电磁场与电磁波课后习题及答案

电磁场与电磁波课后习题解答电磁场与电磁波课后习题解答 1 1 给定三个矢量A B和C如下 23 xyz Aeee 4 yz Bee 52 xz Cee 求 1 A a 2 AB 3 A BA 4 AB 5 A在B上的分量 6 A C 7 A B CA 和 AB CA 8 ABC 和 AB C 解解 1 222 23 123 141414 12 3 xyz Axyz eee A aeee A 2 AB 23 4 xyzyz eeeee6453 xyz eee 3 A BA 23 xyz eee 4 yz eeA 11 4 由 cos AB 1111 1417238 A B A B A 得 1 cos AB 11 135 5 238 5 A在B上的分量 B A Acos AB 11 17 A B B A 6 A C 123 502 xyz eee 41310 xyz eee 7 由于 B C 041 502 xyz eee 8520 xyz eee AB 123 041 xyz eee 1014 xyz eee 所以 A B CA 23 xyz eeeA 8520 42 xyz eee AB CA 1014 xyz eeeA 52 42 xz ee 8 ABC 1014 502 xyz eee 2405 xyz eee AB C 123 8520 xyz eee 554411 xyz eee 1 2 三角形的三个顶点为 1 0 1 2 P 2 4 1 3 P 和 3 6 2 5 P 1 判断 123 PP P 是否为一直角三角形 2 求三角形的面积 解解 1 三个顶点 1 0 1 2 P 2 4 1 3 P 和 3 6 2 5 P 的位置矢量分别为 1 2 yz ree 2 43 xyz reee 3 625 xyz reee 则 1221 4 xz Rrree 2332 28 xyz Rrreee 3113 67 xyz Rrreee 由此可见 1223 4 28 0 xzxyz RReeeeeAA 故 123 PP P 为一直角三角形 2 三角形的面积 12231223 111 176917 13 222 S RRRR 1 3 求 3 1 4 P 点到 2 2 3 P 点的距离矢量R及R的方向 解解 34 Pxyz reee 223 Pxyz reee 则 53 P PPPxyz Rrreee 且 P P R 与x y z轴的夹角分别为 11 5 cos cos 32 31 35 xP P x P P e R R A 11 3 cos cos 120 47 35 yP P y P P eR R A 11 1 cos cos 99 73 35 zP P z P P e R R A 1 4 给定两矢量 234 xyz Aeee 和 456 xyz Beee 求它们之间的夹角和A在 B上的分量 解解 A与B之间的夹角为 11 31 cos cos 131 2977 AB A B A B A A在B上的分量为 31 3 532 77 B A B A B A 1 5 给定两矢量 234 xyz Aeee 和 64 xyz Beee 求 AB在 xyz Ceee 上的分量 解解 AB 234 641 xyz eee 132210 xyz eee 所以 AB在C上的分量为 C AB 25 14 43 3 A B C C A 1 6 6 证明 如果A BA A CA 和 AB A C 则 BC 解解 由 AB A C 则有 AABAA C 即 A B AA A BA C AA A CAAAA 由于A BA A CA 于是得到 A A BA A CAA 故 BC 1 7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积 那么便可以确定该未知矢量 设A为一已知矢量 p A XA 而 PAX p和P 已知 试求X 解解 由 PAX 有 p APAAXA X AA A XAA A XAAA 故得 p AAP X A AA 1 8 在圆柱坐标中 一点的位置由 2 4 3 3 定出 求该点在 1 直角坐标中的坐标 2 球坐标中的坐标 解解 1 在直角坐标系中 4cos 23 2x 4sin 23 2 3y 3z 故该点的直角坐标为 2 2 3 3 2 在球坐标系中 22 435r 1 tan 4 3 53 1 23120 故该点的球坐标为 5 53 1 120 1 9 用球坐标表示的场 2 25 r r Ee 1 求在直角坐标中点 3 4 5 处的 E 和 x E 2 求在直角坐标中点 3 4 5 处E与矢量 22 xyz Beee 构成的夹角 解解 1 在直角坐标中点 3 4 5 处 2222 3 4 5 50r 故 2 251 2 r r Ee 133 2 cos 2205 2 xxrx E e EEA 2 在直角坐标中点 3 4 5 处 345 xyz reee 所以 23 345 2525 10 2 xyz rr eee r E 故E与B构成的夹角为 11 19 10 2 cos cos 153 6 