理解矩阵的概念掌握一些特殊矩阵及其性质

19 第二章第二章矩阵矩阵 要求 1 理解矩阵的概念 掌握一些特殊矩阵及其性质 如零矩阵 单位矩阵 对角矩阵 三 角矩阵 对称矩阵等 2 掌握矩阵的基本运算及其运算规则 如线性运算 乘法运算 矩阵行列式运算等 3 理解逆矩阵概念 掌握逆矩阵性质及矩阵可逆的充分必要条件 了解伴随矩阵概念 4 掌握矩阵的初等变换 了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念 掌握用初等变换求逆 矩阵的方法 5 掌握矩阵的分块运算 2 1 矩阵 知识点 矩阵的定义 一些特殊矩阵 定义定义 1 矩阵 矩阵 由 个实数排成的一个 m 行 n 列的矩形数表nm ij a mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 称之为 矩阵 位置 上的元素 上的元素 一般用表示 强调两个足标的意义 nm ij ij a 矩阵可简记为 或 或 nm A ij aA nmij aA 例例 1 含有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组 n xxx 21 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 把和按原顺序可以组成一个矩阵 ij a i b 1 nm mmnmm n n baaa baaa baaa 21 222221 111211 任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述 反之 一个矩阵也完全刻划了一个方程组 19 如如 已知某方程组对应于下列矩阵 写出该方程组 1131 0321 3212 方矩阵方矩阵 若 称 A 为阶 方 矩阵 也可记作 强调矩阵的 主 对角线 主 对角线 nm n n A 而 称之为对角元素对角元素 反主对角线 反主对角线 nn aaa 2211 当 时 即 此时矩阵退化为一个数 1 nm 11 aA 11 a 同型矩阵同型矩阵 具有相同行数和相同列数的矩阵 称之为同型矩阵 矩阵相等矩阵相等 若同型矩阵和在对应位置上的元素都相等 即 nmij aA nmij bB 1 1 njmiba ijij 零矩阵零矩阵 所有元素都为零的矩阵 称之为零矩阵 一般记作 O 或 nm O 注意 不同型的零矩阵是不相等的 三角矩阵三角矩阵 设是 阶矩阵 ij aA n 1 若的元素满足 称是上三角矩阵 上三角矩阵 Ajiaij 0A 2 若的元素满足 称是下三角矩阵 下三角矩阵 Ajiaij 0A 和 nn n n a aa aaa A 00 0 222 11211 nnnn aaa aa a A 21 2221 11 0 00 对角矩阵对角矩阵 若元素满足 其形状是jiaij 0 nn a a a A 00 00 00 22 11 19 记作 2211iinn adiagaaadiagA 数量矩阵 数量矩阵 对角元素为常数的对角矩阵 记作 K 即 K kdiag 单位矩阵单位矩阵 对角元素为 1 的对角矩阵 记作 或 阶 即I n In 100 010 001 I 零矩阵和单位矩阵在矩阵运算中所起的作用类似于 0 和 1 在数的运算中所起的作用 2 2 矩阵的基本运算 知识点 矩阵的加 减 法 数乘 乘法 转置和矩阵的行列式 伴随矩阵 一 一 加 减 法加 减 法 定义定义 2 矩阵加法 矩阵加法 设 和 是 的矩阵 A 与 B 的加法 或 ij aA ij bB nm 称和 记作 A B 定义为一个 的矩阵nm BAcC ij mnmnmmmm nn nn bababa bababa bababa 2211 2222222121 1112121111 例例 2 设 20 15 A 40 12 B db ca C 计算 若已知 求出 BA BAC dcba 负矩阵负矩阵 设 称矩阵 为矩阵 A 的负矩阵 nmij aA ij aA 19 矩阵的减法矩阵的减法 BABA mnmnmmmm nn nn bababa bababa bababa 2211 2222222121 1112121111 由定义 容易验证矩阵的加法满足下列运算法则 其中为同型矩阵 OCBA 1 交换律 ABBA 2 结合律 CBACBA 3 AOA 4 OAA 二 二 数乘数乘 定义定义 3 矩阵数乘 矩阵数乘 数与矩阵的乘积 称之为数乘 记作 或 