求向量组的秩与极大无关组(修改整理)

1 6 求向量组的秩与最大无关组求向量组的秩与最大无关组 一 一 对于具体给出的向量组 求秩与最大无关组对于具体给出的向量组 求秩与最大无关组 1 1 求向量组的秩 即矩阵的秩 的方法 求向量组的秩 即矩阵的秩 的方法 为阶梯形矩阵为阶梯形矩阵 定理定理 矩阵的行秩等于其列秩 且等于矩阵的秩矩阵的行秩等于其列秩 且等于矩阵的秩 三秩相等三秩相等 把向量组的向量作为矩阵的列 或行 向量组成矩阵把向量组的向量作为矩阵的列 或行 向量组成矩阵A A 对矩阵对矩阵A A进行初等进行初等行行变换化为阶梯形矩阵变换化为阶梯形矩阵B B 阶梯形阶梯形B B中非零行的个数即为所求向量组的秩 中非零行的个数即为所求向量组的秩 例例 1 1 求下列向量组求下列向量组a a 1 1 2 2 3 3 4 4 a a2 2 2 2 3 3 4 4 5 5 a a3 3 3 3 4 4 5 5 6 6 的秩的秩 解解 1 1 以 以a a a a a a 为 为列列向量作成矩阵向量作成矩阵A A 用初等 用初等行行变换将变换将A A化为阶梯形矩阵后可求化为阶梯形矩阵后可求 因为阶梯形矩阵的列秩为因为阶梯形矩阵的列秩为 2 2 所以向量组的秩为 所以向量组的秩为 2 2 解解 2 2 以 以a a a a a a 为 为行行向量作成矩阵向量作成矩阵A A 用初等 用初等行行变换将变换将A A化为化为 阶梯形矩阵后可求阶梯形矩阵后可求 因为阶梯形矩阵的行秩为因为阶梯形矩阵的行秩为 2 2 所以向量组的秩为 所以向量组的秩为 2 2 2 2 求向量组的最大线性无关组的方法 求向量组的最大线性无关组的方法 方法方法 1 1 逐个选录法逐个选录法 给定一个非零向量组给定一个非零向量组 A A 1 1 2 2 n n 设设 1 1 0 0 则 则 1 1线性相关 保留线性相关 保留 1 1 加入加入 2 2 若 若 2 2与与 1 1线性相关 去掉线性相关 去掉 2 2 若 若 2 2与与 1 1线性无关 保留线性无关 保留 1 1 2 2 依次进行下去 最后求出的向量组就是所求的最大无关组依次进行下去 最后求出的向量组就是所求的最大无关组 2 6 例例 2 2 求向量组 求向量组 的最大无关组的最大无关组 123 1 2 12 3 14 1 1 TTT 解 因为解 因为a a1 1非零 故保留非零 故保留a a1 1 取取a a2 2 因为 因为a a1 1与与a a2 2线性无关 故保留线性无关 故保留a a1 1 a a2 2 取取a a3 3 易得 易得a a3 3 2 2a a1 1 a a2 2 故 故a a1 1 a a2 2 a a3 3线性相关 线性相关 所以最大无关组为所以最大无关组为a a1 1 a a2 2 方法方法 2 2 初等变换法初等变换法 定理定理 矩阵矩阵A A经初等行变换化为经初等行变换化为B B 则 则B B的列向量组与的列向量组与A A对应的列向量组有相同的线性相关性对应的列向量组有相同的线性相关性 证明从略证明从略 下面通过例子验证结论成立下面通过例子验证结论成立 向量组 向量组 1 1 1 2 3 1 2 3 T T 2 2 1 2 0 1 2 0 T T 3 3 1 6 6 1 6 6 T T 由上可得 求向量组的最大线性无关组的方法 由上可得 求向量组的最大线性无关组的方法 1 1 列向量行变换 列向量行变换 把向量组的向量作为矩阵的把向量组的向量作为矩阵的列向量列向量组成矩阵组成矩阵A A 对矩阵对矩阵A A进行初等进行初等行变换行变换化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵B B A A中的与中的与B B的的每阶梯首每阶梯首列列对应的向量组对应的向量组 即为最大无关组 即为最大无关组 例例 3 3 求向量组求向量组 1 1 2 1 3 1 2 1 3 1 T T 2 2 3 1 2 0 3 1 2 0 T T 3 3 1 3 4 2 1 3 4 2 T T 4 4 4 3 1 1 4 3 1 1 T T 的秩和一个的秩和一个 最大无关组最大无关组 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示 解解 以以 1 1 2 2 3 3 4 4为为列列构造矩阵构造矩阵A A 并实施初等并实施初等行行变换化为行阶梯形矩阵求其秩 变换化为行阶梯形矩阵求其秩 1234 23141 13 3 113305 510 324105 510 10210 11 2 A 1133 0112 0000 0000 知知r r A A 2 2 故向量组的最大无关组含故向量组的最大无关组含 2 2 个向量个向量 3 6 而两个非零行的而两个非零行的非零首元非零首元分别在第分别在第 1 1 2 2 列列 故故 1 1 2 2为向量组的一个最大无关组为向量组的一个最大无关组 事实上 事实上 知知r r 1 1 2 2 2 2 故故 1 1 2 2 线性无关线性无关 12 