相似三角形培优试题

1 1 本题满分 7 分 如图 10 四边形 ABCD DEFG 都是正方形 连接 AE CG AE 与 CG 相交于点 M CG 与 AD 相交于点 N 求证 1 CGAE 2 MNCNDNAN 2 本题满分 7 分 如图 11 已知 的面积为 3 且 AB AC 现将 沿 CA 方向平移 CA 长ABCABC 度得到 EFA 1 求四边形 CEFB 的面积 2 试判断 AF 与 BE 的位置关系 并说明理由 3 若 求 AC 的长 15 BEC 2 3 如图 在平行四边形 ABCD 中 过点 A 作 AE BC 垂足为 E 连接 DE F 为线段 DE 上一点 且 AFE B 1 求证 ADF DEC 2 若 AB 4 AD 3 AE 3 求 AF 的长 3 4 如图 4 在正方形ABCD中 EF 分别是边ADCD 上的点 1 4 AEEDDFDC 连结EF并延长交BC的延长线于点G 1 求证 ABEDEF 2 若正方形的边长为 4 求BG的长 A c E c D c F c B c C c G c 图 4 3 5 如图 15 在梯形ABCD中 906DCABAAD 厘米 4DC 厘米 BC的坡度3 4i 动点P从A出发以 2 厘米 秒的速度沿AB方向向点B运动 动点 Q从点B出发以 3 厘米 秒的速度沿BCD 方向向点D运动 两个动点同时出发 当其中一个动点到达终点时 另一个动点也随之停止 设动点运动的时间为t秒 1 求边BC的长 2 当t为何值时 PC与BQ相互平分 3 连结PQ 设PBQ 的面积为y 探求y与t的函数关系式 求t为何值时 y有最大 值 最大值是多少 6 本题满分 本题满分 9 分 分 一块直角三角形木板的一条直角边长为m 面积为m2 工人师傅要把它加AB1 51 5 工成一个面积最大的正方形桌面 请甲 乙两位同学进行设计加工方案 甲设计方案如图 1 乙设计方案如图 2 你认为哪位同学设计的方案较好 试说明理由 加工损耗忽略不计 计算结果中可保 留分数 C c D c A c B c Q c P c 图 5 图 G A C F D D E F 图 第第 6 题图题图 4 7 如图 1 O 为正方形 ABCD 的中心 分别延长 OA OD 到点 F E 使 OF 2OA OE 2OD 连接 EF 将 EOF 绕点 O 逆时针旋转 角得到 E1OF1 如图 2 1 探究 AE1 与 BF1 的数量关系 并给予证明 2 当 30 时 求证 AOE1 为直角三角形 8 本题满分 12 分 将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开 得到 ABC 和 A C D 如图 1 所示 将 A C D 的顶点 A 与点 A 重合 并绕点 A 按逆时针方向旋转 使点 D A A B 在同一条直线上 如图 2 所示 观察图 2 可知 与 BC 相等的线段是 CAC 图 1 图 2 C A BA DC A B CD B C DA A C 5 问题探究 如图3 ABC 中 AG BC 于点 G 以 A 为直角顶点 分别以AB AC 为直角边 向 ABC 外作等腰 Rt ABE 和等腰 Rt ACF 过点 E F 作射线 GA 的垂线 垂足分别为 P Q 试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系 并证明你的结论 拓展延伸 如图 4 ABC 中 AG BC 于点 G 分别以 AB AC 为一边向 ABC 外作矩形 ABME 和矩形 ACNF 射线 GA 交 EF 于点 H 若 AB k AE AC k AF 试探究 HE 与 HF 之间的数 量关系 并说明理由 图 4 M N G F E CB A H 图 3 A BC E F G P Q 6 9 本小题 12 分 如图 有一块塑料矩形模板 ABCD 长为 10cm 宽为 4cm 将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上 不与 A D 重合 在 AD 上适当移动三角板顶点 P 1 能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C 若能 请你求出这时 AP 的长 若不能 请说明理由 2 再次移动三角板的位置 使三角板顶点 P 在 AD 上移动 直角边 PH 始终 通过点 B 另一直角边 PF 与 DC 的延长线交于点 Q 与 BC 交于点 E 能否使 CE 