初一数学上册总复习讲义

1 初一总复习初一总复习 一 有理数一 有理数 1 代数式 用运算符号 连接数及字母的式子称为代数式 单 独一个数或一个字母也是代数式 2 几个重要的代数式 m n 表示整数 1 a 与 b 的平方差是 a2 b2 a 与 b 差的平方是 a b 2 2 若 a b c 是正整数 则两位整数是 10a b 则三位整数是 100a 10b c 3 若 m n 是整数 则被 5 除商 m 余 n 的数是 5m n 偶数是 2n 奇数是 2n 1 三个连续整数是 n 1 n n 1 一 有理数一 有理数 1 有理数 1 凡能写成形式的数 都是有理数 正整数 0 负整数统 0pq p p q 为整数且 称整数 正分数 负分数统称分数 整数和分数统称有理数 注意 0 即不 是正数 也不是负数 a 不一定是负数 a 也不一定是正数 不是有理 数 2 2 有理数的分类 负分数 负整数 负有理数 零 正分数 正整数 正有理数 有理数 负分数 正分数 分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 3 注意 有理数中 1 0 1 是三个特殊的数 它们有自己的特性 这三 个数把数轴上的数分成四个区域 这四个区域的数也有自己的特性 4 自然数 0 和正整数 a 0 a 是正数 a 0 a 是负数 a 0 a 是正数或 0 a 是非负数 a 0 a 是负数或 0 a 是非正数 2 2 数轴 数轴 数轴是规定了原点 正方向 单位长度的一条直线 3 3 相反数 相反数 1 只有符号不同的两个数 我们说其中一个是另一个的相反数 0 的相反 数还是 0 2 注意 a b c 的相反数是 a b c a b 的相反数是 b a a b 的相反数 是 a b 3 相反数的和为 0 a b 0 a b 互为相反数 4 4 绝对值 绝对值 1 正数的绝对值是其本身 0 的绝对值是 0 负数的绝对值是它的相反数 注意 绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离 3 2 绝对值可表示为 或 绝对值的问题经常分类 0a a 0a 0 0a a a 0a a 0a a a 讨论 3 0a1 a a 0a1 a a 4 a 是重要的非负数 即 a 0 注意 a b a b b a b a 5 5 有理数比大小 有理数比大小 1 正数的绝对值越大 这个数越大 2 正数永远 比 0 大 负数永远比 0 小 3 正数大于一切负数 4 两个负数 比大小 绝对值大的反而小 5 数轴上的两个数 右边的数总比左 边的数大 6 大数 小数 0 小数 大数 0 6 6 互为倒数互为倒数 乘积为 1 的两个数互为倒数 注意 0 没有倒数 若 a 0 那么 的倒数是 倒数是本身的数是 1 若 ab 1 a b 互为倒数 若a a 1 ab 1 a b 互为负倒数 7 7 有理数加法法则 有理数加法法则 1 同号两数相加 取相同的符号 并把绝对值相加 2 异号两数相加 取绝对值较大的符号 并用较大的绝对值减去较小的 绝对值 3 一个数与 0 相加 仍得这个数 8 8 有理数加法的运算律 有理数加法的运算律 1 加法的交换律 a b b a 2 加法的结合律 a b 4 c a b c 9 9 有理数减法法则 有理数减法法则 减去一个数 等于加上这个数的相反数 即 a b a b 1010 有理数乘法法则 有理数乘法法则 1 两数相乘 同号为正 异号为负 并把绝对值相乘 2 任何数同零相乘都得零 3 几个数相乘 有一个因式为零 积为零 各个因式都不为零 积的符 号由负因式的个数决定 1111 有理数乘法的运算律 有理数乘法的运算律 1 交换律 ab ba 2 结合律 ab c a bc 3 分配律 a b c ab ac 1212 有理数除法法则 有理数除法法则 除以一个数等于乘以这个数的倒数 注意 零不能注意 零不能 做除数 做除数 无意义即 0 a 1313 有理数乘方的法则 有理数乘方的法则 1 正数的任何次幂都是正数 2 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 注意 当 n 为正奇数时 a n an或 a b n b a n 当 n 为正偶数时 a n an 或 a b n b a n 5 1414 乘方的定义 乘方的定义 1 求相同因式积的运算 叫做乘方 2 乘方中 相同的因式叫做底数 相同因式的个数叫做指数 乘方的结 果叫做幂 3 a2是重要的非负数 即 a2 0 若 a2 b 0 a 0 b 0 1515 科学记数法 科学记数法 把一个大于 10 的数记成 a 10n的形式 其中 a 是整数数 位只有一位的数 这种记数法叫科学记数法 16 16 近似数的精确位近似数的精确位 一个近似数 