nmij aA A A 定义为一个 的矩阵 nm AAcC ij mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 由定义 数乘运算满足下列运算法则 设是同型矩阵 是数 OBA 1 数对矩阵的分配律 BABA 2 矩阵对数的分配律 AAA 3 结合律 AA 4 OA 0 例例 3 设 19 345 751 213 A 123 915 457 B 且 求矩阵 2BXA X 三 乘法乘法 定义定义 4 矩阵乘法 矩阵乘法 设是一个矩阵 是一个矩阵 A 与 ij aA sm ij bB ns B 的乘法 记作 AB 定义为一个 的矩阵 其中nm ij cABC s k kjiksjisjijiij babababac 1 2211 2 1 2 1 njmi 由定义 不难看出 强调 1 只有在左矩阵 A 的列数和右矩阵 B 的行数相等时 才能定义乘法 AB 2 矩阵 C AB 的行数是 A 的行数 列数则是 B 的列数 3 矩阵 C AB 在 位置上的元素等于 A 的第行元素与 B 的第列对应元素 jiij 的乘积之和 例例 4 设矩阵 2012 1301 A 431 102 311 014 B 求 和 ABBA 例例 5 任何一个矩阵 A 与单位矩阵 I 的乘积仍然等于该矩阵 A 假如乘积有意义 即 A I I A A 如 21 42 21 42 10 01 10 01 21 42 例例 6 设是的矩阵 行向量 是的矩阵 列向量 即An 1B1 n 19 n aaaA 21 n b b b B 2 1 求 和 ABBA 例如 则 而 102 A 0 1 1 B2 AB 000 102 102 BA 例例 7 设矩阵 求 和 11 22 21 42 BAABBA 解解 00 00 AB 21 42 BA 上述几个例子显示 当有意义时 不一定有意义 例 4 即使和ABBAAB 都有意义 例 6 且有相同的矩阵阶数 例 7 和也不一定相等 因此矩阵BAABBA 乘法不满足交换律不满足交换律 对一般情况而言 若两个矩阵和满足 ABBAAB 则称矩阵和是可交换的可交换的 如AB 1 单位矩阵与任何 同阶 矩阵可交换 即成立 IAAI 2 任何两个对角矩阵也都是可交换的 作为习题 3 一个矩阵与任何 同阶 矩阵可交换的当且仅当该矩阵为数量矩阵 作为习题 例 7 还显示 当 时 不能推出或 进一步 当 OAB OA OB ACAB 且时 推不出 这表明矩阵乘法也不满足消去律 不满足消去律 OA CB 但但矩阵乘法仍满足分配律和结合律满足分配律和结合律 1 分配律 ACABCBA CABAACB 19 2 结合律 BCACAB 3 数乘结合律 其中 是一个数 BABAAB 4 AIAAI 证明矩阵相等的方法 I 左右矩阵为同型 II 左右矩阵在对应位置上的元素相等 ji 2 的证明 的证明 设是矩阵 是矩阵 是 矩阵 ij aA sm ij bB ts ij cC nt 则 是矩阵 且 而是矩阵 且ABdD ij tm s l lkilik bad 1 BCeE ij ns 从而和都是矩阵 再记 t k kjlklj cbe 1 BCA BCAnm 只需证故 即可 DCCABP AEBCAQ ijij qp 例例 8 设矩阵 是上 下 三角矩阵 则 亦是上 下 三角矩阵 且 的对ABABAB 角元素等于 对角元素的乘积 特别 对角矩阵的积仍是对角矩阵 AB 证明 证明 记 则 只要证明 并 ABC s k kjikij bac 1 jicij 0 iiiiii bac 如如 300 020 121 A 200 020 133 B 矩阵的幂矩阵的幂 设是阶矩阵 定义 An 121kk AAAAAAAA 其中 是正整数 特别规定 由于乘法成立分配律结合律 有kIA 0 lklk AAA kllk AA 但由于不成立交换律 故一般 kkk BAAB 19 例例 9 设矩阵 0000 1000 0100 0010 A 000 100 010 001 B 求 和 把 A 推广到一般 n 阶矩阵 4 A 4 nBn 四 四 转置运算转置运算 定义定义 5 转置矩阵转置矩阵 设 mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 mnnn m m T aaa aaa aaa A 21 22212 12111 将的行和列对应互换得到的矩阵 定义为 A 的转置矩阵 转置矩阵 记作 