D07无锡市2018届高三第一学期期末检测数学试卷

第 1 页 共 15 页 无锡市普通高中 2017 年秋学期高三期终调研考试试卷 数学 I 卷 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共计分 共计 70 分分 请把答案填写在答题卡相应位请把答案填写在答题卡相应位 置上置上 1 已知集合 若 则实数 1 3 A 1 2 Bm ABB m 2 若复数 为虚数单位 是纯虚数 则实数 3 1 2 ai i aR ia 3 某高中共有学生 2800 人 其中高一年级 960 人 高三年级 900 人 现采用分层抽样的 方法 抽取 140 人进行体育达标检测 则抽取高二年级学生人数为 4 已知 直线 则直线 1 2 3 4 5 6 a b 1 2 10lxy 2 30laxby 的概率为 12 ll 5 根据如图所示的伪代码 当输入 a 的值为 3 时 最后输出的 S 的值为 6 直三棱柱中 已知 111 ABCABC ABBC 3AB 4BC 1 5AA 若三棱柱的所有顶点都在同一球面上 则该球的表面积为 7 已知变量满足 目标函数的最小值为 5 则的值为 x y 2 4 2 x xy xyc 3zxy c 8 函数的图像向右平移个单位后 与函数的cos 2 0 yx 2 sin 2 3 yx 图像重合 则 9 已知等比数列满足 且 成等差数列 则 n a 253 2a aa 4 a 5 4 7 2a 的最大值为 12n a aa 10 过圆内一点作两条相互垂直的弦和 且 则 22 16xy 2 3 P ABCDABCD 四边形的面积为 ACBD 11 已知双曲线与椭圆的焦点重合 离心率互为 22 22 1 0 0 xy Cab ab 22 1 1612 xy 倒数 设分别为双曲线的左 右焦点 为右支上任意一点 则的最小 12 F FCP 2 1 2 PF PF 值为 第 2 页 共 15 页 12 在平行四边形中 为的中点 为ABCD4AB 2AD 3 A MDCN 平面内一点 若 则 ABCD ABNBAMAN AM AN 13 已知函数 若存在 使得 f x 2 2 1 2 211 2 11 log 22 xx x x x x 2 22g xxx aR 则实数的取值范围是 0f ag b b 14 若函数在区间上单调递增 则实数的取值范围是 2 1 f xxxa 1 2 a 二 解答题二 解答题 本大题共 本大题共 6 小题 共小题 共 90 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 如图 是菱形 平面 ABCDDE ABCD AFDE2DEAF 1 求证 平面 AC BDE 2 求证 平面 ACBEF 16 本小题满分 14 分 在中 角的对边分别为 C 2A ABC A B C a b c 3 cos 4 A 1 求的值 cosB 2 若 求的周长 24ac ABC 第 3 页 共 15 页 17 本小题满分 14 分 如图 点为某沿海城市的高速公路出入口 直线为海岸线 CBD 3 CAB 是以为圆心 半径为的圆弧型小路 该市拟修建一条从通往ABBD A BCA1kmC 海岸的观光专线 其中为上异于的一点 与平行 设 A CPPQ P A BC B CPQAB PAB 1 证明 观光专线的总长度随的增大而减小 A CPPQ 2 已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的 2 倍 当取何值时 观PQ A CP 光专线的修建总成本最低 请说明理由 A CPPQ 18 本小题满分 16 分 已知椭圆的离心率为 分别为左 右焦点 22 22 1 0 0 xy Eab ab 2 2 12 F F 分别为左 右顶点 原点到直线的距离为 设点在第一象限 且 A BOBD 6 3 P 轴 连接交椭圆于点 PBx PAC 1 求椭圆的方程 E 2 若三角形的面积等于四边形 OBPC 的面积 求直线 PA 的方程 ABC 3 求过点 B C P 的圆方程 结果用 表示 t 第 4 页 共 15 页 19 本小题满分 16 分 已知数列满足 是数列的前项的 n a 12 1111 1 1 1 nn aaaa nN n S n an 和 1 求数列的通项公式 n a 2 若 成等差数列 18 成等比数列 求正整数的值 p a30 q S p a q S p q 3 是否存在 使得为数列中的项 若存在 求出所有满足条 kN 1 16 kk a a n a 件的的值 若不存在 请说明理由 k 20 本小题满分 16 分 已知函数 其中 32 x f xex 2 g xa x a xR 1 求过点和函数的图像相切的直线方程 2 0 yf x 2 若对任意 有恒成立 求的取值范围 xR f xg x a 3 若存在唯一的整数 使得 求的取值范围 0 x 00 f xg x a 第 5 