乐山市市中区2016届九年级上期末数学试卷含答案解析

四川省乐山市市中区 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分） 1若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是（ ） A x=2 B x2 C x2 D x2 2关于 x 的方程 28=0 解为（ ） A ， B ， C ， 2 D x1= 3下列事件中是必然事件的是（ ） A明天一定会下雨 B抛掷一枚均匀硬币，落地后正面朝上 C任取两个正数，其和大于零 D直角三角形的两锐角分别是 20和 60 4如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 于点 A，再以 A 为圆心， 为半径画弧，两弧交于点 B，画射线 值等于（ ） A B C D 5已知 a： b=3： 2，则 a：（ a b） =（ ） A 1： 3 B 3： 1 C 3： 5 D 5： 3 6抛物线 y=2x 1 的顶点坐标是（ ） A（ 1， 3） B（ 2， 5） C（ 1， 3） D（ 2， 5） 7下列说法不正确的是（ ） A有一个角等于 60的两个等腰三角形相似 B有一个底角等于 30的两个等腰三角形相似 C有一个锐角相等的两 个等腰三角形相似 D有一个锐角相等的两个直角三角形相似 8若 a= 1， b= +1，则代数式 值是（ ） A 4 B 3 C 3 D 4 9三角形两边的长分别是 4 和 3，第三边的长是一元二次方程 6x+5=0 的一个实数根，则该三角形的周长是（ ） A 8 B 10 C 12 D 8 或 12 10如图，在四边形 ， E、 F 分別是 中点，若 ， ， ，则 ） A B C D 11二次函数 y=bx+c（ a0）的图 象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A a 0 B b 0 C c 0 D图象过点（ 3， 0） 12如图，已知矩形 ， ， E， F 分别是 中点， 交于 I，与交于 H，则四边形 面积为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分） 13比较大小： （填 “ ”、 “=”、 “ ”） 14把方程 2x（ x 3） =3x+2 化成一元二次方程的一般式是： 15在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有 3 个红球且摸到红球的概率为 ，那么口袋中球的总个数为 16如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1， 17连接三角形各边中点所得的三角形面积与原三角形面积之比为： 18将二次函数 y=x+3 的图象向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的函数解析式为 19股市规定：股票每 天的涨、跌幅均不超过 10%，即当涨了原价的 10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的 10%后，便不能再跌，叫做跌停若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为 x，则 x 满足的方程是 20如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 20为 30方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点为 C，现设计斜坡的坡度 i=1： 5，则 长度是 21已 知抛物线 y= m+1） x+m 1 与 x 轴交于 A， B 两点，顶点为 C，则 积的最小值为 22如图，在菱形 ， A=60，点 E， F 分别在边 ， 于 G，且 0，若 ， ，则 三、（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分） 23计算： 4 | 2| 24解方程： 7=6x 25如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点坐标分别为 A（ 2， 1）， B（ 1， 4）， C（3， 3） （ 1）画出 于 y 轴对称的 写出 （ 2）以原点 O 为位似中心，位似比为 1： 2，在 y 轴的左侧，画出 将 大后的 写出 （ 3）若点 D（ a， b）在线段 ，直接写出经过（ 2） 的变化后点 D 的对应点 坐标 四、（本大题共 3小题，每小题 8分，共 24分） 26如图所示，在矩形 ， E 是 一点， 点 F （ 1）求证： D=E （ 2）若 2，求 长 27若关于 x 的一元二次方程 4（ a 1） x+a 2=0 没有实数根 （ 1）求实数 a 的取值范围； （ 2）化简： 28在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字 2， 1， 1， 4 的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为 a；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为 b （ 1）用列表法或画树状图表示出（ a， b）的所有可能出现的结果； （ 2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（ a， b）落在二次函数 y=图象上的概率； （ 3）求小强、小华各取一次小球所确定的数 a， b 满足直 线 y=ax+b 经过一、二、三象限的概率 五、（本大题共 