线性规划应用题

线性规划应用题线性规划应用题 1 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨 B 原料 2 吨 生 产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元 每吨乙 产品可获得利润 3 万元 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨 B 原料不超 过 18 吨 求该企业可获得最大利润 解析 设甲 乙种两种产品各需生产 吨 可使利润最大 故本题即xyz 已知约束条件 求目标函数的最大 0 0 1832 133 y x yx yx yxz35 值 可求出最优解为 故 4 3 y x 271215 max z 2 某公司租赁甲 乙两种设备生产 A B 两类产品 甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件 乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件 已知设备甲每天的租赁 费为 200 元 设备乙每天的租赁费为 300 元 现该公司至少要生产 A 类产品 50 件 B 类产品 140 件 求所需租赁费的最少值 解析 设甲种设备需要生产天 乙种设备需要生产天 该公司所需租赁费为元 则xyz 甲 乙两种设备生产 A B 两类产品的情况为下表所示 200300zxy 产品 设备 A 类产品 件 50 B 类产品 件 140 租赁费 元 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为即 5650 1020140 0 0 xy xy xy 6 10 5 214 0 0 xy xy xy 作出不等式表示的平面区域 当对应的直线过两直线的交点200300zxy 6 10 5 214 xy xy 4 5 时 目标函数取得最低为 2300 元 200300zxy 答案 2300 3 某人上午 7 时 乘摩托艇以匀速 v n mile h 4 v 20 从 A 港出发到距 50 n mile 的 B 港去 然后乘汽车以匀速 w km h 30 w 100 自 B 港向距 300 km 的 C 市驶去 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头应该在同 一天下午 4 至 9 点到达 C 市 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头设乘汽车 摩托艇去所需要的时间分别是 x h y h 1 作图表示满足上述条件的 x y 范围 2 如果已知所需的经费 p 100 3 5 x 2 8 y 元 那么 v w 分别是多少时走得最经济 此时需花费多少元 分析 由 p 100 3 5 x 2 8 y 可知影响花费的是 3x 2y 的取值范围 解 1 依题意得 v w 4 v 20 30 w 100 y 50 x 300 3 x 10 y 2 5 2 25 由于乘汽车 摩托艇所需的时间和 x y 应在 9 至 14 个小时之间 即 9 x y 14 因此 满足 的点 x y 的存在范围是图 中阴影部分 包括边界 2 p 100 3 5 x 2 8 y 3x 2y 131 p 设 131 p k 那么当k 最大时 p 最小 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头在通过图中的阴影部分区域 包括边界 且斜率 为 的直线3x 2y k 中 使k 值最大的直线必通过点 10 4 即当x 10 y 4 时 p 最小 2 3 此时 v 12 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头5 w 30 p 的最小值为 93 元 点评 线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头然后分析要求量 的几何意义 4 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机 由于这两种产品的市场需求量 非常大 有多少就能销售多少 因此该公司要根据实际情况 如资金 劳动力 确定产品 的月供应量 以使得总利润达到最大 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力 通过调查 得到关于这两种产品的有关数据如下表 表中单位 百元 单位产品所需资金 资 金 空调机洗衣机 月资金供应量 成 本3020300 劳动力 工资510110 单位利润68 试问 怎样确定两种货物的月供应量 才能使总利润达到最大 最大利润是多少 解 设空调机 洗衣机的月供应量分别是 x y 台 总利 润是 P 则 P 6x 8y 由题意有 30 x 20y 300 5x 10y 110 x 0 y 0 x y 均为整数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由图知直线 y x P 过 M 4 9 时 纵截距最大 4 3 8 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头这时 P 也取最大值 Pmax 6 4 8 9 96 百元 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 故当月供应量为空调机 4 台 洗衣机 9 台时 可获得最大利润 9600 元 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 39 10 14xO 2 5 9 14 y 5 某矿山车队有 4 辆载重量为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 t 的乙型卡车 有 9 名驾 驶员 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次 乙型卡 车每辆每天可往返 8 次 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头甲型卡车每辆每天的成本费为 252 元 乙型卡车每辆每天的成本费 为 160 元 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头问每天派出甲型车与乙型车各多少辆 车队所花成本费最低 分析 弄清题意 明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数 找出它们的约束条件 列出目标函数 用图解法求其整数最优解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 设每天派出甲型车 x 辆 乙型车 y 辆 车队所花成本费为 z 元 那么 9 10 66 8360 4 7 xy xy xxN yyN z 252x 160y 作出不等式组所表示的平面区域 即可行域 如图 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 作出直线 l0 252x 160y 0 把直线 l 向右上方平移 使其经过可行域上的整点 且使在 y 轴上的截距最小 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头观察图形 可见当直线 252x 160y t 经过点 2 5 时 满足上述要求 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 此时 z 252x 160y 取得最小值 即 x 2 y 5 时 zmin 252 2 160 5 1304 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 答 每天派出甲型车 2 辆 乙型车 5 辆 车队所用成本费最低 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解题回顾 用图解法解线性规划题时 求整数最优解是个难点 对作图精度要求较高 平行直线系 f x y t 的斜率要画准 可行域内的整点要找准 最好使用 网点法 先作 出可行域中的各整点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 6 某校伙食长期以面粉和大米为主食 面食每 100 g 含蛋白质 6 个单位 含淀粉 4 个单位 售价 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头5 元 米食每 100 g 含蛋白质 3 个单位 含淀粉 7 个单位 售价 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头4 元 学校要求给 学生配制盒饭 每盒盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉 问应如何配制盒饭 才既科学又费用最少 解 设每盒盒饭需要面食 x 百克 米食 y 百克 所需费用为 S 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头5x 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头4y 且 x y 满足 6x 3y 8 4x 7y 10 x 0 y 0 由图可知 直线 y x S 过 A 时 纵截距S 最小 即 S 最小 4 5 2 5 15 13 15 14 2 5 故每盒盒饭为面食百克 米食百克时既科学又费用最少 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 15 13 15 14 7 配制 A B 两种药剂 需要甲 乙两种原料 已知配一剂 A 种药需甲料 3 mg 乙料 5 mg 配一剂 B 种药需甲料 5 mg 乙料 4 mg 今有甲料 20 mg 乙料 25 mg 若 A B 两种药 至少各配一剂 问共有多少种配制方法 解 设 A B 两种药分别配 x y 剂 x y N 则 x 1 y 1 3x 5y 20 5x 4y 25 上述不等式组的解集是以直线 x 1 y 1 3x 5y 20 及 5x 4y 25 为边界所围成的区域 这个区域内的整点为 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 3 1 3 2 4 1 所以 在至少各配一剂的情况下 共有 8 种不同的配制方法 8 要将两种大小不同的钢板截成 A B C 三种规格 每张钢板可同时截得三种规格的小 钢板的块数如下表 7 4 o y 5x 4y 30 x y 9 x 每张钢板的面积为 第一种 1m2 第二种 2 m2 今需要 A B C 三种规格的成品各 12 15 27 块 问各截这两种钢板多少张 可得所需 的三种规格成品 且使所用钢板面积最小 解 设需截第一种