函数的凹凸性与拐点

1 第第 16 次理论课教学安排次理论课教学安排 课程名称高等数学课程类型 必修课 选修课 授课专业 授课内容2 4 导数的应用 三 授课学时2 授课类型 理论课 上机课 讨论 习题课 其它 教学目的 与要求 1 理解曲线凹凸性的概念 2 掌握曲线凹凸性的判别方法 3 掌握拐点的求法 教学重点 难点 重点 曲线的凹凸性与拐点 难点 曲线的凹凸性与拐点 教学方法以讲授为主 讲练结合 教学过程 一 问题引入 二 讲授新课 三 总结及作业布置 参考资料 1 高等数学 夏国斌主编 省规划教材 安徽大学出版社 2 高等数学 程伟主编 孙祖康主审 中国科技大学出版社 3 高等数学 夏国斌主编 电子科技大学出版社 4 高等数学学习指导 吴方庭主编 电子科技大学出版社 2 图 1 2 4 导数的应用导数的应用 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点 课题 课题 曲线的凹凸与拐点 目的要求 目的要求 理解曲线凹凸性的概念 掌握判断函数图形的凹凸性 求函数图形 的拐点等方法 重 难点 重 难点 判断函数图形的凹凸性 求函数图形的拐点 教学方法 教学方法 讲练结合 教学时数 教学时数 1 课时 教学进程 教学进程 函数的单调性可用函数的一阶到函数来判定 对于同样的递增函数有 着不同的增法 如向上凸的增或凹的增 那么对于这两种不同的增法我们 如何刻画那 一 一 曲线的凹凸与拐点 x y o yf x A B x y o yf x A B 1 曲线的凹凸定义和判定法 曲线的凹凸定义和判定法 从图 1 可以看出曲线弧 ABC 在区间内是向下凹入的 此时曲线弧 ABC ca 位于该弧上任一点切线的上方 曲线弧 CDE 在区间内是向上凸起的 此时曲 bc 线弧 CDE 位于该弧上任一点切线的下方 关于曲线 的弯曲方向 我们给出下面的定义 定义定义 1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点 切线的上方 那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的凹的 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方 那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的凸的 例如 图 1 中曲线弧 ABC 在区间内是凹 ca 的 曲线弧 CDE 在区间内是凸的 bc 由图 1 还可以看出 对于凹的曲线弧 切线的斜率随的增大而增大 对于x 3 凸的曲线弧 切线的斜率随的增大而减小 由于切线的斜率就是函数x 的导数 因此凹的曲线弧 导数是单调增加的 而凸的曲线弧 导数是 xfy 单调减少的 由此可见 曲线的凹凸性可以用导数的单调性来判 xfy x f 定 而的单调性又可以用它的导数 即的二阶导数的符号来 x f xfy x f 判定 故曲线的凹凸性与的符号有关 由此提出了函数曲线的凹凸 xfy x f 性判定定理 定理定理 1 设函数在内具有二阶导数 xfy ba 1 如果在内 0 那么曲线在内是凹的 ba x f ba 2 如果在内 0 那么曲线在内是凸的 ba x f ba 例 例 判定曲线的凹凸性 3 xy 2 拐点的定义和求法 拐点的定义和求法 定义定义 2 连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点拐点 定理定理 2 2 拐点存在的必要条件拐点存在的必要条件 若函数在处的二阶导数存在 且点 xf 0 x 为曲线的拐点 则 00 xfx xfy 0 0 x f 我们知道由的符号可以判定曲线的凹凸 如果连续 那么当 x f x f 的符号由正变负或由负变正时 必定有一点使 0 这样 点 x f 0 x 0 x f 就是曲线的一个拐点 因此 如果在区间内具有二阶导 00 xfx xfy ba 数 我们就可以按下面的步骤来判定曲线的拐点 xfy 1 确定函数的定义域 xfy 2 求 令 0 解出这个方程在区间内的实根 xfy x f ba 3 对解出的每一个实根 考察在的左右两侧邻近的符号 如果 0 x x f 0 x 在的左右两侧邻近的符号相反 那么点就是一个拐点 如果 x f 0 x 00 xfx 在的左右两侧邻近的符号相同 那么点就不是拐点 x f 0 x 00 xfx 例 例 求曲线的凹凸区间和拐点 23 3xxy 解解 1 函数的定义域为 2 令 得 1666 63 2 xxyxxy0 y 1 x 3 列表考察的符号 表中 表示曲线是凹的 表示曲线 y 是凸的 x 1 1 1 y 0 4 图 2 曲线y 拐点 2 1 由上表可知 曲线在内是凸的 在内是凹的 曲线的拐点 1 1 为 2 1 例 例 已知点为曲线的拐点 求的值 1 3 32 yaxbx a b 要注意的是 如果在点处的二阶导数不存在 那么点也可 xf 0 x 00 xfx 能是曲线的拐点 例如 函数在点处的二阶导数不存在 但是点 3 xy