Amn T A 由定义可知 即在位置上的元素是矩阵 A 在位置上的元素 jiij T AA T A ji ij 例例 10 设矩阵 43 12 23 20 14 BA 求 和 T AB TT AB TTB A 上述例子成立 而并不成立 这是转置运算的性质 TTT ABAB TTT BAAB 矩阵的转置满足下列运算法则 1 AA TT 2 TTT BABA 3 是数 TT AA 4 TTT ABAB 19 定义定义 6 对称矩阵对称矩阵 设是 阶矩阵 若其元素满足 ij aA n AAjiaa T jiij 若其元素满足 AAjiaa T jiij 则称是反对称矩阵反对称矩阵 此时成立 Aiaii 0 例如是一个对称矩阵 而 是一个反对称矩阵 01 11 A 01 10 B 显然 对角矩阵一定是对称矩阵 下面是 反 对称矩阵的一些基本性质 性质性质 1 设 为 反 对称矩阵 则仍是 反 对称矩阵 ABBA 但注意 此时 不一定不一定是 反 对称矩阵 AB 例如 但 不是对称矩阵 01 10 01 11 BA 10 11 AB 下列性质的证明都可按对称矩阵的定义证得 性质性质 2 设 是对称矩阵 则 或 是对称矩阵的充分必要条件 ABABBABAAB 性质性质 3 设为 反 对称矩阵 则 也是 反 对称矩阵 AAAT 性质性质 4 对任意方矩阵 则 分别是对称矩阵和反对A 2 1 T AAH 2 1 T AAS 称矩阵 且 SHA 五 五 矩阵的迹和行列式矩阵的迹和行列式 定义定义 7 矩阵的迹与行列式矩阵的迹与行列式 设是阶矩阵 称 为矩阵 A 的迹 ij aA n n i ii aAtr 1 19 称 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 为矩阵矩阵的行列式的行列式 记作 或 det AA A 性质性质 1 提示矩阵乘法交换律不成立 BAtrABtr 性质性质 2 由行列式性质 1 AAT 性质性质 3 由矩阵的数盛和行列式性质 3 AA n 例如 即 而 即 13 12 A 39 36 BAB3 45 5 BA 成立 初学者容易犯的一个错是 B4559 3 3 2 AA AA 性质性质 4 BAAB 证明证明 以阶矩阵来证明 构造 6 阶 即阶 行列式 332 BI OA bbb bbb bbb aaa aaa aaa D 333231 232221 131211 333231 232221 131211 100 010 001 000 000 000 由例 1 11 另一方面 对做下列变换 D BAD 第一步 消去 131211 bbb 333231 232221 133112311131333231 132112211121232221 131112111111131211 100 010 000001 bbb bbb bababaaaa bababaaaa bababaaaa D 第二步 地三步 消去 和 232221 bbb 333231 bbb 19 OI ABA bababaaaa bababaaaa bababaaaa D k kk k kk k kk k kk k kk k kk k kk k kk k kk 000100 000010 000001 3 1 33 3 1 23 3 1 13333231 3 1 32 3 1 22 3 1 12232221 3 1 31 3 1 21 3 1 11131211 再进行行的交换 3 2 1 3 jrr jj 于是 ABA OI D 3 1 再由例 1 11 得到 从而结论成立 1 1 1 333 ABABABID 定义定义 8 伴随矩阵伴随矩阵 设 由行列式 的代数余子式 所构成的矩阵 ij aA A ij A nnnn n n AAA AAA AAA A 21 22212 12111 称之为矩阵的伴随矩阵 A 注意到 伴随矩阵在位置上的元素是矩阵在位置上的代数余子式 A jiA ij 例如 的伴随矩阵是 43 21 A 13 24 A 定理定理 1 成立 IAAAAA 证明证明 记 由矩阵的乘法 展开定理 1 3 及推论 1 3 得 AAB ij ijA AaAaAab jninjijiij 0 2211 IAAA 19 例例 11 求矩阵 的伴随矩阵 343 122 321 A 解解 并 222 563 462 A AA IAE 2 200 020 002 注意到 同理可验证 2 AIAAA 2 3 逆矩阵 知识点 逆矩阵的定义 