数学(高升专及高升本看)

成人高考成人高考 数学知识提纲数学知识提纲 数学复习资料数学复习资料 总分总分 150150 分分配如下分分配如下 一 理工农医类一 理工农医类 1 1 选择题 单选题 共 选择题 单选题 共 8585 分 每题分 每题 5 5 分 分 2 2 填空题 共 填空题 共 1616 分 每小题分 每小题 4 4 分 分 3 3 解答题 共 解答题 共 4949 分 共分 共 4 4 题 题 二 文史财经类二 文史财经类 1 1 选择题 单选题 共 选择题 单选题 共 8585 分 每题分 每题 5 5 分 分 2 2 填空题 共 填空题 共 2020 分 每小题分 每小题 4 4 分 分 3 3 解答题 共 解答题 共 4545 分 共分 共 4 4 题 题 特别注意特别注意 选择题选择题 8585 分必须做 不能空着 分必须做 不能空着 知识点解析如下知识点解析如下 1 集合 会用列举法 描述法表示集合 会集合的交 并 补运算 能借 助数轴解决集合运算的问题 具体参看课本例 2 4 5 2 充分必要条件 要分清条件和结论 由条件可推出结论 条件是结论成立的充分条件 由 结论可推出条件 则条件是结论成立的必要条件 从集合角度解释 若 BA 则 A 是 B 的充分条件 若 则 A 是 B 的必要条件 若 A B 则 A 是 B BA 的充要条件 例 1 对 充分必要条件 的理解 请看两个例子 1 是 的什么条件 2 9x 3x 2 是的什么条件 2x 5x 我们知道 若 则 A 是 B 的充分条件 若 则 A 是 B 的AB AB 必要条件 但这种只记住定义的理解还不够 必须有自己的理解语言 若 即是 A 能推出 B 但这样还不够具体形象 因为 推出 指的是什AB 么还不明确 即使借助数轴 文氏图 也还是 抽象 的 如果用 A 中的所 有元素能满足 B 的自然语言去理解 基本能深刻把握 充分必要条件 的内 容 本例中 即集合 当中的元素不能满足或者说不属于 2 9x 3 3 3 3 但的元素能满足或者说属于 假设 则满 3 3 3 3 9 2 xxBxxA 足 故 是 的必要非充分条件 同理是AB 2 9x 3x 2x 的必要非充分条件 5x 3 直角坐标系 注意某一点关于坐标轴 坐标原点 的坐标的写 yx yx 法 如 点 2 3 关于轴对称坐标为 2 3 x 点 2 3 关于轴对称坐标为 2 3 y 点 2 3 关于原点对称坐标为 2 3 点 2 3 关于轴对称坐标为 3 2 yx 点 2 3 关于轴对称坐标为 3 2 yx 4 函数的三要素 定义域 值域 对应法则 如果两个函数三要素相同 则 是相同函数 5 会求函数的定义域 做 27 解答题页第一大题 6 函数的定义域 值域 解析式 单调性 奇偶性性 周期是重要的研究内 容 尤其是定义域 一次和二次函数的解析式 单调性最重要 7 函数的奇偶性 1 具有奇偶性的函数的定义域的特征 定义域必须关于原点对称 为此确定 函数的奇偶性时 务必先判定函数定义域是否关于原点对称 2 确定函数奇偶性的常用方法 若所给函数的解析式较为复杂 应先化简 再判断其奇偶性 定义法 利用函数奇偶性定义的等价形式 或 0f xfx 图像法 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象 1 fx f x 0f x 关于轴对称 y 常见奇函数 指数是奇数 1 33 5 sin tanyx yxyxyxyx yx 常见偶函数 220 cosyk yxyxyxyx 一些规律 两个奇函数相加或者相减还是奇函数 两个偶函数相加或者相 减还是偶函数 但是两种函数加减就是非奇非偶 两种函数乘除是奇函数 例 如是奇函数 sin tan cos x yx x 3 函数奇偶性的性质 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性完全相同 偶函数 在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性恰恰相反 如果奇函数有反函数 那么其反函数一定还是奇函数 若为偶函数 则 f x fxf xfx 奇函数定义域中含有 0 则必有 故是为奇函数的 f x 0 0f 0 0f f x 既不充分也不必要条件 8 函数的单调性 一般用来比较大小 而且主要用来比较指数函数 对数函 数的大小 此外 反比例函数 一次函数 二次函数的单调性也比较重要 要 熟记他们的图像的分布和走势 熟记课本第 8 页的图和相关结论 一次函数 反比例函数 p9 例题 9 二次函数表达形式有三种 一般式 顶点式 2 f xaxbxc 零点式 要会根据已知条件的特点 灵活 2 f xa xmn 12 f xa xxxx 地选用二次函数的表达形式 10 一元一次不等式的解法关键是化为 再把的系数化为 1 注意乘axb x 以或者除以一个负数不等号的方向要改变 一元一次不等式组最后取个不等式 的交集 即数轴上的公共部分 做 p42 4 5 6 大题 11 绝对值不等式只要求会做 和 axbccaxbc 或者 一定会去绝对值符号 做 p43 7 axbccaxb axbc 12 一元二次不等式是重点 阅读课文 