比赛数学题详解

数学杯赛中的体育比赛问题数学杯赛中的体育比赛问题 1 2012 年数学解题能力展示五年级初赛 五支足球队比赛 每两个队之间比赛一场 每场比赛胜者积 3 分 负者积 0 分 平局则各积 1 分 比 赛完毕后 发现这五个队的积分恰好是五个连续的自然数 设第 1 2 3 4 5 名分别平了 A B C D E 场 那么五位数ABCDE 考点 组合 逻辑推理 体育比赛 难度 答案 13213 分析 5 支球队单循环共比赛 2 5 10C 场 则总得分在 20 分至 30 分之间 五队得分是 5 个连续的自然数 说明总得分为 5 的倍数 若总得分为 20 说明所有队均打平 若总得分为 30 说明所有队比赛均分出胜负 显然均不成立 则总得分为 25 分 且共有 5 场平局 5 队得分依次为 7 6 5 4 3 则必有 第一名 7 分 2 胜 1 平 1 负 第三名 5 分 1 胜 2 平 1 负 1 若第四名 4 分 4 平 这要求所有队有平局 第二名 6 分 1 胜 3 平 第五名 3 分 3 平 此时统计得五队共 13 平 而实际共需5 210 平 舍去 2 若第四名 4 分 1 胜 1 平 2 负 此时合计1214 平 还需1046 平 依此构造如下 第二名 6 分 1 胜 3 平 第五名 3 分 3 平 1 负 综上 得13213ABCDE 2 2010 年仁华四升五入学测试 有若干名队员去参加比赛 每两个队员之间必须且只能赛一场 比赛规定 赢了得 2 分 平局两人 各得一分 输者不得分 当比赛结束后 有 5 个人各自统计了所有队员的总分 分别是 131 132 133 134 135 分 5 人里 只有 1 人统计正确 问 一共有多少名队员参加比赛 考点 组合 逻辑推理 体育杯赛 难度 答案 12 分析 根据题意 每打一场比赛 比分会增加 2 分 则总分必为偶数 所以答案只可能为 132 分或 者 134 分 所以总共打了 66 场或者 67 场比赛 每两个队员之间必须进行一场比赛 而 2 12 66C 所以一共有 12 名队员参加比赛 3 17 届华杯决赛 B 卷 有 16 位选手参加象棋晋级赛 每两人都只赛一盘 每盘胜者积 1 分 败者积 0 分 如果和棋 每人 各积 0 5 分 比赛全部结束后 积分不少于 10 分者晋级 那么本次比赛后最多有位选手晋级 考点 组合 最值 逻辑推理 体育杯赛 难度 答案 11 分析 16 人共需比赛 2 16 16 15 120 2 C 场 而每场比赛不论是否分出胜负 总合计 1 分 因此 16 人总分为 120 分 假设有 12 人晋级 晋级者总分至少为12 10120 分 则其余 4 人均为 0 分 不符合实际情况 假设有 11 人晋级 晋级者总分至少为11 10110 分 则其余 5 人共 10 分 可以成立 构造如下 令晋级的 11 人对未晋级的 5 人全胜 而 11 人之间全平 则晋级 11 人的分数均为 1 50 5 1010 分 4 第九届走美杯五年级初赛 n 名棋手进行单循环赛 即任两名棋手间都要赛一场 胜利者得 2 分 平局各得 1 分 负者得 0 分 比赛完成后 前 4 名依次得 8 7 5 4 分 则 n 考点 组合 逻辑推理 体育比赛 难度 答案 6 分析 n名棋手单循环赛需比赛 2 1 2 n n n C 场 每场比赛合计 2 分 总分为 1 2 1 2 n n n n 分 前四名总分为875424 分 若5n 总分为 1 20n n 分 舍去 若6n 总分为 1 30n n 分 则后两名分数之和为30246 符合要求 若7n 总分 1 42n n 分 则后三名分数之和为422418 平均186 3 分 不符合条件 之后n每增加 1 增加的分数都不小于 7 显然不会再出现符合条件的情况 所以6n 5 15 届华杯决赛 足球队 A B C D E 进行单循环赛 每两队赛一场 每场比赛胜队得 3 分 负队得 0 分 平局两 队各得 1 分 若 A B C D 队总分分别是 1 4 7 8 请问 E 队至多得几分 至少得几分 考点 组合 逻辑推理 体育比赛 难度 答案 7 5 分析 1 分 1 平 3 负 4 分 1 胜 1 平 2 负或 4 平 7 分 2 胜 1 平 1 负 8 分 2 胜 2 平 若 B 队 1 胜 1 平 2 负 则四队合计 5 胜 6 负 5 平 此时 E 队可能为 2 胜 1 负 1 平 7 分 也可能为 1 胜 3 平 6 分 若 B 队 4 平 则四队合计 4 胜 4 负 8 平 此时 E 队可能是 1 胜 1 负 2 平 5 分 也可能是 2 胜 2 负 6 分 可见 E 队至多得 7 分 至少得 5 分 6 第 9 届中环杯六年级初赛 A B C D E 五支足球队进行循环赛 即每两个队之间都要赛一场 每场比赛的胜者得 2 分 负者得 0 分 平局两队各得 1 分 最后各队得分互不相同 并且出现以下情况 第一名的队没平过 第二 名的队没有输过 第四名的队没有胜过 请问 全部比赛共平过几场 考点 组合 逻辑推理 体育比赛 难度 答案 5 分析 共需比赛 2 5 10C 场 则 5 队总分为10 220 分 假设 A B C D E 分别为 1 至 5 名 A 没有平局 B 没有输过 可见 A 输给 B 则 A 至多得3 26 分 此时 5 支队的总分至多为6543220 分 可见 A B C D E 分别为 6 5 4 3 2 分 A 6 分 3 胜 1 负 B 5 分 1