逆矩阵存在的充分必要条件 一 逆矩阵一 逆矩阵 定义定义 9 逆矩阵 逆矩阵 设是阶矩阵 若存在矩阵 使得AnB IBAAB 则称矩阵是矩阵的逆矩阵 并称是可逆矩阵可逆矩阵 或称矩阵是可逆的 BAAA 例如 则 是的逆矩阵 13 02 A 1 0 2 3 2 1 BA 性质性质 1 逆矩阵是唯一的 如此 可用 来表示的逆矩阵 1 AA 证明证明 设 均是的逆矩阵 则BCA CICCBAACBBIB 定理定理 2 矩阵是可逆的充分必要条件是其行列式 且在 时 A0 A0 A 1 1 A A A 证明证明 必要性 由 故 IAA 1 1 11 IAAAA0 A 充分性 由定理 1 由于 IAAAAA 0 A IAA A A A A 1 1 19 有时称可逆矩阵为非奇矩阵 非奇矩阵 称不可逆矩阵 即时 为奇异矩阵 奇异矩阵 0 A 例例 12 求矩阵 的逆矩阵 343 122 321 A 解解 按定理 1 只需求出的伴随矩阵 由例 11 我们已有的伴随矩阵 于是AA 1 1 A A A 222 563 462 2 1 推论推论 2 若 或 则非奇 且 IAB IBA A 1 AB 证明证明 因为 故 从而 存在 于是1 IABBA0 A 1 A 1111 AIAABABAABIB 例例 1313 已知矩阵 A 满足 证明 均可逆 并求 IAA2 2 IAA2 11 2 IAA 证明 证明 IIAIAIIAA3 2 3 2 利用逆矩阵求方程组的解 记 nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 n x x x X 2 1 n b b b B 2 1 根据矩阵乘法 方程组可以写成下列矩阵形式 BAX 其中 称为方程组的系数矩阵系数矩阵 若 则 存在 可得方程组的解 A0 A 1 A BAX 1 例例 14 求方程组的解 0343 122 232 321 321 321 xxx xxx xxx 19 解解 BAX 1 1 0 1 0 1 2 222 563 462 2 1 性质性质 2 若非奇 则 亦非奇 且 A 1 AAA 11 性质性质 3 若非奇 则 亦非奇 且 A0 A 11 1 AA 性质性质 4 若 非奇 则 亦非奇 且 ABAB 111 ABAB 性质性质 5 若非奇 则 亦非奇 且 A T A TT AA 11 性质性质 6 若非奇 则 因为 A 1 1 A A 1 11 IAAAA 矩阵的负幂矩阵的负幂 设 定义0 A kk AA 1 例例 15 设矩阵是对角矩阵 求其逆矩阵 A 2 4 矩阵的分块 知识点 分块的目的 一些特殊结构矩阵的分块运算 把一个矩阵看成是由一些小矩阵组成的 有时会对一些具有特殊结构的矩阵的运算 带来方便 如乘法和求逆等 而在具体运算时 则把这些小矩阵看作数一样 按运算规则 进行运算 这种把一个矩阵划分成一些小矩阵 就是所谓的矩阵分块 矩阵分块 设 0211 1401 1021 2301 1011 0121 0010 0001 BA 19 我们对与进行不同形式的划分 来进行与的基本运算 ABAB 划分一 划分一 把矩阵与分别分划成 4 个小矩阵 AB22 2221 1211 21 2 BB BB B IA OI A 现在我们对矩阵进行乘积运算 把这些小矩阵看作数一样来处理 按乘法运算规则 BA 2221 1211 21 2 BB BB IA OI AB 2212121111 1211 BBABBA BB 计算出 和 可得 21111 BBA 22121 BBA 3511 1142 1021 2301 AB 同样 我们也可以进行加法 数乘的运算 BA 222211 12112 BIBA BBI 21 2 33 3 3 IA OI A 划分二 划分二 把矩阵与按下列形式划分成 4 个小矩阵 AB 2221 1211 AA AA A 2221 1211 BB BB B 其中 010 001 11 A 0 0 12 A 011 121 21 A 1 0 22 A 021 301 11 B 1 2 12 B 211 401 21 B 0 1 22 B 按这种划分进行乘法运算 即 2221 1211 2221 1211 BB BB AA AA AB 22221212121221121 2212121121121111 BABABABA BABABABA 此时所有的小矩阵乘积运算都是没有定义的 划分三 划分三 对矩阵的划分不变 而的划分改成为 AB 19 401 021 