3 2 EB E B E B A A 1 10 球坐标中两个点 111 r 和 222 r 定出两个位置矢量 1 R 和 2 R 证明 1 R 和 2 R 间夹角的余弦为 121212 coscoscossinsincos 解解 由 111111111 sincossinsincos xyz rrr Reee 222222222 sincossinsincos xyz rrr Reee 得到 12 12 cos R R R R A 1122112212 sincossincossinsinsinsincoscos 121211212 sinsin coscossinsin coscos 121212 sinsincos coscos 1 11 一球面S的半径为5 球心在原点上 计算 3sin d r S eSA A 的值 解解 3sin d 3sin d rrr SS S eSeeAA AA 2 22 00 d3sin5 sind75 1 12 在由 5r 0z 和4z 围成的圆柱形区域 对矢量 2 2 rz rz Aee 验证散度定 理 解解 在圆柱坐标系中 2 1 2 32rrzr rrz AA 所以 425 000 ddd 32 d1200zrrr AA 又 2 d 2 ddd rzrrzz SS rzSSS ASeeeeeAA AA 4 25 2 2 0 00 0 55d d2 4 d d1200zrr 故有 d1200 AAd S ASA A 1 13 求 1 矢量 222223 24 xyz xx yx y z Aeee 的散度 2 求 A A 对中心在原点 的一个单位立方体的积分 3 求A对此立方体表面的积分 验证散度定理 解解 1 222223 2222 24 2272 xx yx y z xx yx y z xyz AA 2 A A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为 1 21 21 2 2222 1 21 21 2 1 d 2272 d dd 24 xx yx y zxy z AA 3 A对此立方体表面的积分 1 21 21 21 2 22 1 21 21 21 2 11 d dd dd 22 S y zy z ASA A 1 21 21 21 2 2222 1 21 21 21 2 11 2 d d2 d d 22 xx zxx z 1 21 21 21 2 223223 1 21 21 21 2 111 24 d d24 d d 2224 x yx yx yx y 故有 1 d 24 AAd S ASA A 1 14 计算矢量r对一个球心在原点 半径为a的球表面的积分 并求 r A对球体积的积 分 解解 2 23 00 dddsind4 r SS Saaa rSr eAA AA 又在球坐标系中 2 2 1 3r r rr r A 所以 2 23 0 0 0 d3sind dd4 a rra r A 1 15 求矢量 22 xyz xxy z Aeee 沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分 此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合 再求 A对此回路所包围的曲面积分 验证斯托 克斯定理 解解 2222 2 0000 ddd2 d0d8 C xxxxyy AlA A 又 22 22 xyz xz yzx xyz xxy z eee Aee 所以 2 2 0 0 d 22 d d8 xzz S yzxxy ASeeeAA 故有 d8 C AlA A d S ASA 1 16 求矢量 2 xy xxy Aee 沿圆周 222 xya 的线积分 再计算 A对此圆面积的 积分 解解 2 ddd CC xxxyy AlA AA 2 4 2422 0 cos sincossin d 4 a aa d d y x zz SS A A S xy ASeeAA 2 4 222 0 0 dsind d 4 a S a ySrrr 1 17 证明 1 3 RA 2 R0 3 A RAA 其中 xyz xyz Reee A为一常矢量 解解 1 3 xyz xyz RA 2 xyz xyz xyy eee R0 3 设 xxyyzz AAA Aeee 则 xyz A xA yA z A RA 故 xxyzyxyz A xA yA zA xA yA z xy A ReeA zxyz A xA yA z z e xxyyzz AAA eeeA 1 18 一径向矢量场 rf r Fe 表示 如果 0 FA 那么函数 f r 会有什么特点呢 解解 在圆柱坐标系中 由 1 d 0 d rf r rr FA 可得到 C f r r C为任意常数 在球坐标系中 由 2 2 1 d 0 d r f r rr FA 可得到 2 C f r r 1 19 给定矢量函数 xy yx Eee 试求从点 1 2 1 1 P 到点 2 8 2 1 P 的线积分 d E lA 1 沿抛物线 2 