11 01 00 00 为把为把 3 3 4 4用用 1 1 2 2线性表示线性表示 把把A A变成行最简形矩阵变成行最简形矩阵 102 1 01 12 0000 0000 AB 记矩阵记矩阵B B 1 1 2 2 3 3 4 4 因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性 因此向量因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性 因此向量 1 1 2 2 3 3 4 4与向与向 量量 1 1 2 2 3 3 4 4之间有相同的线性关系 之间有相同的线性关系 312412 210 101 212 2 000 000 而而 因此因此 3 3 2 2 1 1 2 2 4 4 1 1 2 2 2 2 例例 4 4 求下列向量组的一个最大无关组 其中 求下列向量组的一个最大无关组 其中 1 1 2 0 3 2 2 5 3 6 3 0 1 3 0 4 2 1 4 7 5 5 8 1 2 解 以给定向量为解 以给定向量为列列向量作成矩阵向量作成矩阵A A 用初等 用初等行行变换将变换将A A化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵 B B 再利用初等行变换 将再利用初等行变换 将B B再化成行最简形矩阵再化成行最简形矩阵C C 4 6 用最大线性无关组表示其它向量的方法为 用最大线性无关组表示其它向量的方法为 把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A A 对矩阵对矩阵A A进行初等行变换化为阶梯形矩阵进行初等行变换化为阶梯形矩阵B B 把阶梯形把阶梯形B B进行初等行变换化为行最简形矩阵进行初等行变换化为行最简形矩阵C C 根据行最简形矩阵列向量的分量 用最大无关组表示其它向量 根据行最简形矩阵列向量的分量 用最大无关组表示其它向量 例例 5 5 求向量组求向量组 的秩和一个最大无关组的秩和一个最大无关组 解 解 1 1 当当且且时 时 故向量组的秩为 故向量组的秩为 3 3 且 且是一个最大无关组 是一个最大无关组 2 2 当当时 时 故向量组的秩为 故向量组的秩为 3 3 且 且是一个最大无关组 是一个最大无关组 初等矩阵初等矩阵 A A B B C C 初等变换行作为初等变换行作为 求秩无关求秩无关 B B 中见中见 线性无关线性无关 C C 做陪做陪 5 6 3 3 当当时 若时 若 则 则 此时向量组的秩为 此时向量组的秩为 2 2 且 且是一个最大无关组是一个最大无关组 若若 则 则 此时向量组的秩为 此时向量组的秩为 3 3 且 且是一个最大无关组是一个最大无关组 2 2 行向量列变换 行向量列变换 同理同理 也可以用向量组中各向量为也可以用向量组中各向量为行行向量组成矩阵 即列向量的转置矩阵 向量组成矩阵 即列向量的转置矩阵 通过做初等通过做初等列列变换来求向变换来求向 量组的最大无关组 量组的最大无关组 例例 6 6 求向量组求向量组 的一个最大无关组的一个最大无关组 解 以给定向量为解 以给定向量为行行向量作成矩阵向量作成矩阵A A 用初等 用初等列列变换将变换将A A化为行最简形化为行最简形 行向量列变换行向量列变换 由于由于的第的第 1 1 2 2 4 4 个行向量构成的向量组线性无关 故个行向量构成的向量组线性无关 故是向量组的一个最大无关组是向量组的一个最大无关组 方法方法 3 3 线性相关法线性相关法 了解 了解 若非零向量组若非零向量组 A A 1 1 2 2 n n线性无关 则线性无关 则 A A 的最大无关组就是的最大无关组就是 1 1 2 2 n n 若非零向量组若非零向量组 A A 线性相关 则线性相关 则 A A 中必有最大无关组中必有最大无关组 二 对于抽象的向量组 求秩与最大无关组常利用一些有关的结论 如 二 对于抽象的向量组 求秩与最大无关组常利用一些有关的结论 如 1 1 若向量组 若向量组 可由向量组可由向量组 线性表示 则线性表示 则 的秩不超过的秩不超过 的秩的秩 2 2 等价向量组有相同的秩 等价向量组有相同的秩 3 3 秩为 秩为的向量组中任意的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的最大无关组个线性无关的向量都是该向量组的最大无关组 例例 7 7 设向量组设向量组的秩为的秩为 又设又设 6 6 求向量组求向量组的秩的秩 解解 法法 1 1 由于由于 且且 所以 所以 故向量组故向量组与与等价 从而等价 从而的秩为的秩为 解法解法 2 2 将将看做列向量 则有看做列向量 则有 其中 其中 可求得可求得0 0 即 即可逆 从而可逆 从而可由可由线性表示 线性表示 由已知由已知可由可由线性表示 故这两个向量组等价 即它们有相同的秩线性表示 故这两个向量组等价 即它们有相同的秩 例例 7 7 设向量组设向量组 和向量组和向量组 的秩分别为的秩