四舍五入到那一位 就说这个近似数的 精确到那一位 17 17 有效数字 有效数字 从左边第一个不为零的数字起 到精确的位数止 所有数字 都叫这个近似数的有效数字 18 18 混合运算法则 混合运算法则 先乘方 后乘除 最后加减 注意 怎样算简单 怎样 算准确 是数学计算的最重要的原则 19 19 特殊值法 特殊值法 用符合题目要求的数代入 并验证题设成立而进行猜想的方 法 但不能用于证明 典型例题解析 1 1 若的值等于多少 0 abab ab abab 则 2 如果是大于 1 的有理数 那么一定小于它的 mm 6 A 相反数 B 倒数 C 绝对值 D 平方 3 已知两数 互为相反数 互为倒数 的绝对值是 2 求abcdx 220062007 xabcd xabcd 的 值 4 如果在数轴上表示 两上实数点的位置 如下图所示 那么ab 化简的结果等于 abab A B C 0 D 2a2a 2b 5 已知 求的值是 2 3 2 0ab b a A 2 B 3 C 9 D 6 6 有 3 个有理数 a b c 两两不等 那么中有几个负数 ab bc ca bc ca ab 7 设三个互不相等的有理数 既可表示为 1 的形式式 又可表 ab a 示为 0 的形式 求 b a b 20062007 ab 8 三个有理数的积为负数 和为正数 且 a b c 则的值是多少 abcabbcac X abcabbcac 32 1axbxcx 9 9 若为整数 且 试求的值 a b c 20072007 1abca caabbc 典型例题解析 2 1 1 若 化简20a 2 2 aa 7 2 若 化简0 x 2 3 xx xx 2 设 且 试化简0a a x a 1 2 xx 3 是有理数 下列各式对吗 若不对 应附加什么条件 ab 1 2 abab aba b 3 4 若则 abba ab ab 5 若 则 6 若 则 ab ab ab ab 3 若 求 的取值范围 5 2 7xx x 4 不相等的有理数在数轴上的对应点分别为 A B C 如果 a b c 那么 B 点在 A C 的什么位置 abbcac 5 设 求的最小值 abcd xaxbxcxd 6 是一个五位数 求的最大值 abcdeabcde abbccdde 7 设都是有理数 令 1232006 a a aa 1232005 Maaaa 8 9 试比较 M N 的 2342006 aaaa 1232006 Naaaa 2342005 aaaa 大小 10 如果 求代数式的值 2 1 2 0ab 22006 2005 2 baab abab 11 若 互为相反数 互为倒数 的绝对值为 2 求abcdm 的值 222 1 1 2 abmm cd 备用练习题 3 1 已知 比较 M N 的大小 1ab 11 11 M ab 11 ab N ab 2 已知 求的值 2 10 xx 3 21xx 3 已知 求 K 的值 xyz K yzxzxy 4 比较的大小 554433 3 4 5abc a b c 9 5 已知 求的值 2 2350aa 432 412910aaa 综合练习 一 1 若 求的值 5 xy xy 55 2233 xyxy xyxy 2 已知与互为相反数 求 9 xy 2 23 xy x y 3 已知 求 的范围 2 20 xx x 4 判断代数式的正负 xx x 5 若 求的值 1 abcd abcd abcd abcd 10 6 若 求 2 2 1 0abb 111 1 1 2 2 ababab 1 2007 2007 ab 7 已知 化简23x 2 3 xx 8 已知互为相反数 互为倒数 的绝对值等于 2 P 是数轴上的表 a b c dm 示原点的数 求的值 10002 ab Pcdm abcd 9 问 中应填入什么数时 才能使 20062006 2006 A 10 在数轴上的位置如图所示 a b c 化简 1 1 23 abbaccb 11 若 求使成立的 的取值范围 0 0ab xaxbab x 12 计算 24816 32 2 1 21 21 21 21 21 11 13 已知 求 2004 20042004 2003 20032003 a 2005 20052005 2004 20042004 b 2006 20062006 2005 20052005 c abc 14 已知 求 的大小关系 99 9990 9911 99 Pq Pq 15 有理数均不为 0 且 设 求代数式 a b c0abc abc x bccaab 的值 19 992008xx 12 整式的加减整式的加减 代数式 单项式 系数次数 多项式 整式 项 合并同类项同类项 去括号 添括号法则 列代数式 整式加减法 丰富的问题情景 1 1 单项式 单项式 在代数式中 若只含有乘法 包括乘方 运算 或虽含有除法 运算 