2cm 若能 请你求出这时 AP 的长 若不能 请你说明理由 7 参考答案参考答案 1 证明 1 四边形和四边形都是正方形 ABCDDEFG 90 ADCD DEDGADCEDG 3 分 ADECDGADECDG 4 分AECG 2 由 1 得 又CNDANMDCGDAECDGADE AMN CDN ANMN ANDNCNMN CNDN 即 2 解 1 由平移的性质得 3 EFABAFABC AFBCAFBCEFAABC AFBC SSS 且 四边形为平行四边形 3 分9EFBC 四边形的面积为 2 证明如下 由 1 知四边形为平行四边形AFBE AFBC BFACBFACAECABFAEBFAE EFBAABACABAE 且 又 且 四边形为平行四边形又已知 5 分EFBABEAF 平行四边形为菱形 分为正数且 则设中在 于作 7 32 3 3 2 2 1 2 1 3 2 2 3021515 3 22 ACxxxxxxBDACS SxABACxBDBDABBADRt BECBACBECEBAABAEBECDACBD ABC ABC 3 1 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC AB CD ADF CED B C 180 AFE AFD 180 AFE B AFD C ADF DEC 8 2 解 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC CD AB 4 又 AE BC AE AD 在 Rt ADE 中 DE 63 33 2222 AEAD ADF DEC AF CD AF DE AD 46 33AF 32 4 1 证明 ABCD 为正方形 90ADABDCBCAD 1 分 1 2 AE AEED AB 3 分 又 11 42 DF DFDC DE AEDF ABEDEF ABDE 5 分 2 解 ABCD 为正方形 EDDF EDBG CGCF 7 分 又 1 4 DFDC 正方形的边长为 4 26EDCG 9 分 10BGBCCG 5 解 1 作CEAB 于点E 如图 3 所示 则四边形AECD为矩形 46AECDCEDA 1 分 又 3 3 4 4 CE i EB 812EBAB 2 分 在RtCEB 中 由勾股定理得 22 10BCCEEB 3 分 2 假设PC与BQ相互平分 图 3 C c D c A c B c Q c P c E c 9 由DCAB 则PBCQ是平行四边形 此时Q在CD上 4 分 即310122CQBPtt 5 分 解得 22 5 t 即 22 5 t 秒时 PC与BQ相互平分 7 分 3 当Q在BC上 即 10 0 3 t 时 作QFAB 于F 则CEQF QFBQ CEBC 即 39 6105 QFtt QF 8 分 119 122 225 PBQ t SPB QFt 2 981 3 55 t 9 分 当3t 秒时 PBQ S 有最大值为 2 81 5 厘米 10 分 当Q在CD上 即10 14 33 t 时 11 122 6 22 PBQ SPB CEt 366t 11 分 易知S随t的增大而减小 故当 10 3 t 秒时 PBQ S 有最大值为 2 10 36616 3 厘米 2 95410 55381 16 51014 636 33 ttt y tt 0 综上 当3t 时 PBQ S 有最大值为 2 81 5 厘米 12 分 6 本题满分 9 分 解 由m m2 可得m 1 5AB 1 5 ABC S 2BC 由图 1 若设甲设计的正方形桌面边长为 xm 由 得DEAB CDECBAR t R t 2 1 52 xBCxxx ABBC 即 m 4 分 36 3 1 52 3 57 xxx 由图 2 过点作斜边上的高BABCR t AC 图 D E F x 10 交于 交于 BHDEPACH 由m 2m 1 5AB BC 得 m 2222 1 522 5ACABBC 由可得 m 6 分AC BHAB BC AA 1 5 2 1 2 2 5 AB BC BH AC A 设乙设计的桌面的边长为 ym DEAC BDEBAC R t R t BPDE BHAC 即 解得m 1 2 1 22 5 yy 30 37 y 22 63030 73537 xy 甲同学设计的方案较好 7 答案 1 用边角边证明 AOE 和 BOF 全等 即可证得 AE BF 2 取 OE 的中点 G 得到等边 AOG 等到 AGO 60 又由 AG