线性方程组的矩阵求法

1 线性方程组的矩阵求法 摘要 关键词 第一章 引言 矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要内容 用矩阵 方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的基本 技能 本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法 通过对线性方程 组的系数矩阵 或增广矩阵 进行初等变换得到其解 并列举出几 种用矩阵解线性方程组的简便方法 第二章 用矩阵消元法解线性方程组 第一节 预备知识 定义 1 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的 秩 定理 1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方 程组 定义2 定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件 1 B的任一非零行向量的第一个非零分量 称为的 一个主元 为1 2 B中每一主元是其所在列的唯一非零元 则称矩阵为行最简形矩阵 第二节 2 1 对一个线性方程组施行一个初等变换 相当于对它的增广 矩阵施行一个对应的行初等变换 而化简线性方程组相当于用行 初等变换化简它的增广矩阵 因此 我们将要通过花间矩阵来讨 论化简线性方程组的问题 这样做不但讨论起来比较方便 而且 能给我们一种方法 就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性 方程组 而不必每次都把未知量写出来 下面以一般的线性方程组为例 给出其解法 1 11 112211 21 122222 1 122 nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb 根据方程组可知其系数矩阵为 2 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa aaa 其增广矩阵为 3 111211 212222 12 n n mmmnm aaab aaab aaab 根据 2 及矩阵的初等变换我们可以得到和它同解的线性方 程组 并很容易得到其解 定理 2 设 A 是一个 m 行 n 列矩阵 3 A 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa aaa 通过行初等变换和第一种列初等变换能把 A 化为以下形式 4 进而化为 5 1 0 1 0 0 01 00 00 1 11 2 12 1 1 0 00 0 1 00 0 0 01 00 00 rn rn r rrn cc cc cc 这里 r 0 r m r n 表示矩阵的元素 但不同位置上的 表示 的元素未必相等 即任何矩阵都可以通过初等变换化为阶梯形 并进而化为行最 简形 现在考察方程组 1 的增广矩阵 3 由定理 2 我们可以对 1 的系数矩阵 2 施行一次初等变换 把它化为矩阵 5 对增广矩阵 3 施行同样的初等变换 那么 3 可以化为以下 形式 4 6 1 111 2 122 1 1 1 0 00 0 1 00 0 0 01 00 00 rn rn r rrnr r m ccd ccd ccd d d 与 6 相当的线性方程组是 7 11 21 1 1 111 2 122 1 1 0 0 rn rn rrn irini irini ir rirnir r m xcxc xd xcxc xd xcxc xd d d 这里 是 1 2 n 的一个排列 由于方程组 7 1 i 2 i n i 可以由方程组 1 通过方程组的初等变换以及交换未知量的位 置而得到 所以由定理 1 方程组 7 与方程组 1 同解 因 此 要求方程组 1 只需解方程组 7 但方程组 7 是否 有解以及有怎样的解很容易看出 情形 1 r m 而 不全为零 这时方程组 7 无解 1r d m d 因为它的后 m r 个方程中至少有一个无解 因此方程组 1 也 无解 情形 1 r m 或 r m 而 全为零 这时方程组 1r d m d 5 7 与方程组 8 11 21 1 1 111 2 122 1 rn rn rrn irini irini ir rirnir xcxc xd xcxc xd xcxc xd 同解 当 r n 时 方程组 8 有唯一解 就是 t 1 2 n 这也是 ti x t d 方程组 1 的唯一解 当 r n 时方程组 8 可以改写为 9 11 21 1 11 11 22 12 1 rn rn rrn irini irini irr