2小题，每小题 9分，共 18分） 29如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树 高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上 A 点处测得树顶端 D 的仰角为 30朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C 处，测得树顶端 D 的仰角为 60，已知 A 点的高度 2 米，台阶 坡度为 1： （即 ：），且 B， C， E 三点在同一条直线上， 请根据以上条件求出树 高度（测量器的高度忽略不计） 30设 m 是不小于 1 的实数，使得关于 x 的方程 （ m 2） x+3m+3=0 有两个实数根 x1， （ 1）若 ，求 m 的值； （ 2）代数式 + 有无最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由 六、（本大题共 2题， 31题 11 分， 32题 13分，共 24分） 31如图甲，点 C 将线段 成两部分（ 如果 = ，那么称点 C 为线段 黄金分割点某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到 “黄金分割线 ”，类似地给出 “黄金分割线 ”的定义：直线 l 将一个面积为 S 的图形分成面积分别为 两部分，如果= ，那么 称直线 l 为该图形的黄金分割线 （ 1）如图乙，在 ， A=36， C， 平分线交 点 D，请问点 D 是否是上的黄金分割点，并证明你的结论； （ 2）若 （ 1）的条件下，如图丙，请问直线 不是 黄金分割线，并证明你的结论； （ 3）如图丁，在 ， 0， D 为斜边 的一点，（不与 A， B 重合）过 D 作点 E，连接 交于点 F，连接 延长，与 别交于点 G， H请问直线 直角三角形 黄金分割线吗？并说明理由 32已知：如图，在菱形 ，对角线 交于点 O，且 26 出发，沿 向匀速运动，速度为 1cm/s；过点 P 作直线 点 F，过点F 作 与 别交于点 E、 Q；连接 点 P 的运动时间为 t（ s）（ 0 t 10） 解答下列问题： （ 1）填空： （ 2）当 t 为何值时， （ 3）设四边形 面积为 y（ 求 y 与 t 之间的函数关系式； 若用 S 表示图形的面积，则是否存在某一时刻 t，使得 S 四边形 S 菱形 存在，求出 不存在，请说明理由 四川省乐山市市中区 2016届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分） 1若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是（ ） A x=2 B x2 C x2 D x2 【考点】 二次根式有意义的条件 【分析】 根据二次根式有意义，被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答】 解：由题意得， 2x 40， 解得 x2 故选 D 【点评】 本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 2关于 x 的方程 28=0 解为（ ） A ， B ， C ， 2 D x1= 【考点】 解一元二次方程 【专题】 计算题；一次方程（组）及应用 【分析】 方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解 【解答】 解：方程整理得： ， 开方得： ， 2， 故选 C 【点评】 此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 3下列事件中是必然事件的是（ ） A明天一定会下雨 B抛掷一枚均匀硬币，落地后正面朝上 C任取两个正数，其和大于零 D直角三角形的两锐角分别是 20和 60 【考 点】 随机事件 【分析】 必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断 【解答】 解： A、明天一定会下雨，是随机事假，选项错误； B、抛掷一枚均匀硬币，落地后正面朝上，是随机事假，选项错误； C、任取两个正数，其和大于零，是必然事件，选项正确； D、直角三角形的两锐角分别是 20和 60是不可能事件，选项错误 故选 C 【点评】 本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随 机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 4如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 于点 A，再以 A 为圆心， 为半径画弧，两弧交于点 B，画射线 值等于（ ） A B C D 【考点】 特殊角的三角函数值；等边三角形的判定与性质；作图 复杂作图 【专题】 探究型 【分析】 连接 根据题意判断出 形状，再得出 度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论 【解答】 解：连接 以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 于点 A， B， 以 A 为圆心， 为半径画弧，两弧交于点 B， 等边三角形， 0， 故选 C 【点评】 本题考查的是特殊角的三角函数值及等边三角形的判定与性质，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键 5已知 a： b=3： 2，则 a：（ a b） =（ ） A 1： 3 B 3： 1 C 3： 