用机械能守恒定律求解连接体问题

1 如图所示 半径为 R 圆心为的大圆环固定在竖直平面内 两个轻质小环O 固定在大圆环竖直对称轴的两侧的位置上 一根轻质长绳 穿过两 30 个小圆环 它的两端都系上质量为为重物 忽略小圆坏的大小 m 1 在两个小圆环间绳子中点处 挂上一个质量 求重物下CmM2 M 降的最大速度及下降的最大距离 解答 重物向下先加速运动 后做减速运动 当重物速度为零时 下降的距离最大 设下降的最大距离为 h 则由机械能守恒定律得 sin sin 2 22 RRhmgMgh 解得 另解舍去 Rh2 0 h 重物向下运动 当其加速度为零时 其速度最大 设为此时绳与竖直方向夹 m v 角设为 加速度时绳的拉力 且绳对拉力等于的重力 有 0 amgT MM 由此可知重物下降的高度 重物上升 45 2cos2 mgmgM 2 1 R h m 的高度为 由运动的分成及分解 此时重物的速度即为 Rh 2 12 2 m m v 2 2 由机械能守恒定律可得 可求得 2 2 21 2 2 1 2 1 2mvMvmgh Mgh m m v gR 423 2 如图 1 所示 质量分别为和 的两个小球 固定在一要直角尽m2m3AB 的两端 直角尺的顶点处有光滑的固定转动轴 的长分别为和OAOBOL2 开始时直角尺的部分处于水平位置 而球在的正下方 让该系LAOBO 统由静止开始自由转动 求 1 当到达最低点时 球的速度大小AA V 2 B 球能上升的最大高度的位置 3 开始转动后球可能达到的最大速度 B 解析 以直角尺和两小球组成的系统为研究对象 由于转动过程中不受磨擦力 和质阻力作用 所以该系统的机械能守恒 1 过程中的重力势能减少 的动能和的重力势能增加 因角速AABB 度相同 故的瞬时速度总是有倍 如图甲所示 AB2 2 由机械能守恒定律得 22 2 3 2 1 2 2 1 32 2 v mvmLmgLmg 解得 11 8gL V 2 球不可能到达的正上方 它到达最大高度时的速度一定为零 此时BO 球减少的机械能等于球增加的机械能设该位置与夹角为 如图ABOA 乙所示 由机械能守恒定律得 2 sin1 3cos22 LmgLmg 化简得 33sm 4cos 利用三角公式得 37sin 53sin 即得 16 3 球速度最大时就是系统功能最大时 而系统功能的增加等于系统重力B 势的减少 设从开始转过角时 球速度最大 如图丙所示 由OA B 2 机械能守恒定律得 cos1 3sin222 2 1 2 2 2 1 22 Lmg lmgmvvm 化简并由三角函数得 L2mg3 3cosmgL 4sin 解得 11 4gL Vm 3 如图 质量为的物体经一轻质弹簧与下方地面上的质量为的物体 1 mA 2 m 相连 弹簧的劲度系数为 都处于静止状态 一条不可伸长的BkAB 轻绳绕过轻滑轮 一端连物体 另一端连一轻挂钩 开始时各段绳都处于A 伸直状态 上方的一段绳沿竖直方向 现在挂购上挂一质量为的物质A 3 m 并从静止状态释放 已知它恰好能使离开地面 但不继续上升 若将CB 换成另一个质量为的物体 仍从上述初始位置由静止状态释C 31 mm D 放 则这次刚离地时的速度的大小是多少 已知重力加速度为 BDg 解析 开始时 静止 设弹簧压缩量为力 有 ABgMkx 11 挂上并释放后 向下运动 向上运动 设刚要离地时弹簧伸长量为 CCAB 2 x 则 gMkx 22 不再上升 表示和此时速度为零 已降到最底点 整个过程中 BACCA 重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加量 则由机械能守恒 C xxg mxxgmE 211213 换成后 当刚开始离地时弹簧势能的增量与前一次相同 此进程中 CDBA D 重力势能的减少等于弹簧性势能的增加与 A D 动能的增加之积 则由机械能 守恒 xxg mxxgmmVmVmmE 2 1 2 1 2112113 2 1 2 31 由以上各式得 kmm gmmm V 2 2 31 2 211 连续媒质的流动问题 4 如图所示 一粗细均匀的形管内装有同种液体竖直放置 右管口用盖板 UA 密闭一部分气体 左管口开口 两液面高度差为 形管中液柱总长为 hUh4 现拿去盖板 液柱开始流动 当两侧液面恰好相齐时右侧液面下降的速度为多 少 解析 连续媒质可看作特殊的连接体问题 由于液体的不可压缩性 媒质内各 质元速度都相等 将盖板拿去 形管右管液面下降 液体系统的重力势能减少 整个液体系AU 统的动能增加 当左右两管液面相平时重力势能最小 动能最大 整个过程相 当于右管长度