rirni xdcxc x xdcxc x xdcxc x 于是 给予未知量 以任意一组数值 就得到 1r i x n i x 1r i k n i k 8 的一个解 11 1 11 11 11 1 rn rrn rr nn irini irr rirni ii ii xdckc k xdckc k xk xk 这也是 1 的一个解 由于 可以任选 用这一方法可 1r i k n i k 以得到 1 的无穷多解 另一方面 由于 8 的任一解都必须 满足 9 所以 8 的全部解 亦即 1 的全部解都可以用以 上方法得到 例 1 解线性方程组 6 1234 124 1234 1234 235 243 2328 29521 xxxx xxx xxxx xxxx 解 方程组的增广矩阵是 12315 24013 12328 129521 进行初等行变换可得到矩阵最简形 13 12 22 113 001 26 00000 00000 0 对应的线性方程组是 124 34 13 2 22 113 26 xxx xx 把移到右边作为自由未知量 得原方程组的一般解 124 34 31 2 22 131 62 xxx xx 第三章 用初等变换解线性方程组 定义 2 设 B 为 m n 行最简形矩阵 按以下方法作 s n 矩阵 C 对任一 i 若有 B 的某一主元位于第 i 列 则将其所在行称1is 为 C 的第 i 行 否则以 n 维单位向量作为 C 的 0 0 1 0 0 i e 7 第 i 行 称 C 为 B 的 s n 单位填充矩阵 其中 1is 显然 单位填充矩阵的主对角线上的元素只能是 1 或 1 若主对角线上某一元素为 1 则该元素所在列之列向量称为C的 J一列向量 定义3 设B为行最简形矩阵 若B的单位填充矩阵C的任一 J一 列向量 均为以B为系数矩阵的齐次线性方程组 1 1 11 11221 21 12222 1 122 0 0 0 nn nn mmmnn b xb xb x b xb xb x b xbxb x 的解向量 则陈C与B是匹配的 也说B与C是匹配的 引理1 设B为行最简形矩阵 若将B的第i列与第j列交换位置所 得矩阵仍为行最简形矩阵 则 将的单位填充矩阵的第行与第行交换位置 第列与第列 交换位置所得矩阵为单位填充矩阵 其中 若C与B是匹配的 则与也是匹配 C B 证明 结论 显然成立 下证 因为C与B是匹配的 故C只能是n n矩阵 从而也是n n矩阵 设以B为系数矩阵的方程 C 组为 1 以为系数矩阵的方程组为 1 以为系数矩阵的方程组 B B 为 2 11 11221 21 12222 1 122 0 0 0 nn nn mmmnn b xb xb x b xbxbx bxbxbx 则由B与的关系可知对方程组 1 进行变量代换 B 11 jjnn xyxyxy 8 就得到方程组 2 于是方程组 1 的任一解向量交换i j两 个分量的位置后就是方程组 2 的一个解向量 又从C与的关系 C 可知 的任一 J一列向量 均可由C的某一 J一列向量 交换 C i j两个分量的位置后得到 从而由C与B匹配知与也是匹配的 C B 引理2 任一m n行最简形矩阵与其n n单位填充矩阵C是匹配 的 证明 1设 3 1 11 21 2 12 22 1 2 1 00 0 10 0 01 0 00000 0 00000 rrn rrn r rr rrn n n bbb bbb Bbbb 则以为系数矩阵的齐次线性方程组为 4 11 111 221 22 112 222 11 22 0 0 0 rrrrnn rrrrnn rr rrr rrmnn xbxbxb x xbxbxb x xbxbxb x 而B的单位填充矩阵为 5 1 11 21 2 12 22 1 2 1 00 0 10 0 01 0 00100 0 00001 rrn rrn r rr rrn n n bbb bbb Cbbb 其所有 J 一列向量为 9 11 1 1 21 2 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 rrr r rrr r nnr n bb bb bb 显然它们都是方程组 4 的解 即 B 与 C 是匹配的 2 一般形式的行最简形矩阵B显然总可以通过一系列的第二类 初等列变换 变换两列的位置 化为 3 的形式 从而B的单位填充矩阵 C通过相应的初等行 列变换就变成矩阵 5 由于这种变换是可递的 据引理2及引理1 知B与C是匹配的 定理3 设齐次线性方程组 6 11 11221 21 12222 1 122 0 0 0 nn nn mmmnn a xa xa x a xa xa x a xaxax 的系数矩阵A经一系列初等行变换化为行最简形矩阵B 则B的n n单 