5 D 5： 3 【考点】 比例的性质 【专题】 计算题 【分析】 利用分比性质进行计算 【解答】 解： = ， = =3 故选 B 【点评】 本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质 6抛物线 y=2x 1 的顶点坐标是（ ） A（ 1， 3） B（ 2， 5） C（ 1， 3） D（ 2， 5） 【考点】 二次函数的性质 【分析】 直接利用配方法将原式化为顶点式，进而求出二次函数的顶点坐标 【解答】 解： y=2x 1 =2（ x） 1 =2（ x+1） 2 3， 故抛物线 y=2x 1 的 顶点坐标是：（ 1， 3） 故选： A 【点评】 此题主要考查了二次函数的性质，正确进行配方法求出二次函数顶点坐标是解题关键 7下列说法不正确的是（ ） A有一个角等于 60的两个等腰三角形相似 B有一个底角等于 30的两个等腰三角形相似 C有一个锐角相等的两个等腰三角形相似 D有一个锐角相等的两个直角三角形相似 【考点】 相似三角形的判定 【分析】 由相似三角形的判定方法得出 A、 B、 D 正确， C 不正确，即可得出结果 【解答】 解： 有一个角等于 60的两个等腰三角形相似， A 正确； 有一 个底角等于 30的两个等腰三角形相似， B 正确； 有一个锐角相等的两个等腰三角形不一定相似， C 不正确； 有一个锐角相等的两个直角三角形相似， D 正确 故选： C 【点评】 本题考查了相似三角形的判定方法；题型较好，熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键 8若 a= 1， b= +1，则代数式 值是（ ） A 4 B 3 C 3 D 4 【考点】 二次根式的化简求值 【专题】 探究型 【分析】 根据 a= 1， b= +1，可以求得 【解答】 解： a= 1， b= +1， （ a+b）（ a b） =（ ）（ ） =2 （ 2） = 4 故选 D 【点评】 本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确题意利用平方差公式进行计算 9三角形两边的长分别是 4 和 3，第三边的长是一元二次方程 6x+5=0 的一个实数根，则该三角形的周长是（ ） A 8 B 10 C 12 D 8 或 12 【考点】 解一元二次方程 角形三边关系 【专题】 计算题；一次方程（组）及应用 【分析】 方程利用因式分解法求出解得到第三边，即可确定出周长 【解答】 解：方程 6x+5=0， 分解因式得：（ x 1）（ x 5） =0， 解得： x=1 或 x=5， 若 x=1，可得 1+3=4，不能构成三角形，舍去； 若 x=5，则有 3， 4， 5，能构成三角形，此时周长为 3+4+5=12， 故选 C 【点评】 此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 10如图，在四边形 ， E、 F 分別是 中点，若 ， ， ，则 ） A B C D 【考点】 锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理 【分析】 根据三角形的中位线定理即可求得 长，然后根据勾股定理的逆定理即可证 得 后根据正切函数的定义即可求解 【解答】 解：连接 E、 F 分別是 中点 ， 直角三角形 = 故选 B 【点评】 本题主要考查了三角形的中位线定义，勾股定理的逆定理，和三角函数的定义，正确证明 直角三角形是解题关键 11二 次函数 y=bx+c（ a0）的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A a 0 B b 0 C c 0 D图象过点（ 3， 0） 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【专题】 探究型 【分析】 根据函数的开口方向可以判断出 a 的正负，根据顶点在 y 轴右侧，可判断出 a、 b 异号，根据与 y 轴的交点可判断出 c 的正负，根据对称轴和与 x 轴的一个交点可以得到另一个交点 【解答】 解：由函数图象可知， 抛物线开口向下，可得 a 0，故选项 A 正确， 顶点在 y 轴右侧 ，在 b 0，故选项 B 错误， 抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c 0，故选项 C 正确， 对称轴为直线 x=1，与 x 轴的一个交点为（ 1， 0），则另一个交点是（ 3， 0），故选项 D 正确 故选 B 【点评】 本题考查二次函数图象与系数之间的关系，解题的关键是明确它们之间的关系，利用数形结合的思想进行解答 12如图，已知矩形 ， ， E， F 分别是 中点， 交于 I，与交于 H，则四边形 面积为（ ） A B C D 【考点】 相似三角形的判定与性质；矩形的性质 【分析】 延长 Q 点，由矩形的性质得出 B=6， 出=1， 此 B=， 面积： 面积 =3： 12=1： 4， ，求出 面积 = ， 面积 =12， 面积 =4，四边形 面积 = 面积 面积 面积，即可得出结果 【解答】 解：延长 Q 点，如图所示： E， F 分别是 中点， ， F= ， 四边形 矩形， B=6， =1， B=， 面积： 面积 =3： 12=1： 4， ， 上的高 = ， 面积 = 3 = ， 面积 = 46=12， = = ， 面积 = 24=4， 四边形 面积 = 面积 面积 面积 =12 4= 故选： C 【点评】 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键 二、填空题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分） 