xy 2 沿连接该两点的直线 这个E是保守场吗 解解 1 ddd xy CC ExEy ElAdd C yxxy 2 22 1 d 2 2dyyyy 2 2 1 6d14yy 2 连接点 1 2 1 1 P 到点 2 8 2 1 P 直线方程为 28 12 xx yy 即 640 xy 故 2 1 dddd 64 64 d xy CC ExEyyyyy ElA 2 1 124 d14yy 由此可见积分与路径无关 故是保守场 1 20 求标量函数 2 x yz 的梯度及 在一个指定方向的方向导数 此方向由单位矢量 345 505050 xyz eee 定出 求 2 3 1 点的方向导数值 解解 222 xyz x yzx yzx yz xyz eee 22 2 xyz xyzx zx y eee 故沿方向 345 505050 lxyz eeee 的方向导数为 22 645 505050 l xyzx zx y l e A 点 2 3 1 处沿 l e 的方向导数值为 361660112 50505050l 1 21 试采用与推导直角坐标中 y xz A AA xyz AA 相似的方法推导圆柱坐标下的公式 1 z r A A rA rrrz AA 解解 在圆柱坐标中 取小体积元如题 1 21 图所示 矢量场A沿 r e 方向穿出该六面体的表 面的通量为 d dd d zzzz rrrrrr zz ArrrArr rr rr A rrzrA rzz 1 rr rArA rz rrr 同理 d dd d rr zzrr zz rzrz ArzArz A rzA rzr z AA rz r d dd d rrrr zzzzzz rr ArrArr r r z o x y r z z 题 1 21 图 zz A rzzA rz r rz zz AA r rz zz 因此 矢量场A穿出该六面体的表面的通量为 1 rz rz A rAA rrrz 故得到圆柱坐标下的散度表达式 0 1 lim rz A rAA rrrz A 1 22 方程 222 222 xyz u abc 给出一椭球族 求椭球表面上任意点的单位法向矢量 解解 由于 222 222 xyz xyz u abc eee 222 222 2 xyz u abc 故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 222 222222 xyz uxyzxyz abcabcu neee 1 23 现有三个矢量A B C为 sincoscoscossin r Aeee 22 sincos2sin rz zzrz Beee 22 32 2 xyz yxxz Ceee 1 哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示 哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表 示 2 求出这些矢量的源分布 解解 1 在球坐标系中 2 2 111 sin sinsin r A r AA rrrr AA 2 2 111 sincos sincoscos sin sinsin r rrrr 2cos2sincoscos sincos0 sinsinrrrr 2 sin 1 sin sin r r rr rr ArArA eee A 2 sin 1 0 sin sincoscoscossinsin r rr rr rr eee 故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示 也可以由一个矢量函数的旋度表示 在圆柱坐标系中 11 z r B B rB rrrz B A 22 11 sin cos 2sin rzzrz rrrz 22 sinsin 2 sin2 sin zz rr rr 22 11 0 sincos2sin rzrz rz rr rrzrrz BrBBzrzrz eeeeee B 故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示 直角在坐标系中 y xz C CC xyz C A 22 32 2 0yxxz xyz 22 26 322 xyz z xy xyz yxxz eee Ce 故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示 2 这些矢量的源分布为 0 AA 0 A 2 sinr B A 0 B 0 CA 26 z xy Ce 1 24 利用直角坐标 证明 fff AAAAAA 解解 在直角坐标中 y xz xyz A AAfff fffAAA xyzxyz AAAA y xz xyz A AAfff fAfAfA xxyyzz xyz fAfAfAf xyz AA 1 25 证明 AHHAAHAAA 解解 根据 算子的微分运算性质 有 AH AHAHAHAAA 式中 A 表示只对矢量A作微分运算 H 表示只对矢量H作微分运算 由 a b cc abAA 可得