页 共 15 页 数学 II 加试题 21 选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵 若矩阵属于特征值的一个特征向量为 属于特征 34 A ab A 1 1 1 2 值的一个特征向量为 求矩阵 2 2 3 A 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中 直线 的参数方程是 是参数 以原点为极xOyl 1 2 3 2 xt ytm t 点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 若圆的极坐标方程是 且直线xC4sin 与圆相交 求实数的取值范围 lCm 第 6 页 共 15 页 23 某公司有四辆汽车 其中车的车牌尾号为 0 两辆车的车牌尾号为 A B C DA B C 6 车的车牌尾号为 5 已知在非限行日 每辆车都有可能出车或不出车 已知D 两辆汽车每天出车的概率为 两辆汽车每天出车的概率为 且四辆汽车 A D 3 4 B C 1 2 是否出车是相互独立的 该公司所在地区汽车限行规定如下 1 求该公司在星期四至少有 2 辆汽车出车的概率 2 设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和 求的分布列和数学期望 24 在四棱锥中 是等边三角形 底面是直角梯形 PABCD ABP ABCD 是线段的中点 底面 已知90DAB ADBCEABPE ABCD 22DAABBC 1 求二面角的正弦值 PCDAB 2 试在平面上找一点 使得平面 PCDMEM PCD 第 7 页 共 15 页 参考答案 一 填空题一 填空题 1 3 2 6 3 47 4 5 21 1 12 6 7 5 8 9 1024 50 6 10 19 11 答案 8 12 答案 6 13 答案 2 0 14 答案 7 1 2 二 简答题 本大题共二 简答题 本大题共 6 小题 共小题 共 90 分分 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 解 1 证明 因为平面 所以 DE ABCDDEAC 因为是菱形 所以 ABCDACBD 因为DEBDD 所以平面 AC BDE 2 证明 设 取中点 连结 ACBDO BEG FG OG 所以 且 1 2 OGDE 1 2 OGDE 因为 所以且 AFDE2DEAF AFOGAFOG 从而四边形是平行四边形 AFGO FGAO 因为平面 平面 FG BEFAO BEF 所以平面 即平面 AOBEF ACBEF 第 8 页 共 15 页 16 解 1 因为 3 cos 4 A 所以 2 coscos22cos1CAA 2 31 2 1 48 在中 因为 所以 ABC 3 cos 4 A 7 sin 4 A 因为 所以 1 cos 8 C 2 13 7 sin1 88 C 所以 9 coscos sinsincoscos 16 BABABAB 2 根据正弦定理 所以 sinsin ac AC 2 3 a c 又 所以 24ac 4a 6c 222 2cos25bacacB 5b 所以的周长为 15 ABC 17 解 1 由题意 所以 3 CAP A 3 CP 又 cos1 cosPQABAP 所以观光专线的总长度 1 cos 3 f cos1 3 0 3 因为当时 0 3 1 sin0f 所以在上单调递减 f 0 3 即观光专线的总长度随的增大而减小 A CPPQ 2 设翻新道路的单位成本为 0 a a 则总成本 22cos 3 ga 2cos2 3 a 0 3 12sin ga 令 得 因为 所以 0g 1 sin 2 0 3 6 当时 当时 0 6 0g 63 0g 所以 当时 最小 6 g 第 9 页 共 15 页 答 当时 观光专线的修建总成本最低 6 A CPPQ 18 解 1 因为椭圆的离心率为 22 22 1 0 xy Eab ab 2 2 所以 22 2ac bc 所以直线的方程为 DB 2 2 yxb 又到直线的距离为 所以 OBD 6 3 6 31 1 2 b 所以 1b 2a 所以椭圆的方程为 E 2 2 1 2 x y 2 设 2 Pt0t 直线的方程为 PA 2 2 2 t yx 由 整理得 2 2 1 2 2 2 2 x y t yx 2222 4 2 2280txt xt 解得 则点的坐标是 2 2 4 22 4 C t x t C 2 22 4 224 44 tt tt 因为三角形的面积等于四边形的面积 所以三角形的面积等于三角形ABCOBPCAOC 的面积 BPC 22 142 2 2 244 AOC tt S tt 23 22 14 222 2 244 PBC tt St tt 则 解得 3 22 22 2 44 tt tt 2t 第 10 页 共 15 页 所以直线的方程为 PA220 xy 3 