13比较大小： （填 “ ”、 “=”、 “ ”） 【考点】 实数大小比较 【专题】 计算题 【分析】 先把 2 平方后移到根号内，再根据比较实数大小的方法进行比较即可 【解答】 解： 2 = ， 故答案为： 【点评】 此题主要考查了算术平方根的性质，首先运用二次根式的性质把根号外的移到根号内，再根据比较实数大小的方法进行比较即可 14把方程 2x（ x 3） =3x+2 化成一元二次方程的一般式是： 29x 2=0 【考点】 一元二次方程的一般形式 【分析】 首先去括号，进而移项合并同类项进而得出答案 【解答】 解： 2x（ x 3） =3x+2 26x=3x+2， 则 29x 2=0 故答案为： 29x 2=0 【点评】 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键 15在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有 3 个红球且摸到红球的概率为 ，那么口袋中球的总个数为 15 【考点】 概率公式 【分析】 由在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有 3 个红球且摸到红球的概率为 ，利用概率公式求解即可求得答案 【解答】 解： 在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3 个红球且摸到红球的概率为 ， 口袋中球的总个数为： 3 =15 故答案为： 15 【点评】 此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 16如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1， 个顶点都在格点上，则 【考点】 锐角三角函数的定义；勾股定理 【专题】 网格型 【分析】 根据勾股定理，可得 长，根据余弦为邻边比斜边，可得答案 【解答】 解：如图 ， 由勾股定理，得 = =5 = ， 故答案为： 【点评】 本题考查了锐角三角函数的定义，利用勾股定理得出 长是解题关键，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 17连接三角 形各边中点所得的三角形面积与原三角形面积之比为： 1： 4 【考点】 三角形中位线定理 【分析】 证出 中位线，由三角形中位线定理得出 = ，证出 相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果 【解答】 解：如图所示： D、 E、 F 分别 中点， 中位线， = ， 面积： 面积 =（ ） 2= 故答案为： 1： 4 【点评】 本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键 18将二次函数 y=x+3 的图象向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的函数解析式为 y=（ x 1） 2 3 【考点】 二次函数图象与几何变换 【分析】 首先把 y=x+3 化为顶点式，再根据 “左加右减、上加下减 ”的原则进行解答即可 【解答】 解： y=x+3=（ x+4） 4+3=（ x+2） 2 1， 把图象向右平移 3 个单位，再向下 平移 2 个单位，所得图象的函数解析式为 y=（ x+2 3） 2 1 2， 即： y=（ x 1） 2 3 故答案为： y=（ x 1） 2 3 【点评】 本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键 19股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过 10%，即当涨了原价的 10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的 10%后，便不能再跌，叫做跌停若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为 x，则 x 满足的方程是 （ 1 10%）（ 1+x） 2=1 【考点】 由实 际问题抽象出一元二次方程 【专题】 增长率问题 【分析】 股票一次跌停就跌到原来价格的 90%，再从 90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能10%，设这两天此股票股价的平均增长率为 x，每天相对于前一天就上涨到 1+x，由此列出方程解答即可 【解答】 解：设这两天此股票股价的平均增长率为 x，由题意得 （ 1 10%）（ 1+x） 2=1 故答案为：（ 1 10%）（ 1+x） 2=1 【点评】 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经 过两次变化后的数量关系为 a（ 1x） 2=b 20如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 20为 30方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点为 C，现设计斜坡的坡度 i=1： 5，则 长度是 240 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 如图所示：所有台阶高度和为 有台阶深度和为 0m， 0m然后根据坡度比解答即可 【解答】 解：由题可知 00 = 00 C 00 60=240（ 答： 长度是 240 故答案为： 240 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题） 