29 至 31 的图表及 36 至 38 页的例题 设 是方程的两实根 且 则其解集如下表 0a 12 x x 2 0axbxc 12 xx 2 0axbxc 2 0axbxc 2 0axbxc 2 0axbxc 0 或 1 x xx 2 xx 或 1 x xx 2 xx 12 x xxx 12 x xxx 0 2 b x x a R 2 b x x a 0 R R 对于方程有实数解的问题 首先要讨论最高次项系数是否0 2 cbxaxa 为 0 其次若 则一定有 0 a04 2 acb 13 数列的同项公式与前 n 项的和的关系 数列的前 n 项的和为 1 1 1 2 n nn sn a ssn n a 12nn saaa 等差数列的通项公式 11 1 n aanddnad nN 其前 n 项和公式为 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 等比数列的通项公式 1 1 1 nn n a aa qq nN q 其前 n 项的和公式为或 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 14 等差数列的性质 1 当时 则有 特别地 当时 则有mnpq qpnm aaaa 2mnp 2 mnp aaa 2 若 是等差数列 n a 也成等差数列 232 nnnnn SSSSS 3 在等差数列中 当项数为偶数时 项数为奇数 n a2nSSnd 偶奇 时 21n 这里即 SSa 奇偶中21 21 n Sna 中 a中 n a 1 奇偶 SSkk 4 如果两等差数列有公共项 那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等 差数列 且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数 注意 公共项仅是公共的项 其项数不一定相同 即研究 nm ab 15 等比数列前项和公式有两种形式 为此在求等比数列前项和时 首nn 先要判断公比是否为 1 再由的情况选择求和公式的形式 当不能判断公比qq 是否为 1 时 要对分和两种情形讨论求解 qq1q 1q 16 等比数列的性质 1 当时 则有 特别地 当时 则有mnpq mnpq aaaa AA2mnp 2 mnp aaa A 2 若是等比数列 且公比 则数列 也是等 n a1q 232 nnnnn S SS SS 比数列 当 且为偶数时 数列 是常数数列 0 它不1q n 232 nnnnn SSSSS 是等比数列 3 在等比数列中 当项数为偶数时 项数为奇数时 n a2nSqS 偶奇 21n 1 SaqS 奇偶 4 数列既成等差数列又成等比数列 那么数列是非零常数数列 故常 n a n a 数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件 n a 这一章主要是找数字的规律 写出数列通项公式 但对等差和等比数列要求 比较高 会有较大的比重 出解答题 48 页起的例 2 3 4 5 是基础题 例 6 7 8 9 是中档题目 例 10 11 12 是综合题 最要紧做 55 页的题目 17 导数的几何意义 曲线 y f x 在点 P x0 f x0 处的切线的斜率是 相应地 0 x f 切线方程是 000 xxxfyy 18 导数的应用 1 利用导数判断函数的单调性 设函数 y f x 在某个区间内可导 如果那么 f x 为增函数 如果那么 f x 为减函数 0 x f 0 x f 如果在某个区间内恒有f x 为常数 0 x f 2 求可导函数极值的步骤 求导数 求方程的根 检 x f 0 x f 验在方程根的左右的符号 如果左正右负 那么函数 y f x 在这 x f 0 x f 个根处取得最大值 如果左负右正 那么函数 y f x 在这个根处取得最小值 19 本章重点是求曲线在一点处的切线方程和多项式的导数 会求函数最 大值最小值和极值 课本 61 页例 1 3 4 5 和 64 页习题要过一过关 20 三角函数 本章出本章出 2 个小题 个小题 1 个大题 不是重点内容个大题 不是重点内容 1 象限角的概念 如果角的终边在坐标轴上 就认为这个角不属于任何象 限 2 弧长公式 扇形面积公式 lR 1 弧度 1rad 211 22 SlRR 57 3 3 任意角的三角函数的定义 设是任意一个角 P是的终边上的任意 x y 一点 异于原点 它与原点的距离是 那么 22 0rxy sin cos yx rr tan 0 y x x cot x y 0 y 4 特殊角的三角函数值 1 0 1 0 cos 3 2 2 2 1 2 62 4 62 4 5 三角函数的恒等变形的基本思路是 一角二名三结构 即首先观察角与角之间的关系 注意角的一些常用变式 角的变换是三角函数变换的核心 第二看函数名称之间的关系 通常 切化弦 第三观察代数式的结构特点 6 基本公式 1 常见三角不等式 1 若 则 0 2 x sintanxxx 30 45 60 0 90 180 270 15 75 sin 2 1 2 2 2 3 010 1 62 4 62 4 tan 