小学奥数精讲第八讲 概率进阶

1 第 8 讲概率进阶 同步练习 1 从从 1 100 这这 100 个自然数中 任意取出一个数 这个数是质数的可能性是个自然数中 任意取出一个数 这个数是质数的可能性是 答案 1 4 解析 1 至 100 共有 25 个质数 因此这个数是质数的可能性是 251 1004 2 骰子有骰子有 6 个面 每个面上标有数字个面 每个面上标有数字 1 2 3 4 5 6 如果抛两颗骰子 所得两个数的乘积大 于 如果抛两颗骰子 所得两个数的乘积大 于 10 的可能性是的可能性是 答案 17 36 解析 如下表 扔两个骰子 所有情况总数为66 36 满足条件的共有 2 6 3 4 3 5 3 6 4 3 44 4 5 4 6 5 3 5 4 5 5 5 6 62 6 3 64 6 5 6 6 17 种 根据概 率公式 两个数的乘积大于 10 的可能性是 17 36 3 有下面五张数字卡片 从这五张卡片中任意抽取三张摆成三位数 那么摆成偶数的可能性是有下面五张数字卡片 从这五张卡片中任意抽取三张摆成三位数 那么摆成偶数的可能性是 答案 5 8 解析 三位数有44348 其中偶数有23 34330 个 可能性为 305 488 4 妈妈去家乐福购物 正好碰上了橘子 香蕉 葡萄和榴莲大降价妈妈去家乐福购物 正好碰上了橘子 香蕉 葡萄和榴莲大降价 于是她决定从这于是她决定从这 4 种水果中任 选一种买回家 种水果中任 选一种买回家 爸爸下班时路过集贸市场 发现有苹果 橘子 香蕉 葡萄和梨出售爸爸下班时路过集贸市场 发现有苹果 橘子 香蕉 葡萄和梨出售 他也决定任选 一种买回家 他也决定任选 一种买回家 请问 他们买了不同的水果的概率是多少 请问 他们买了不同的水果的概率是多少 答案 17 20 解析 如果爸爸妈妈买了相同水果 那么只可能是橘子 香蕉 葡萄 3 种情况 概率是 33 4520 那么不同水果的概率为 317 1 2020 2 5 小明从小明从 1 2 3 4 5 这这 5 个自然数中任选一个数 冬冬从个自然数中任选一个数 冬冬从 2 3 4 5 6 7 这这 6 个自然数中 任选一个数 个自然数中 任选一个数 选出的两个数中 恰好有一个数是另一个数的倍数的概率是多少 选出的两个数中 恰好有一个数是另一个数的倍数的概率是多少 答案 7 15 解析 满足条件的有 明冬 1 2 3 4 5 6 7 2 2 4 6 3 3 6 4 2 4 5 5 共 14 种可能 故共有 147 5615 的概率 6 在一次军事演习中 进攻方决定对目标进行两次炮击在一次军事演习中 进攻方决定对目标进行两次炮击 第一炮击中的概率是第一炮击中的概率是 0 6 第二炮命中的概 率是 第二炮命中的概 率是 0 8 请问 两炮都击中目标的概率是多少 恰好有一炮击中目标的概率是多少 两炮都未击中 目标的概率是多少 请问 两炮都击中目标的概率是多少 恰好有一炮击中目标的概率是多少 两炮都未击中 目标的概率是多少 答案 0 48 0 44 0 08 解析 都命中 0 6 0 8 0 48 恰有一炮击中 0 6 1 0 8 1 0 6 0 8 0 44 都未命中 1 0 6 1 0 8 0 08 7 小明在愉快地玩飞镖小明在愉快地玩飞镖 飞镖的镖盘如图飞镖的镖盘如图 1 所示所示 投掷到对应的区域得到对应的分数投掷到对应的区域得到对应的分数 10 分所对应的 圆半径为 分所对应的 圆半径为 1 每向外一层则对应圆的半径加每向外一层则对应圆的半径加 1 投掷一镖后投掷一镖后 假设小明没脱靶假设小明没脱靶 请问 请问 图图 1图图 2 1 小明得到小明得到 10 分的概率是多少分的概率是多少 2 小明得到的分数大于小明得到的分数大于 5 分小于分小于 8 