301 11 B 1 1 2 12 B 211 21 B 0 22 B 此时的运算也可以按分块形式进行 AB 2221 1211 2221 1211 BB BB AA AA AB 22221212121221121 2212121121121111 BABABABA BABABABA 但此时小矩阵之间的乘法运算并没有给我们带来方便 不如划分一这样简单 因此在对矩阵进行分块运算时 特别是乘法运算和求逆运算 矩阵的划分一定要注意 到 1 矩阵的行列对应 以保证小矩阵的运算可以进行 2 针对矩阵的结构进行划分 以给运算带来方便 例例 16 设 是一个 阶矩阵 按下列形式划分成 4 个小矩阵 Dst BC OA D 其中 分别是阶和 阶的非奇矩阵 求 ABst 1 D 解解 设 根据 得 2221 12111 XX XX DIDD 1 111 1 1 BCAB OA D 特别 当时 有OC 1 1 1 BO OA BO OA 例例 17 设 求 120 131 005 D 1 D 这些结论可以推广到一般情况 19 pppp AAA OAA OOA A 21 2221 11 称为块下三角矩阵块下三角矩阵 其逆矩阵 若存在的话 一定也是块下三角矩阵 下列形式的矩阵称 之为块对角矩阵块对角矩阵 成立 1 1 2 1 1 1 2 1 p p AOO OAO OOA AOO OAO OOA 矩阵的一种重要划分是所谓的按列划分和按行划分 设是一个矩阵Anm 把矩阵的每一列看成是一个的小矩阵 于是可以写成1 m j A n A 21 类似地 把矩阵的每一行看成是一个的小矩阵 于是可以写成n 1 i A m A 2 1 2 5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 知识点 初等变换 初等矩阵 化矩阵为行阶梯型 行最简型以及标准型 强调要用列变 换了 矩阵的等价与矩阵等价于标准型 一 引例 线性方程组的 Gauss 消元法 19 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 线性方程组的矩阵形式 A BX 增广矩阵增广矩阵 mmnmm n n baaa baaa baaa BAA 21 222221 111211 例例 18 用 Gauss 消元法求解线性方程组 1123 22382 1952 321 321 321 xxx xxx xxx 解解 消元 同时对增广矩阵作同样变换 同时对增广矩阵作同样变换 4 307 1952 3 32 321 x xx xxx 消元结束 再回代 可得到方程组的解为 4 2 3 321 xxx 也可以继续消元 同时对增广矩阵作同样变换 同时对增广矩阵作同样变换 4 2 3 3 2 1 x x x 对方程组用了以下三种变换 1 互换两个方程的位置 2 用一个不等于零的数乘某 一个方程 3 某一个方程加上另一个方程的倍 相应地矩阵也有上述三种变换 k 施行这三种变换不会改变方程组的同解性 二 矩阵的初等变换 定义定义 11 初等变换 初等变换 矩阵的初等行 列 变换是指下列三种变换 1 对换 互换矩阵中两行 列 的位置 2 倍乘 用一个非零数乘矩阵的某一行 列 k 19 3 倍加 矩阵的某一行 列 元素加上另一行 列 对应元素的倍 k 注意 另一行的元素并没有改变 例例 19 用初等行变换化矩阵 A 为上三角形矩阵 1112 1131 1211 4112 A 17000 6100 2110 1211 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵是指满足下列两个条件的矩阵 1 矩阵的零行 元素全为零的行 全部位于非零行的下方 2 各个非零行的左起第一个非零元素的列序数由上至下严格递增 例如 矩阵是一个行阶梯形矩阵 下列矩阵则不是 00000 23000 12420 30732 0000 5410 0000 3214 00000 21830 08430 43121 0000 2030 1200 0421 行最简形矩阵 行最简形矩阵 若行阶梯形矩阵还满足 1 所有非零行的左起第一个非零元素均为 1 2 各个非零行的左起第一个非零元素所在的列的其余元素都是零 还可进一步通过行初等行变换化为 00000 23000 12420 30732 00000 3 2 1000 6 1 0210 4 5 0 2 13 01 19 定理定理 3 