3 3 1 3 00 2 3 2 3 2 若 则 0 2 x 1sincos2xx 3 sin cos 1xx 2 同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin tan1cot 3 正弦 余弦的诱导公式 注意规律 横不变名竖变名 正负看象限 1 负角变正角 再写成 2k 02 2 转化为锐角三角函数 4 和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin 辅助角所在象限 tantan tan 1tantan sincosab 22 sin ab 由点的象限决定 a btan b a 5 二倍角公式 sin2sincos 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 6 三角函数的周期公式 函数 x R 及函数 x R A 为常数 且 A 0 0 的sin yx cos yx 周期 2 T 函数 A 为常数 且 A 0 0 的周期 tan yx 2 xkkZ T 重要例题 重要例题 9494 至至 104104 的例的例 1 1 到例到例 3 3 21 21 解三角形就完成模拟试题的相关习题即可 解三角形就完成模拟试题的相关习题即可 22 22 平面向量平面向量 看看 125125 页例页例 1 1 2 2 4 4 5 5 6 6 及习题及习题 1 1 2 2 3 3 实数与向量的积的运算律 设 为实数 那么 1 结合律 a a a a 2 第一分配律 a a a a a a 3 第二分配律 a a b b a a b b 2 向量的数量积的运算律 1 a a b b b b a a 交换律 2 a a b b a a b b a a b b a a b b 3 a a b b c c a a c c b b c c 切记 两向量不能相除切记 两向量不能相除 相约相约 向量的向量的 乘法乘法 不满足结合律不满足结合律 4 向量平行的坐标表示 设 a a b b 且 b b0 0 11 x y 22 xy 则 a a b bb b0 0 A 1221 0 x yx y 5 a a与 b b 的数量积 或内积 a a b b a a b b cos 6 6 a b 的几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积 7 平面向量的坐标运算 1 设 a a b b 则 a b a b 11 x y 22 x y 1212 xx yy 2 设 a a b b 则 a b a b 11 x y 22 x y 1212 xx yy 3 设 A B 11 x y 22 xy 则 2121 ABOBOAxx yy 4 设 a a 则a a x yR xy 5 设 a a b b 则 a a b b 11 x y 22 x y 1212 x xy y 8 两向量的夹角公式公式 a a b b 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy 11 x y 22 x y 9 平面两点间的距离公式 A B 11 x y 22 x y A B d ABAB AB 22 2121 xxyy 10 向量的平行与垂直 设 a a b b 且 b b0 0 11 x y 22 xy 则 A A b bb b a a 1221 0 x yx y a ab ab a0 0 a a b b 0 1212 0 x xy y 11 按向量平移 点按向量 a a 平移后得到点 P x y h k P xh yk 23 23 直线方程 重点章节 直线方程 重点章节 看看 139 至至 153 页例一 二 三页例一 二 三 1 直线的五种方程 1 点斜式 11 yyk xx 直线 过点 且斜率为 l 111 P x yk 2 斜截式 b 为直线 在 y 轴上的截距 ykx b l 3 两点式 12 yy 111 P x y 222 P xy 12 xx 11 2121 yyxx yyxx 4 截距式 为直线横纵截距 5 一般式 其中 A B 不1 xy ab ab 0a b 0AxByC 同时为 0 2 两条直线的平行和垂直 1 若 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb 1212 1llk k 2 若 且 A1 A2 B1 B2都不为零 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 111 12 222 ABC ll ABC 121212 0llA AB B 3 点到直线的距离 00 22 AxByC d AB 点 直线 00 P xyl0AxByC 4 圆的四种方程 做一做第做一做第 153153 页练习页练习 1 1 2 2 3 3 1 圆的标准方程 222 xaybr 2 圆的一般方程 22 0 xyDxEyF 0 22 4DEF 5 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种 0 CByAx 222 