21 已知抛物线 y= m+1） x+m 1 与 x 轴交于 A， B 两点，顶点为 C，则 积的最小值为 1 【考点】 抛物线与 x 轴的交点 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得 ，再根据顶点的纵坐标公式求得点 C 的纵坐标，显然要求三角形 面积的最小值，即求 2m+5的最小值，从而得解 【解答】 解： 设抛物线与 x 轴交于 A（ 0）， B（ 0），令 y=0，可得 m+1） x+m 1=0， x1+（ m+1）， m 1， ，点 C 的纵坐标是 （ 2m+5）， 三角形 面积 = （ 2m+5）， 又 2m+5 的最小值是 4， 三角形 面积的最小值是 1 故答案为 1 【点评】 此题考查了抛物线 与 x 轴两交点间距离的求法及抛物线顶点坐标的求法，将问题转化为完全平方式是解题的关键 22如图，在菱形 ， A=60，点 E， F 分别在边 ， 于 G，且 0，若 ， ，则 【考点】 相似三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形 【分析】 作 H，由含 30角的直角三角形的性质得出 出 勾股定理 勾股定理求出 三角形的外角性质得出 出 可 【解答】 解：作 H，如图所示： 则 0 A=30， ， = ， ， D ， 在 ，根据勾股定理得， = ， A+ 0= A， = = 故答案为： 【点评】 本题考查了菱形的性质 和相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的运用，证明三角形相似是解决问题的关键 三、（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分） 23计算： 4 | 2| 【考点】 实数的运算；特殊角的三角函数值 【专题】 实数 【分析】 原式前两项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即 可得到结果 【解答】 解：原式 =2 4 +2 =2 2 【点评】 此题考查了实数的运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 24解方程： 7=6x 【考点】 解一元二次方程 【专题】 计算题；一次方程（组）及应用 【分析】 方程整理后，利用因式分解法求出解即可 【解答】 解：方程整理得： 6x 7=0， 分解因式得：（ x 7）（ x+1） =0， 解得： ， 1 【点评】 此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 25如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点坐标分别为 A（ 2， 1）， B（ 1， 4）， C（3， 3） （ 1）画出 于 y 轴对称的 写出 （ 2）以原点 O 为位似 中心，位似比为 1： 2，在 y 轴的左侧，画出 将 大后的 写出 （ 3）若点 D（ a， b）在线段 ，直接写出经过（ 2）的变化后点 D 的对应点 坐标 【考点】 作图 图 【分析】 （ 1）利用关于 y 轴对称点的性质得出对应点坐标进而求出即可； （ 2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案； （ 3）利用位似比得出对应点坐标的变化规律进而得出答案 【解答】 解：（ 1）如图， 为所 求， 2， 1）， = 1 ； （ 2）如图， 为所求， 4， 2）； （ 3） 点 D（ a， b）在线段 ，位似比 为 1： 2， 2a， 2b） 【点评】 此题主要考查了位似图形的性质以及位似变换和轴对称变换，得出对应点位置是解题关键 四、（本大题共 3小题，每小题 8分，共 24分） 26如图所示，在矩形 ， E 是 一点， 点 F （ 1）求证： D=E （ 2）若 2，求 长 【考点】 相似三角形的判定与性质；矩形的性质 【分析】 （ 1）根据 四边形 矩形可得出 C=90，再根据相似三角形的判定定理可得出 相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （ 2）由（ 1）可知 E： 结合已知条件即可求出 长 【解答】 （ 1）证明： 四边形 矩形， C=90， 0， 0， 又 C= 0， ， 即 D=E； （ 2） ， ， 又 2， ， 【点评】 本题考查的是相似三角形的判定与性质以及垂直的性质和矩形的性质运用，能根据题意得出 解答此题的关键 27若关于 x 的一元 二次方程 4（ a 1） x+a 2=0 没有实数根 （ 1）求实数 a 的取值范围； （ 2）化简： 【考点】 根的判别式；二次根式的性质与化简 【分析】 （ 1）由于一元二次方程没有实数根，所以有 0，即 =16（ a 1） 2 44（ a 2）0，解得 a 3 （ 2）原式 = =|3 a| |a+6|，根据 a 3 去绝对值合并即可 【 解答】 解：（ 1） 关于 x 的一元二次方程 4（ a 1） x+a 2=0 没有实数根， =16（ a 1） 2 44（ a 2） 0， 即 16a+48 0， 解得 a 3； （ 2） 原式 = = =|3 a| |a+6|， =|3 a| |a+6|， =a 3（ a+6）， = 9 【点评】 本题考查了一元二次方程 bx+c=0（ a0， a， b， c 为常数）根的判别式当 0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根同时考查了二次根式的性质： =|a| 28在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字 2， 1， 