3.4不动点理论(讲义)

1 3 4 不动点理论不动点理论 3 4 1 不不动动点定理点定理 定义定义 3 4 1 设是度量空间 是一个映射 若存在数 使对 X A XX 01 任意 有 x yX 3 4 1 Ax Ayx y 则称是上的一个压缩映射压缩映射 Contraction Mapping AX 若是线性空间 则称是上的一个压缩算子压缩算子 Contraction Operator XAX 注注 为简明起见 这里用记 Ax A x 由定义知 一个点集经压缩映射后 集中任意两点的距离缩短了 至多等于原象距离 的倍 01 定理定理 3 4 1 压缩映射是连续映射 证证 证明压缩映射是连续映射 即证明 对任意收敛点列 必有A 0 n xxn 0 n AxAxn 因为点列 即 0 n xxn 0 0 n xxn 又因为是压缩映射 即存在数 使得A 01 00 nn AxAxxx 所以 0 0 n AxAxn 即 0 n AxAxn 证毕 定义定义 3 4 2 设是一集 是一个映射 若 使得X A XX xX 3 4 2 Axx 则称为映射的一个不动点不动点 Fixed Point xA 设是一个映射 即 定义 A XX A xAxxX 2 AxAAx 3 k k AxAAAxAxAAx 个 1 2 3 k 定理定理 3 4 2 Banach fixed point theorem Banach 1922 设是完备的度量空间 X 是一个压缩映射 则中必有的唯一不动点 A XX XA 2 证证 先先证证明映射明映射在在中存在不中存在不动动点点 AX 在中任取一点 从开始 令X 0 x 0 x 2 1021010 1 2 n nn xAxxAxA xxAxA xn 这样得到中的一个列点 往证是基本点列 X n x n x 因为是压缩映射 所以存在数 使得A 01 3 4 3 111 1 nnnnnn xxAxAxx xn 反复应用上式 由归纳法得 3 4 4 110 1 n nn xxx xn 于是 对任意正整数 由 3 4 3 及三点不等式得p 1121 npnnpnpnpnpnn xxxxxxxx 12 10 npnpn x x 3 4 5 1010 0 11 nnpn x xx xn 即是基本点列 n x 因为是完备空间 所以在中存在唯一的极限 使得X n xX x n xxn 又因为压缩映射是连续的 所以有A n AxAxn 而 1 nn Axxxn 且收敛点列的极限是唯一的 故 即就是映射在中的不动点 n Ax Axx xAX 再再证证明不明不动动点是唯一的 点是唯一的 若也是映射在中的不动点 即 则必有 x AXAxx x xAxAxx x 而 因此要使上式成立 必须 即 证毕 01 0 x x x x 注注 1 定理 3 4 4 又称为压缩映射原理压缩映射原理 contraction mapping theorem or contraction mapping principle 或 Banach 不动点定理不动点定理 Banach fixed point theorem 注注 2 空间的完备性条件 只是为了保证映射的不动点存在 至于不动点的唯一XA 性是直接从映射的压缩性来的 并不要假设空间是完备的 3 注注 3 定理 3 4 2 解决了三个问题 a 证明了压缩映射的不动点的存在性和唯一性 b 提供了求不动点的方法 迭代法 即 在完备度量空间中 从任取的 初值 出发 逐次作点列 0 x 0 n n xA x 1 2 3 n 它必收敛到方程的解 这种方法称为逐次逼近法逐次逼近法 Axx c 在 3 4 5 中令 得p 3 4 6 10 1 2 1 n n x xx xn 上式不仅给出了 近似解 与所求精确解的逼近程度 这个估计式在近似计算中很有用 n x x 而且还指出了方程的解可能的范围 又称为事先估计事先估计 例如当 由 3 4 6 Axx x0n 知 010 1 1 x xx x 注注 4 定理 3 4 2 中的空间的完备性条件不能去掉 X 例如 考察的子空间到它自身的映射 1 R 0 X 01 AxxxX 映射显然是压缩映射 但是在中没有不动点 AA 0 X 若不然 设是在中的不动点 则 xX A 0 X Axx 即 xx 1 0 x 0 x 即 矛盾 0 xX 注注 5 定理 3 4 2 中的条件不能减轻为 01 01 因为这样 即使是完备的度量空间 而且对任意 当时 有X x yX xy 1 Ax Ayx y 