位填充矩阵C的所有 J一列向量 构成方程组 6 的一个基础解系 证明 设以B为系数矩阵的齐次线性方程组为 1 则 1 与 6 同解 据引理2知C的所有 J一列向量 都是方程组 1 的解 且是n r个线性 无关的解向量 这里r 秩 B 秩 A 从而构成方程组 1 的一个基 础解系 也是方程组 6 的一个基础解系 定理3 设非齐次线性方程组 7 11 112211 21 122222 1 122 nn nn mmmnnn a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb 有解 其增广矩阵A经一系列初等行变换化为行最简形矩阵B 则 B的n n 1 单位填充矩阵C的所有 J一列向量 构成方程组的导出 10 组的一个基础解系 而C的最后一个列向量为方程组 7 的一个特解 证明 由定理3 前一结论显然 下证C的最后一个列向量为方程 组 7 的一个特解 作齐次线性方程组 8 11 1122111 21 1222221 1 1221 0 0 0 nnn nnn mmmnnmn a xa xa xb x a xa xa xb x a xaxaxb x 则方程组 8 的系数矩阵即为方程组 7 的增广矩阵A 于是B的 n 1 n 1 单位填充矩阵为 0 0 0 1 c c 由定理3知的最后一个列向量是方程组 8 的一个解 从而易知 C C的最后一个列向量即为方程组 7 的一个特解 例2 求线性方程组 9 12345 12345 1345 1345 33 32454 24234 232 xxxxx xxxxx xxxx xxxx 的一般解 解 方程组 9 的增广矩阵为 113113 324514 204234 102112 A 用初等行变换将变为行最简形矩阵 11 102002 011021 000110 000000 B 写出B的56单位填充矩阵 102002 011021 001000 000110 000010 B 于是 方程组的导出组的基础解系为 12 2 1 1 0 0 0 2 0 1 1 而方程的一个特解为 3 2 1 0 0 0 从而方程组 9 的一般解为其中 为任意常数 1 1223 kk 1 k 2 k 第四章 线性方程组通解的一种简便求法 1齐次线性方程组基础解系的一种简便求法 设有齐次线性方程组 1 11 11221 21 12222 1 122 0 0 0 nn nn mmmnn a xa xa x a xa xa x a xaxax 矩阵形式为 其中0 T XA 12 n Xx xx A 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa aaa 求方程组的一个基础解系的方法如下 0 T XA 12 0 r nT n mn n rm D AEP 行初等变换 其中r r A r r 即为一个行满秩矩阵 为n 阶单位 r m D r m D n E 矩阵 P 为n 阶可逆矩阵 则矩阵P 的后 n r 行即为方程组 1 的 一个基础解系 下面证明此结论 证明 对于n m 矩阵 必存在n 阶和m 阶可逆矩阵P Q 使 T A PQ 所以P 因为P为可逆矩 T A 0 00 r E T A 0 00 r E 1 Q 0 r n n rm D 阵 P的行向量组线性无关 所以P的后 n r 行行向量线性无关 而矩 阵P的后 n r 行为 0 P 因为 0 P 0 n r E n r E T A n r E 0 所以X 0 P为方程组一个解 即P 的后 n 0 r n n rm D n r E 0 T XA r 行为方程组 1 的一个基础解系 因为 TT n P AEPAP 也就是对矩阵施行初等行变换 将其转变为 0 r n n rm D P T AP 则P 的后 n r 行即为方程组 1 的一个基础解系 0 r n n rm D P 例3求齐次线性方程组 12345 12345 12345 12345 430 320 23550 35670 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 的一个基础解系 解 13 5 112310000 111101000 133500100 425600010 315700001 T AE 112310000 021211000 021210100 063640010 021230001 112310000 021211000 000010100 000000010 000021001 因为r A 2 所以P的后3 行 即 2 1 1 0 0 1 3 0 1 2 1 0 2 1 0 0 1 为方程组的一个基础解系 3 2 非齐次线性方程组通解的一种简便求法 设有非齐次线性方程组 2 11 112211 21