E G 得 到 AE O 30 从而得到 OAE 是 90 即为直角三角形 8 解 情境观察 AD 或 A D 90 问题探究 结论 EP FQ 证明 ABE 是等腰三角形 AB AE BAE 90 BAG EAP 90 AG BC BAG ABG 90 ABG EAP EP AG AGB EPA 90 Rt ABG Rt EAP AG EP 同理 AG FQ EP FQ 拓展延伸 结论 HE HF 理由 过点 E 作 EP GA FQ GA 垂足分别为 P Q 四边形 ABME 是矩形 BAE 90 BAG EAP 90 AG BC BAG ABG 90 ABG EAP AGB EPA 90 ABG EAP AG EP AB EA 同理 ACG FAQ AG FP AC FA AB k AE AC k AF k EP FQ AB EA AC FA AG EP AG FP G A C F D 图 H P y Q P H A BC E F G N M 11 9 解 结论 能 设 AP xcm 则 PD 10 x cm 因为 A D 90 BPC 90 所以 DPC ABP 所以 ABP DPC 则 AB PD AP DC 即 AB DC PD AP 所以 4 4 X 10 X 即 x2 10 x 16 0 解得 x1 2 x2 8 所以 AP 2cm 或 8 cm 结论 能 设 AP Xcm CQ y cm 由于 ABCD 是矩形 HPF 90 所以 BAP ECQ BAP PDQ 所以 AP CE AB CO AP PD AB DQ 所以 2x 4y 即 y x 2 12 x 10 x 4 4 y 消去 y 得 x2 8x 16 0 解得 x1 x2 4 即 AP 4cm 一 选择题 每小题 6 分 共 48 分 1 在 ABC 中 D F 是 AB 上的点 E H 是 AC 上的点 直线 DE FH BC 且 DE FH 将 ABC 分成面积相等的三部分 若线段 FH 则 BC 的长为 65 A 15 B 10 C D 6 2 15 15 3 2 2 在 ABC 中 DE BC DE 交 AB 于 D 交 AC 于 E 且 S ADE S四边形 DBCE 1 2 则梯形的高与三角形的边 BC 上的高的比为 A 1 B 1 2 12 C 1 D 13 13 3 3 在 Rt ABC 中 C 90 CD 是斜边 AB 上的高 AC 5 BC 8 则 S ACD S CBD为 A B C D 8 5 64 25 39 25 89 25 4 如图 1 5 1 D E F 是 ABC 的三边中点 设 DEF 的面积为 4 ABC 的周长为 9 则 DEF 的周长与 ABC 的面积分别是 A 16B 9 4 2 9 C 8D 16 2 9 4 9 5 如图 1 5 2 在 ABC 中 AD BC 于 D 下列条件 1 B DAC 90 2 B DAC 3 AB AC AD CD 4 AB2 BD BC 其中一定能够判定 ABC 是直角三角形的共有 A 3 个 B 2 个 C 1 个D 0 个 6 如图 1 5 3 在正三角形 ABC 中 D E 分别在 AC AB 上 且 AE BE 则有 3 1 AC AD A AED BED B AED CBD C AED ABD D BAD BCD 13 7 如图 1 5 4 PQ RS AC RS 6 PQ 9 则 AB 等于 SC 3 1 QC A B C D 5 4 1 5 4 3 6 2 1 7 8 如图 1 5 5 平行四边形 ABCD 中 O1 O2 O3是 BD 的四等 分点 连接 AO1 并延长交 BC 于 E 连接 EO2 并延长交 AD 于 F 则等于 FD AD A 1 B 3 1 C 3 2 D 7 33 9 如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形 那么这个三角形必是 A 等腰三角形 B 任意三角形 C 直角三角形 D 直角三角形或等腰三角形 10 在 ABC 和 A B C 中 AB AC A B A C B B 则这两个 三角形 A 相似 但不全等 B 全等 C 一定相似 D 无法判断是否相似 11 如图 1 6 1 正方形 ABCD 中 E 是 AB 上的任一点 作 EF BD 于 F 则为 BE EF A B C D 2 2 2 1 3 6 2 12 如图 1 6 2 把 ABC 沿边 AB 平移到 A B C 的位置 它们的重叠 部分 图中阴影部分 的面积是 