 AC CB 3 依方程画出剪力图和弯矩图 例题6 图示简支梁C点受集中力偶作用 试写出剪力和弯矩方程 并画出剪力图和弯矩图 解 1 确定约束力 FAy M lFBy M l 2 写出剪力和弯矩方程 AC 3 依方程画出剪力图和弯矩图 例题7 简支梁受均布载荷作用 试写出剪力和弯矩方程 并画出剪力图和弯矩图 解 1 确定约束力 FAy FBy ql 2 2 写出剪力和弯矩方程 3 依方程画出剪力图和弯矩图 例题8 4 4剪力 弯矩与荷载集度间的关系 A B dx x q x M x dM x Fs x dFs x Fs x M x dx o 取微段dx 受力如图 A B dx x 略去高阶微量得 当q 0 Fs 常数 Fs图为平直线 M为一次函数 M图为斜直线 当q 常数 Fs为一次函数 Fs图为斜直线 M为二次函数 M图为抛物线 当M图为抛物线时 画M图需确定抛物线顶点的位置和顶点的弯矩值 由 可知弯矩抛物线顶点对应于剪力图等于零的位置 1 在集中力作用处剪力发生突变 弯矩的斜率发生变化 成为一个转折点 2 在集中力偶处弯矩发生变化 变化的数值等于力偶矩数值 3 的绝对值可能发生在剪力等于0处 也可能发生在集中力作用处 还有集中力偶处 根据M Fs与q之间的关系 可不必列剪力方程和弯矩方程 即可画出剪力图和弯矩图 另外 根据M Fs与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下 取整体 求支座反力 悬臂梁此步可省 将梁分段 凡是集中力 集中力偶作用点 分布荷载两端 支座处都应取作分段点 用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩 由Fs 0确定弯矩抛物线顶点所对应的截面位置 并求出该截面的弯矩值 用直线 均布荷载下弯矩图用抛物线将各截面剪力 弯矩连起来 并在图上标出正负号 各控制截面的剪力值和弯矩值 以及弯矩抛物线顶点所对应的截面位置 例9画图示梁的剪力图和弯矩图 解 取整体 Fs图 M图 Fs M 1 2 3 4 0 0 B A C 2m m 12kN m q 6kN m 4 4 2 2 3 FA 6kN FB 18kN 3 4m 1 1 Fs图 M图 Fs M 1 2 3 4 5 0 0 FA 2 2 Fs2 M2 A 6 6 6 12 B Fs图 M图 Fs M 1 2 3 4 0 0 6 6 18 12 FA 3 3 Fs3 M3 A m 24 B 4 4 M4 Fs4 FB 6 A C 2m m 12kN m q 6kN m 4 4 2 2 3 FA 6kN FB 18kN 3 4m 1 1 Fs图 M图 Fs M 1 2 3 4 5 0 0 6 6 18 12 24 B 6 6kN 18kN 3m 5 5 5 5 Fs5 M5 FB q 0 27 12kN m 24kN m 27kN m B 例10画图示梁的剪力图和弯矩图 A C 2m F 6kN q 3kN m 6 6 2 2 3 FA FB 3 2m 1 1 解 取整体 Fs图 M图 Fs M 1 2 3 4 5 0 0 2m B 4 4 5 5 D 6 A C 2m F 6kN q 3kN m 6 6 2 2 3 FA 5kN FB 7kN 3 2m 1 1 Fs图 M图 Fs M 1 2 3 4 5 0 0 2m B 4 4 5 5 D 6 5 7 5 FA 3 3 Fs3 M3 A F 1 1 1 10 10 5kN 1kN 7kN 10kN m A C 2m F 6kN q 3kN m 6 6 2 2 3 FA 5kN FB 7kN 3 2m 1 1 Fs图 M图 Fs M 1 2 3 4 5 0 0 2m B 4 4 5 5 D 6 5 7 5 RA 4 4 Fs4 M4 A P 1 1 1 10 10 5kN 1kN 7kN 10kN m 8kN m 8 8 例11画图示梁的内力图 A B C 4m 2m P 4kN q 2kN m 1 1 2 2 3 3 4 4 解 取整体 FB mA Fs图 M图 Fs M 1 2 3 4 0 0 8 4 4 A B C 4m 2m P 4kN q 2kN m 1 1 2 2 3 3 4 4 FB 12kN Fs图 M图 Fs M 1 2 3 4 0 0 8 4 4 mA 8kN m P 4kN 2 2 FB Fs2 M2 8 8 8 4kN 8kN 8kN m 8kN m C B 例12画图示梁的内力图 A B C D 3m 4m 2m F 3kN q 1kN m 1 1 2 2 3 3 6 6 解 取整体 FA FC 4 4 5 5 m 6kN m Fs图 M图 kN kN m A B C D 3m 4m 2m P 3kN q 1kN m 1 1 2 2 3 3 6 6 FA 2 5kN FC 6 5kN 4 4 5 5 m 6kN m Fs图 M图 kN kN m 2 5 3 3 5 A B C D 3m 4m 2m P 3kN q 1kN m 1 1 2 2 3 3 6 6 FA 2 5kN FC 6 5kN 4 4 5 5 m 6kN m Fs图 M图 kN kN m 2 5 3 3 5 FA 3 3 Fs3 M3 A m q 9 4 A B C D 3m 4m 2m P 3kN q 1kN m 1 1 2 2 3 3 6 6 FA 2 5kN FC 6 5kN 4 4 5 5 m 6kN m Fs图 M图 kN kN m 2 5 3 3 5 FA 2 2 Fs2 M7 A q 9 4 2 2 5m FA 7 7 Fs7 A q 7 7 3 125 M2 二 按叠加原理作弯矩图 q m A B l m A B l q A B l FA m l FB m l FA ql 2 FB ql 2 Fs图 M图 m l m ql 2 ql 2 ql2 8 m l ql 2 m l ql 2 m ql2 8 Mmax P m A B l 2 m A B A B FA m l FB m l RA P 2 FB P 2 Fs图 M图 m l m P 2 P 2 Pl 4 m l P 2 m l P 2 m Pl 4 l 2 l 2 l 2 l 2 l 2 P 应用叠加原理画弯矩图常用的两种情况 l 2 l 2 A B MA MB P l 2 l 2 A B MA MB q Pl 4 MA MB MB MA ql2 8 M图 b M图 a AB段梁中间作用一集中力P 两端弯矩为MA MB 该段梁的弯矩图如图 a 所示 AB段梁作用于均布荷载 两端弯矩为MA MB 该段梁的弯矩图如图 b 所示 例13用叠加法画图示梁的弯矩图 q 2kN m A P 4kN 6m 2m 1 1 2 2 3 3 4 4 B C M图 解 将梁分为AB BC两段 8kN m 9kN m 不必求支座反力 例14用叠加法画图示梁的弯矩图 q 2kN m A P 4kN 4m 2m 1 1 2 2 3 3 4 4 C B M图 2m 8kN m 解 将梁分为AC BC两段 先求支座反力 FA FB q 2kN m A P 4kN 4m 2m 1 1 2 2 3 3 4 4 C B M图 16kN m 4kN m 2m 8kN m 4kN m 8kN m FA 6kN FB 6kN 例15用叠加法画图示梁的弯矩图 3kN 10kN 2kN m 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 A B C D 2m 2m 2m 2m M图 解 将梁分为AB BC CD三段 不必求支座反力 6kN m 4kN m 10kN m 1kN m 5kN m 平面刚架 某些机器的机身 压力机等 由几根直杆组成 而各杆在其联