rbyax 0 交交rd 0 交交rd 其中 0 交交rd 22 BA CBbAa d 二 基础知识 一一 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 1 椭圆的定义 椭圆的定义中 平面内动点与两定点 的距离的和大于 这个条件不可忽视 若 1 F 2 F 1 F 2 F 这个距离之和小于 则这样的点不存在 若距离之和等于 则动点的轨迹 1 F 2 F 1 F 2 F 是线段 1 F 2 F 2 2 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程 0 ab 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 3 椭圆的标准方程判别方法 判别焦点在哪个轴只要看分母的大小 如果项的分母大于 2 x 项的分母 则椭圆的焦点在 x 轴上 反之 焦点在 y 轴上 2 y 3 3 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 0 ab 椭圆的几何性质 设椭圆方程 1 2 2 2 2 b y a x 线段 分别叫做椭圆的长轴和短轴 它们的长分别等于 2a 和 2b 1 A 2 A 1 B 2 B 离心率 0 e 1 e 越接近于 1 时 椭圆越扁 反之 e 越接近于 0 a c e 2 2 1 b e a 时 椭圆就越接近于圆 4 4 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 双曲线的定义 平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数 2a 小于 1 F 2 F 的动点的轨迹叫做双曲线 在这个定义中 要注意条件 2a 这一条 1 F 2 FM 1 F 2 F 件可以用 三角形的两边之差小于第三边 加以理解 若 2a 则动点的轨迹是两 1 F 2 F 条射线 若 2a 则无轨迹 1 F 2 F 若 时 动点的轨迹仅为双曲线的一个分支 又若 时 1 MF 2 MFM 1 MF 2 MF 轨迹为双曲线的另一支 而双曲线是由两个分支组成的 故在定义中应为 差的绝对值 双曲线的标准方程判别方法是 如果项的系数是正数 则焦点在 x 轴上 如果项 2 x 2 y 的系数是正数 则焦点在 y 轴上 对于双曲线 a 不一定大于 b 因此不能像椭圆那样 通过 比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上 5 双曲线的简单几何性质 双曲线实轴长为 2a 虚轴长为 2b 离心率离心率 e 越1 2 2 2 2 b y a x a c e 2 2 1 b a 大 开口越大 双曲线的渐近线方程为或表示为 若已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x x a b y 0 2 2 2 2 b y a x 的渐近线方程是 即 那么双曲线的方程具有以下形式 x n m y 0 nymx 其中 k 是一个不为零的常数 kynxm 2222 双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 若双曲线方程为渐近线方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 若渐近线方程为双曲线可设为 x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 3 若双曲线与有公共渐近线 可设为 焦点在 x 轴上 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 焦点在 y 轴上 0 抛物线抛物线 p161p161 页表格及例题页表格及例题 数学模拟试题 文史财经类 数学模拟试题 文史财经类 一 选择题 17 小题 每小题 5 分共 85 分 1 设集合 A 0 3 B 0 3 4 C 1 2 3 则 B C A A 0 1 2 3 4 B 空集 C 0 3 D 0 2 非零向量 a b 的充要条件 A a b B a b C a b D 存在非零实数 k a kb 3 二次函数 y x2 4x 1 的最小值是 A 1 B 3 C 3 D 4 4 在等差数列 an 中 已知 a1 a6 1 则 2 3 A a3 0 B a 0 C a 0 D 各项都不为零 45 5 函数 y x3 2sinx A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数 D 既是奇函数又是偶函 数 6 已知抛物线 y x2在点 x 2 处的切线的斜率为 A 2 B 3 C 1 D 4 7 直线 L 与直线 3x 2y 1 0 垂直 则 1 的斜率为 A 3 2 B 3 2 C 2 3 D 2 3 8 已知 3 2 4 6 则 a b a b A 4 B 0 C 4 D 5 9 双曲线 1 的焦距是 9 2 y 5 2 x A 4 B C 2 D 81414 10 从 13 名学生中选出