映射在中也可能没有不动点 AX 例如 的闭子空间到它自身的映射 1 R 1 X 1 AxxxX x 有 4 11 Ax AyAxAyxy xy 11 xyxyx y xy 因为与是一正一负或一负一正 故上述不等式成立 xy 11 xy 但在中没有不动点 A 1 X 若不然 设是在中的不动点 则 xX AX 1 xx x 1 0 x 矛盾 压缩映射原理有许多推广 下面的定理 3 4 3 是定理 3 4 2 的一个较常见的推广形式 定理定理 3 4 3 设是完备的度量空间 是一个映射 若存在一个自然数 X B XX n 使得是上的一个压缩映射 则中必有的唯一不动点 n BXXB 证证 当时 定理 3 4 3 就是定理 3 4 2 1n 当时 记 则是上的一个压缩映射 由定理 3 3 4 映射在中2n n AB AXAX 有不动点 即 x Axx 往证也是的不动点 xB 事实上 因为映射 1n ABBBA 所以 A BxABxBAxB AxBx 即是在中的不动点 BxAX 由于压缩映射在中只有一个不动点 所以 即是在中的不动点 AX Bxx xBX 下面证唯一性 设是映射在中的任一不动点 即 则 x BXBxx 11 nnn AxB xBBxBxBxx 因此是压缩映射在中的不动点 x AX 因为压缩映射在中只有一个不动点 所以 证毕 AX x x 5 作为定理 3 4 3 的一个应用 考察积分方程 d x a xf xK x yyy 其中是一个常数 这种类型的方程称为伏特拉伏特拉 Volterra 型积分方程型积分方程 定理定理 3 4 4 设是区间上的连续函数 是三角形区域 f x a b K x y x yaxb cyx 上的连续函数 且 则对任何常数 方程 K x yM 3 4 7 d x a xf xK x yyy 在上有唯一的连续函数解 a b x 证证 考察到的映射 对 C a b C a bB C a b 3 4 8 B d x a Bxf xK x yyy 则方程 3 4 7 有唯一解的问题就转化为映射在中是否有唯一的不动点的问题 即B C a b 存在唯一的 使得 xC a b Bxx 亦即 d x a f xK x yyyx 对 当时 12 C a b xa b max a x b x 3 4 9 121212 d x a BxBxK x yyyyM xa 用归纳法证明 当时 xa b 3 4 10 1212 n n nnn xa BxBxM n 当时 由 3 4 9 知 3 4 10 成立 1n 假设当时 3 4 10 成立 即1nk 3 4 11 1 1 111 1212 1 k k kkk xa BxBxM k 往证当时 3 4 10 成立 nk In fact 由 3 4 11 得 6 11 1212 11 12 1 1 1 12 1 12 12 d d d 1 1 d 1 x kkkk a x kk a k x k k a x k kk a k k k BxBxK x y ByByy K x yByByy ya MMy k Myay k xa M k 由归纳法原理知 3 4 10 成立 取自然数 使得n 1 n n n ba M n 则 121212 max nnnn a x b BBBxBx 利用定理 3 4 5 知 存在 使得 即 xC a b Bxx d x a f xK x yyyx 亦即方程 3 4 7 在上有唯一的解 证毕 C a b 3 4 2 凸集与凸包凸集与凸包 定义定义 3 4 3 凸集凸集 设是一线性空间 若对 连接它们的线段XEX x yE 1 01 xyE 则称是凸集凸集 convex set E 例例 3 4 1 设是线性空间 的每个线性子空间都是凸集 反之未必 XX 证证 设是的线性子空间 因为对及任意数 都有 特别YX x yY xyY 地 所以是一个凸集 1 xyY Y 反之 设 集 3 X R 22 0 1 Ex yXxy 是中的凸集 但不是的子空间 因为对线性运算不封闭 而的二维子空间XXE 3 X R 7 只有 证毕 2 R 定理定理 3 4 5 设是线性空间 若是一族凸集 则也是凸集 X E E 证证 由凸集的定义 定义 3 1 3 立得 定义定义 3 4 4 凸包凸包 若 是中包含的凸集全体 则就是包AX E XAE 含的最小凸集 称之为的凸包凸包 convex hull 记为 AAcov A 注注 可以证明 若 则 12 n Ax xx 1 122 1 cov 0 1