任意一个非零矩阵总可经过行行初等变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵 证明证明 因 在 A 的第一列元素中找一个非零元素 若全为零 则在第二列中找 依OA 此类推 不妨设 对 A 施行初等行变换 得0 11 a B AO Aa bb bb aaa A mnm n n 22 1211 2 222 11211 0 0 如果 则 A 已化为行阶梯形 如果 同样在的第一列元素中找第一OA 22 OA 2222 A 个非零元素 若全为零 则在第二列中找 不妨设 重复上述步骤 必可得到矩阵0 22 b 00000 00000 000 00 0 3333 222322 11131211 rnrr nr nr nr dd ccc bbbb aaaaa 其中 都不等于零 故得到 A 的行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 再施行初等行变换 得 2211 ba 即为行最简形矩阵 00000 00000 1000 0100 0010 0001 3 2 1 rn n n n d c b a 例例 2020 化下列矩阵为行阶梯形矩阵 及行最简形矩阵 1 2 311 121 111 1001424 52712 12031 21301 19 定义定义 12 初等矩阵 初等矩阵 对单位矩阵 I 施行一次初等变换后得到的矩阵 称为初等矩阵初等矩阵 1 对换矩阵 对换矩阵 记为 ij I 2 倍乘矩阵 倍乘矩阵 记为 其中 kIi0 k 3 倍加矩阵 倍加矩阵 记为 第 i 行加上第 j 行的 k 倍 或等价地说 第 j 列加上第 i 列的 k kIij 倍 例如 100 010 031 3 12 I 性质性质 1 初等矩阵都是可逆矩阵 且其逆阵也是同类初等矩阵 ij ijII 1 1 1 k IkI ii 1 kIkI ij ij 性质性质 2 初等矩阵的转置仍是同类初等矩阵 ij ij T II kIkI i i T kIkI ji T ij 性质性质 3 对矩阵 A 施行一次行初等变换相当于用一个同类阶初等矩阵左乘 A nm m 而施行一次列初等列变换相当于用一个同类阶初等矩阵右乘 A n 例例 21 验证 001 010 100 333231 232221 131211 131211 232221 333231 aaa aaa aaa aaa aaa aaa 100 00 001 333231 232221 131211 333231 232221 131211 k aaa aaa aaa akaa akaa akaa 100 010 01 333231 232221 131211 333231 232221 331332123111 aaa aaa aaak aaa aaa kaakaakaa 19 三 矩阵的等价 定义定义 13 矩阵等价 矩阵等价 若矩阵 A 经过有限次初等变换化为矩阵 B 则称 A 与 B 等价等价 记为 或 BA BA 矩阵等价的三个性质 1 自反性 对任一矩阵 A 有 AA 2 对称性 若 则 故 BA AB BA 3 传递性 若 则 BA CB CA 证明 3 A 与 C 等价 111 APPQCBQQCAPPB kmmk 由定理 3 任意一个矩阵均可与行阶梯形矩阵等价 也可与行最简形矩阵等价 强调可以 是行等价 进一步 还可有 定理定理 4 任意一个非零矩阵都可经初等变换化为下列形式的矩阵 强调要用列变换 nm A min 1 00000 00000 00100 00010 00001 nmr OO OIr 称为矩阵 A 的标准形矩阵标准形矩阵 即任意一个非零矩阵与它的标准形矩阵是等价的 证明证明 在行最简型基础上再施行列初等变换即可 19 例例 22 化矩阵为标准形 1370 3031 1110 4321 A 解解 0000 0100 0010 0001 0000 2100 1010 0001 34 24 2cc cc A 定理定理 5 对任意一个非零矩阵 一定存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵 使nm AmPnQ 得 OO OI PAQ r 证明证明 由定理 4 有 记 即可 OO OI QAQPP r ts 111 PPP s t QQQ 1 定理定理 6 1 阶可逆矩阵 A 的标准形为单位矩阵 n n I 2 任意阶可逆矩阵 A 可表示为一系列初等矩阵乘积 n 3 任意阶可逆矩