ABC 的面积的一半 若 则此三2AB 角形移动的距离 AA 是 A B C 1 D12 2 2 2 1 13 如图 1 6 3 在四边形 ABCD 中 A 135 B D 90 BC AD 2 则四边形 ABCD 的面积是 32 A B C 4 D 62434 14 如图 1 6 4 平行四边形 ABCD 中 G 是 BC 延长线上一点 AG 与 BD 交于点 E 与 DC 交于点 F 则图中相似三角形共有 A 3 对 B 4 对 C 5 对 D 6 对 14 15 在直角三角形中 斜边上的高为 6cm 且把斜边分成 3 2 两段 则斜边上的中线的长 为 A cm B cm 2 65 64 C cm D cm653 2 5 16 AD 为 Rt ABC 斜边 BC 上的高 作 DE AC 于 E 则 4 5 AC AB EA CE A B C D 25 16 5 4 4 5 16 25 17 如图 1 6 5 ABC 中 AB AC A 36 BD 平分 ABC 已知 AB m BC n 求 CD 的长 甲同学求得 CD m n 乙同学求得 下列 m n CD 2 判断正确的是 A 甲 乙都正确 B 甲正确 乙不正确 C 甲不正确 乙正确 D 甲 乙都不正确 18 如图 1 6 6 在直角梯形 ABCD 中 AB 7 AD 2 BC 3 如果边 AB 上的点 P 使得以 P A D 为顶点的三角形和以 P B C 为顶点的三角 形相似 那么这样的点 P 有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 二 填空题 每小题 4 分 共 16 分 20 如图 1 5 6 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB AC 6 AD 3 6 则 BC 21 等腰三角形底边上的高为 8 周长为 32 则此三角形的面积是 22 在 ABC 中 BD CE 分别为 AC AB 边上的中线 M N 分别是 BD CE 的中点 则 MN BC 23 在 ABC 中 DE BC D E 分别在 AB AC 边上 若 AD 1 DB 2 那么 DE BCDE 24 平行于 ABC 的边 AB 的直线交 CA 于 E 交 CB 于 F 若直线 EF 把 ABC 分成面 积相等的两部分 则 CE CA 25 Rt ABC 中 CD 是斜边 AB 上的高 该图中共有 x 个三角形与 ABC 相似 则 x 15 26 在 ABC 中 点 D 在线段 BC 上 BAC ADC AC 8 BC 16 则 CD 三 计算题 本大题共 86 分 27 如图 1 5 7 ABC 为直角三角形 ABC 90 以 AB 为边向外作正方形 ABDE 连接 EC 交 AB 于 P 点 过 P 作 PQ BC 交 AC 于点 Q 证明 PQ PB 28 如图 1 5 8 已知 DE AB EF BC 求证 DEF ABC 29 在 Rt ABC 中 C 90 CD AB 于 D S2 BCD S ABC S ADC 求证 BD AC 30 如图 1 5 9 在平行四边形 ABCD 中 E 为 AB 的中点 在 AD 上取一点 F 使 16 连接 FE 交 CB 的延长线于 H 交 AC 于 G 求证 2 1 FD AF AC 5 1 AG 34 如图 1 5 10 已知 AD 是 ABC 的中线 过 ABC 的顶点 C 任作一直线分别交 AB AD 于点 F 和点 E 证明 AE FB 2AF ED 32 如图 1 5 11 在 ABC 中 A B C 的对边分别是 a b c 点 P 是 AB 上一个动点 P 与 A B 不重合 连接 PC 过 P 作 PQ AC 交 BC 于 Q 点 33 如图 1 6 7 在 ABC 中 BD 是 AC 边上的中线 BE AB 且 AE 与 BD 交于 F 点 求证 AF EF BC AB 34 如图 1 6 8 APD 90 AP PB BC CD 找出图中两个相似的三角形 并给 出证明 17 35 如图 1 6 9 AD BE 是 ABC 的高 DF AB 于 F DF 交 BE 于 G FD 的延 长线交 AC 的延长线于 H 求证 DF2 FG FH 36 如图 1 6 10 AP 是 ABC 的高 点 D G 分别在 AB AC 上 点 E F 在 BC 上 四边形 DEFG 是矩形 AP h BC a 1 设 DG x S矩形 DEFG y 试用 a h