分的概率是多少分的概率是多少 3 小明至多得到小明至多得到 8 分的概率是多少分的概率是多少 4 突然突然 小明发现了一种新型靶盘小明发现了一种新型靶盘 如图如图 2 所示所示 红色区域称为幸运区红色区域称为幸运区 红色区域对应的圆心角 是 红色区域对应的圆心角 是60 投掷到红色的区域也可以得到投掷到红色的区域也可以得到 10 分分 求小明得到求小明得到 10 分的概率是多少分的概率是多少 答案 见解析 3 解析 1 10分所对应的小圆面积是 最大圆的面积是36 得到 10 分的概率是 1 3636 2 大 于 5 分 小 于 8 分 对 应 的 区 域 是 包 含 6 分 和 7 分 的 圆 环 圆 环 面 积 等 于 25916 对应的概率是 164 369 3 法 1 从正面考虑 至多得到 8 分 也就是可以得到 5 8 分 所对应的圆环面积是 36432 对应的概率是 328 369 法 2 从反面考虑 至多得到 8 分的反面是至少得到 9 分 所对应的圆面积是4 对应的 概率是 41 369 则分数大于 5 分小于 8 分的概率是 18 1 99 4 10 分 对 应 的 区 域 是 红 色 部 分 和 原 来 10 分 对 应 的 圆 红 色 部 分 的 面 积 是 60 366 360 圆对应的面积是 重合的面积是 6 所以总的面积是 5 66 66 对应的概率是 541 6 41 66 3636216 8 张先生每天早晨上班时有张先生每天早晨上班时有 1 3 的概率碰上堵车的概率碰上堵车 在不堵车的时候 张先生按时到达单位的概率为在不堵车的时候 张先生按时到达单位的概率为 0 9 迟到的概率为 迟到的概率为 0 1 而堵车的时候 张先生上班迟到的概率高达 而堵车的时候 张先生上班迟到的概率高达 0 8 按时到达的概率只有 按时到达的概率只有 0 2 请问 张先生上班迟到的概率是多少 请问 张先生上班迟到的概率是多少 答案 1 3 解析 迟到分为堵车和不堵车两种情况 即迟到的概率为 121 0 80 1 333 9 某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为40 如果该射手在百步之外连射三箭 三箭全 部射中靶心的概率为多少 有一箭射中靶心的概率为多少 有两箭射中靶心的概率为多少 如果该射手在百步之外连射三箭 三箭全 部射中靶心的概率为多少 有一箭射中靶心的概率为多少 有两箭射中靶心的概率为多少 答案 见解析 解析 全部射中靶心的概率为0 40 40 40 064 第一箭射中 其他两箭射空的概率为 0 410 410 40 144 第二箭射中 其他两箭射空的概率为 0 410 410 40 144 第三箭射中 其他两箭射空的概率为 0 410 410 40 144 有一箭射中的概率为0 1440 1440 1440 432 第一箭射空 其他两箭射中的概率为 10 40 4 0 40 096 第二箭射空 其他两箭射中的概率为 10 40 4 0 40 096 第三箭射空 其他两箭射中的概率为 10 40 4 0 40 096 有两箭射空的概率为0 960 960 960 288 4 10 用一枚材料不均匀的正方体骰子 掷出用一枚材料不均匀的正方体骰子 掷出 1 的概率为的概率为 0 1 掷出 掷出 2 的概率为的概率为 0 2 掷出 掷出 3 的概率为的概率为 0 2 掷出 掷出 4 的概率为的概率为 0 1 掷出 掷出 5 的概率为的概率为 0 3 掷出 掷出 6 的概率为的概率为 0 1 请问 请问 1 如果连续 如果连续 9 次掷出次掷出 1 第 第 10 次掷出的点数是次掷出的点数是 3 的倍数的概率是多少 的倍数的概率是多少 2 连续掷两次骰子 第一次掷出 连续掷两次骰子 