因为 2 0 B 2 Pt 2 22 4 224 44 tt C tt 所以的垂直平分线 BP 2 t y 的垂直平分线为 BC 2 22 24 tt yx t 所以过三点的圆的圆心为 B C P 2 2 8 22 4 tt t 则过三点的圆方程为 B C P 2 22 2 8 22 4 tt xy t 42 22 2 4 4 tt t 即所求圆方程为 2 22 2 28 2 4 t xxy t 2 8 0 4 ty t 19 解 1 因为 12 1111 1 1 1 nn aaaa nN 所以当时 1n 11 11 1 aa 1 2a 当时 2n 由和 12 11 1 1 aa 11 1 nn aa 1211 1111 1 1 1 nn aaaa 两式相除可得 即 1 1 1 n nn a aa 1 1 2 nn aan 所以 数列是首项为 2 公差为 1 的等差数列 n a 于是 1 n an 2 因为 30 成等差数列 18 成等比数列 p a q S p a q S 所以 于是 或 2 60 18 pq pq aS a S 6 54 p q a S 54 6 p q a S 第 11 页 共 15 页 当时 解得 6 54 p q a S 16 3 54 2 p qq 5 9 p q 当时 无正整数解 54 6 p q a S 154 3 6 2 p qq 所以 5p 9q 3 假设存在满足条件的正整数 使得 k 1 16 kkm a aamN 则 1 2 161kkm 平方并化简得 22 22 23 63mk 则 225 221 63mkmk 所以 或 或 22563 2211 mk mk 22521 2213 mk mk 2259 2217 mk mk 解得 或 舍去 15m 14k 5m 3k 3m 1k 综上所述 或 14 3k 20 解 1 设切点为 则切线斜率为 00 xy 31 x fxex 0 0 31 x ex 所以切线方程为 因为切线过 0 000 31 x yyexxx 2 0 所以 00 000 32 31 2 xx exexx 化简得 解得 2 00 380 xx 0 8 0 3 x 当时 切线方程为 0 0 x 2yx 当时 切线方程为 0 8 3 x 88 33 918ye xe 2 由题意 对任意有恒成立 xR e 32 2 x xa x 当时 2 x max 32 32 22 xx exex aa xx 令 则 令得 32 2 x ex F x x 2 2 38 2 x exx F x x 0F x 0 x 第 12 页 共 15 页 故此时 max 0 1FxF 1a 当时 恒成立 故此时 2x aR 当时 2 x min 32 32 22 xx exex aa xx 令 8 0 3 F xx 故此时 综上 8 3 min 8 9 3 FxFe 8 3 9ae 8 3 19ae 3 因为 即 f xg x 32 2 x exa x 由 2 知 8 3 1 9 ae 令 则 32 2 x ex F x x 当 存在唯一的整数使得 2 x 0 x 00 f xg x 等价于存在唯一的整数成立 32 2 x ex a x 0 x 因为最大 所以当时 至少有两个整数成立 0 1F 5 1 3 F e 1 1 F e 5 3 a e 第 13 页 共 15 页 所以 5 1 3 a e 当 存在唯一的整数使得 2 x 0 x 00 f xg x 等价于存在唯一的整数成立 32 2 x ex a x 0 x 因为最小 且 所以当时 至少有两个整数 8 3 8 9 3 Fe 3 3 7Fe 4 4 5Fe 4 5ae 成立 所以当时 没有整数成立 所有 3 7ae 34 7 5 aee 综上 34 5 1 7 5 3 aee e 数学数学 附加题 附加题 21 解 由矩阵属于特征值的一个特征向量为可得 A 1 1 1 2 即 1 3411 22ab 1 1 3 8 22ab 得 210ab 由矩阵属于特征值的一个特征向量为 A 2 2 2 3 可得 即 2 342 3ab 2 3 2 2 6 122 233ab 得 239ab 解得 即 12 11 a b 34 1211 A 22 解 由 得 所以 4sin 2 4 sin 22 4xyx 即圆的方程为 C 22 2 4xy 又由 消 得 1 2 3 2 xt ytm t30 xym 由直线 与圆相交 lC 第 14 页 共 15 页 所以 即 2 2 2 m 26m 23 解 1 记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件 A 则 该公司在星期四最多有一辆汽车出车A 22 11 42 P A 12 2 311 442 C 12 2 1119 22464 C 55 1 64 P AP A 答 该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为 55 64