1， 4 的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为 a；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为 b （ 1）用列表法或画树状图表示出（ a， b）的所有可能出现的结果； （ 2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（ a， b）落在二次函数 y=图象上的概率； （ 3）求小强、小华各取一次小球所确定的数 a， b 满足直线 y=ax+b 经过一、二、三象限的概率 【考点】 列表法与树状图法；一次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）利用树状图展示所有 16 种等可能的结果； （ 2）根据二次函数图象上点的坐标特征得到点（ 2， 4），（ 1， 1），（ 1， 1）落在二次函数 y=后根据概率公式求解； （ 3）根据一次函数图象与系数的关系可得到 a 0， b 0，则点（ 1， 1），（ 1， 4），（ 4， 1），（ 4， 4）满足直线 y=ax+b 经过一、二、三象限，然后根据概率公式求解 【解答】 解：（ 1）画树状图如下： 共有 16 种等可能的结果，它们为（ 2， 2）、（ 2， 1）、（ 2， 1）、（ 2， 4）、（ 1， 2）、（ 1， 1）、（ 1， 1）、（ 1， 4）、（ 1， 2）、（ 1， 1）、（ 1， 1）、（ 1， 4）、（ 4， 2）、（ 4， 1）、（ 4， 1）、（ 4， 4）； （ 2）落在二次函数 y= 2， 4），（ 1， 1），（ 1， 1）， 所以落在二次函数 y= ； （ 3）满足直线 y=ax+b 经过一、二、三象限的点有（ 1， 1），（ 1， 4），（ 4， 1），（ 4， 4）， 所以满足直线 y=ax+b 经过一、二、三象限的概率 = = 【点评】 本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率也考查了一次函数图象与系数的关系和二次函数图象上点的坐标特征 五、（本大题共 2小题，每小题 9分，共 18分） 29如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树 高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上 A 点处测得树顶端 D 的仰角为 30朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C 处，测得树顶端 D 的仰角为 60，已知 A 点的高度 2 米，台阶 坡度为 1： （即 ：），且 B， C， E 三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树 高度（测量器的高度忽略不计） 【考点】 解直角三角形的应用 直角三角形的应用 【分析】 由于 四边形 矩形，设 DE=x，在 ， = x，在 ，得到 = ，求出 ，求出 C+可求出 x 的长 【解答】 解： 四边形 矩形， E， B=2 设 DE=x，在 ， = = x， 在 ， = ， ， ， 在 ， E EF=x 2， = = （ x 2）， E=E （ x 2） =2 + x， 解得 x=6 答：树 高度为 6 米 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用仰角、坡度问题、矩形的判定与性质、三角函数；借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键 30设 m 是不小于 1 的实数，使得关于 x 的方程 （ m 2） x+3m+3=0 有两个实数根 x1， （ 1）若 ，求 m 的值； （ 2）代数式 + 有无最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由 【考点】 根与系数的关系；根的判别式 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）利用判别式的意义得到 =4（ m 2） 2 4（ 3m+3） 0，解得 m1，加上 m 是不小于 1 的实数，则 1m1，再根据根与系数的关系得到 x1+ 2（ m 2）， 3m+3，接着利用完全平方公式得（ x1+2 2，则 4（ m 2） 2 2（ 3m+3） =2，然后解方程即可得到满足条件的 m 的值； （ 2）先通分，再把 x1+ 2（ m 2）， 3m+3 整体代入得到代数式为 2m+2，然后根据m 的取值范围，利用一次函数的性质确定代数式的最大值 【解答】 解：（ 1）根据题意得 =4（ m 2） 2 4（ 3m+3） 0，解得 m1， m 是不小于 1 的实数 1m1， x1+ 2（ m 2）， 3m+3， ， （ x1+2 2， 4（ m 2） 2 2（ 3m+3） =2， 整理得 5m+4=0，解得 ， （舍去）， m 的值为 1； （ 2）代数式有最大值理由如下： + =m =m=m = 2m+2， 1m1 且 m0， m1， 当 m= 1 时，代数式的值最大，最大值为 4 【点评】 本题考查了根与系数的关系：若 bx+c=0（ a0）的两根时， x1+ ， 也考查了根的判别式 六、（本大题共 2题， 31题 11 分， 32题 13分，共 24分） 31如图甲，点 C 将线段 成两部分（ 如果 = ，那么称点 C 为线段 黄金分割点某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到 “黄金分割线 ”，类似地给出 “黄金分割线 ”的定义：直线 l 将一个面积