第一次掷出 3 第二次掷出 第二次掷出 4 的概率是多少 的概率是多少 3 如果又拿来一枚这样的骰子 并同时掷出这两枚骰子 如果又拿来一枚这样的骰子 并同时掷出这两枚骰子 这两枚掷出的点数不同的概率是多少 这两枚掷出的点数不同的概率是多少 答案 1 0 3 2 0 02 3 0 8 解析 1 掷出 3 的概率 0 2 6 的概率 0 1 因此是 3 的倍数的概率为 0 2 0 1 0 3 2 0 2 0 1 0 02 3 相同的概率是 0 12 0 22 0 22 0 12 0 32 0 12 0 2 因此不同的概率是 1 0 2 0 8 深化练习 11 盒子里装着盒子里装着 20 支圆珠笔 其中有支圆珠笔 其中有 5 支红色 支红色 7 支蓝色的和支蓝色的和 8 支黑色的支黑色的 从中随意抽出从中随意抽出 4 支 每种 颜色的笔都被抽中的概率是多少 支 每种 颜色的笔都被抽中的概率是多少 答案 28 57 解析 每种颜色都抽有 5 7 8 17 2 种可能 而从 20 支中任抽 4 支有 4 20C 种可能 故每种颜色都有的概率是 4 20 578 17228 57 C 12 学校打算在学校打算在 1 月月 4 日或日或 1 月月 10 日组织同学们看电影日组织同学们看电影 确定好日期后确定好日期后 老师告诉了班长老师告诉了班长 但是由于但是由于 四四 和和 十十 发音接近发音接近 班长有班长有 10 的可能性听错的可能性听错 把把 4 听成听成 10 或者把或者把 10 听成听成 4 班长又把日期告 诉了小明 班长又把日期告 诉了小明 小明也有小明也有 10 的可能性听错的可能性听错 那么小明认为看电影的日期是正确日期的可能性为那么小明认为看电影的日期是正确日期的可能性为 答案 82 解析 相互独立事件同时发生直接概率相乘 两次都传达正确或者两次都传达错误小明都会认 为是正确的 10 110 10 1 0 10 8282 13 小明一次掷出了小明一次掷出了 8 枚硬币 结果恰有枚硬币 结果恰有 4 枚硬币正面朝上的概率是多少 有超过枚硬币正面朝上的概率是多少 有超过 4 枚的硬币正面 朝上的概率是多少 枚的硬币正面 朝上的概率是多少 答案 35 128 93 256 解析 恰有 4 枚 4 8 8 35 2128 C 超过 4 枚的概率和低于 4 枚的概率相同 为 3593 12 128256 14 某地天气变化的概率是 如果今天晴天 那么明天晴天的概率是某地天气变化的概率是 如果今天晴天 那么明天晴天的概率是 3 4 如果今天下雨 那么明天 晴天的概率是 如果今天下雨 那么明天 晴天的概率是 1 3 今天是星期三 天气温暖晴好 小明一家想在星期六去泡温泉 那么星期六晴天 的概率是多少 今天是星期三 天气温暖晴好 小明一家想在星期六去泡温泉 那么星期六晴天 的概率是多少 5 答案 347 576 解析 根据题意 每天的天气应该只有晴 雨两种可能 不需要考虑阴天等情况 否则是把问题 复杂化 而且这道题也没法做了 如果今天晴天 那么明天晴天的概率是 3 4 如果今天下雨 那么明天晴天的概率是 1 3 也就是说 晴 晴概率为 3 4 晴 雨概率为 1 4 雨 晴概率为 1 3 雨 雨概率为 2 3 可以画一个树状图把星期六是晴天的各种情况都列出来 星期六 晴 晴 晴 晴 星期五 晴 雨 雨 晴 星期四 雨 晴 晴 星期三 然后再分别计算四种情况的概率 33327 44464 3111 44316 1131 43416 1211 43318 所以星期六晴天的概率是 27111347 64161618576 15 设每门高射炮击中敌机的概率为设每门高射炮击中敌机的概率为0 6 今欲以 今欲以99 的把握击中敌机 则至少应配备几门高射炮同 时射击