x 表 示 y 2 按题设要求得到的无数个矩形中是否能找到两个不同的矩形 使它们的面积和 等于 ABC 的面积 18 选修选修 4 14 1 第一讲相似三角形的判定及有关性质综合测试第一讲相似三角形的判定及有关性质综合测试 试题答案试题答案 一 选择题 每小题 6 分 共 60 分 1 A2 D3 B 4 A 解析 如图 D 1 24 所示 D E F 分别为 ABC 三边中点 BC 2 1 EFABCAEF 且 2 1 BC EF 9l 2 1 BC EF l l ABC ABC DEF 2 9 l DEF 又4S 4 1 BC EF S S DEF 2 2 ABC DEF 16S ABC 故16S 2 9 l ABCDEF 选 A 5 A 解析 验证法 1 不能判定 ABC 为直角三角形 B DAC 90 而 B DAB 90 BAD DAC 同理 B C 不能判定 BAD DAC 等于 90 2 中 B DAC C 为公共角 ABC DAC DAC 为直角三角形 ABC 为直角三角形 在 3 中 可得 ACD BAD AB AC AD CD BAD C B DAC 19 BAD DAC 90 4 中 AB2 BD BC 即 B 为公共角 BC AB AB BD ABC DBA 即 ABC 为直角三角形 正确命题有 3 个 选 A 6 B 解析 直接法 注意到 A C 60 可设 AD a 则 AC 3a 而 AB AC BC 3a 所以 AE BE a 2 3 所以 3 2 a 2 3 a AE AD 又 3 2 a3 a2 BC CD 所以 A C 60 CB CD AE AD 故 AED CBD 选 B 7 A 8 B 9 D 10 D 11 A 12 C 13 C 解析 由 B D 90 于是设想构造直角三角形 延长 BA 与 CD 它们的延长线交于 E 则得到 Rt BCE 和 Rt ADE 由题目条件知 ADE 为等腰直角三角形 DE AD 2 S ADE 2 2 2 2 1 又可证 Rt EBC Rt EDA 4SSS S3S 3 2 32 AD BC S S ADEEBCABCD EDAEBC 2 2 EDA EBC 四边形 选 C 14 D 解析 由 AB CD 可得 CGF BGA ABE FDE 又由 AD BC 可得 CGF DAF AED GEB 还可得 DAF BGA ABD CDB 故共有 6 对 15 A 16 A 17 A 18 C 解析 直接法 假设有一点 P 连接 PD PC 设 AP x 则 PB 7 x 20 图 D 1 26 1 若 PAD PBC 则 即 BC PB AD PA 3 x7 2 x 得7 5 14 x 符合条件 2 若 PAD CBP 即 06x7x x7 3 2 x 2 解得也符合条件6x 1x 21 故满足条件的点 P 有 3 个 二 填空题 每小题 4 分 16 分 19 5 3 解析 设三边长 a d a a d d 0 则 a d 2 a2 a d 2 a 4d 三边之比为 3 4 5 20 8 21 48 22 1 4 23 4 24 2 2 25 2 解析 ACD ABC CBD ABC 26 4 解析 由 BAC ADC 可知 CD AC AC BC 三 解答题 本大题共 74 分 27 证明 PQ BC BC AE PQ AE CPQ CEA CQP CAE CPQ CEA CE CP EA PQ 同理可得 CE CP ED PB ED PB AE PQ 21 而 AE DE PQ PB 28 证明 DE AB OB OE OA OD AB DE 又 EF BC OC OF OB OE BC EF BC EF AB DE 由 知 而 FOD COA OC OF OA OD FOD COA OA OD AC DF 在 ABC 和 DEF 中 有 AC DF BC EF AB DE ABC DEF 29 证明 如图 D 1 25 ADABBD AD BD BD AB CDAD CDBD CDAD CDAB S S S S 2 ADC BDC BDC ABC 即 由射影定理得 ABADAC2 AC2 BD2 即 AC BD 30 证明 即 2 1 FD AF 3 1 AD AF 3 1 BC AF AE EB AEF HEB FAE EBH AFE BHE AF BH 4 1 CH AF AGF CGH 4 1 CG AG CH AF 22 即 5 1 AC AG AC 5 1 AG 31 证明 过 D 作 DH