但除式中不含字母的一类代数式叫单项式 2 2 单项式的系数与次数 单项式的系数与次数 单项式中不为零的数字因数 叫单项式的数字系 数 简称单项式的系数 系数不为零时 单项式中所有字母指数的和 叫单项式的次数 3 3 多项式 多项式 几个单项式的和叫多项式 4 4 多项式的项数与次数 多项式的项数与次数 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数 每个单项式叫多项式的项 多项式里 次数最高项的次数叫多项式的次 数 注意 若 a b c p q 是常数 ax2 bx c 和 x2 px q 是常见的 13 两个二次三项式 5 5 整式 整式 凡不含有除法运算 或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数 式叫整式 整式分类为 多项式 单项式 整式 6 6 同类项 同类项 所含字母相同 并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项 7 7 合并同类项法则 合并同类项法则 系数相加 字母与字母的指数不变 8 8 去 添 括号法则 去 添 括号法则 去 添 括号时 若括号前边是 号 括号里 的各项都不变号 若括号前边是 号 括号里的各项都要变号 9 9 整式的加减 整式的加减 整式的加减 实际上是在去括号的基础上 把多项式的同 类项合并 10 10 多项式的升幂和降幂排列多项式的升幂和降幂排列 把一个多项式的各项按某个字母的指数从 小到大 或从大到小 排列起来 叫做按这个字母的升幂排列 或降幂排列 注意 多项式计算的最后结果一般应该进行升幂 或降幂 排列 典型例题典型例题 1 1 1 化简求值 222 5232 4 abca babcaba b 其中满足 a b c 2 120abc 14 2 代数式的值与字母 的取值无关 求的 22 111 2 21 352 xaxyxybx x25ab 值 3 已知 求代数式的值 3322 27 6aba bab 332232 3 2 baa babba b 4 当时 代数式的值为 18 求代数式的值1x 3 238axbx 962ba 5 已知时 代数式 求当时 代数式2 4xy 3 1 51997 2 axby 1 4 2 xy 的值 3 3244986axby 6 已知 求的值 01 2 aa20072 23 aa 15 7 已知 求代数式的值 2 5 ab ab 2 2 3 2 abab abab 8 当达到最大值时 求的值 2 50 23 ab 22 149ab 典型例题典型例题 2 2 16 17 18 三 三 一元一次方程一元一次方程 1 1 等式的性质 等式的性质 等式性质 1 等式两边都加上 或减去 同一个数或同一个整式 所得 结果仍是等式 等式性质 2 等式两边都乘以 或除以 同一个不为零的数 所得结果 仍是等式 2 2 方程 方程 含未知数的等式 叫方程 3 3 方程的解 方程的解 使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解 注意 方 程的解就能代入 4 4 一元一次方程 一元一次方程 只含有一个未知数 且未知数的次数是 1 并且含未知 数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程 7 一元一次方程的标准形式 ax b 0 x 是未知数 a b 是已知数 且 a 0 8 一元一次方程的最简形式 ax b x 是未知数 a b 是已知数 且 a 0 9 一元一次方程一般步骤 整理方程 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为 1 检验方程的解 19 10 列方程解应用题的常用公式 1 周长 面积 体积问题 C 圆 2 R S圆 R2 C长方形 2 a b S长方形 ab C 正方形 4a S 正方形 a2 S环形 R2 r2 V长方体 abc V正方体 a3 V圆柱 R2h V 圆锥 R2h 3 1 2 柱体的体积等于底面积乘以高 当体积不变时 底面越大 高度 就越低 所以等积变化的相等关系一般为 变形前的体积 变形后的体积 3 打折销售这类题型的等量关系是 利润 售价 成本 4 行程问题中关建的等量关系 路程 速度 时间 以及由此导出的 其化关系 5 在一些复杂问题中 可以借助表格分析复杂问题中的数量关系 找出若干个较直接的等量关系 借此列出方程 列表可帮助我们分析各量 之间的相互关系 6 在行程问题中 可将题目中的数字语言用 线段图 表达出来 分析问题中的数量关系 从而找出等量关系 列出方程 7 关于储蓄中的一些概念 本金 顾客存入银行的钱 利息 银行给顾客的酬金 本息 本金与 20 利息的和 期数 存入的时间 利率 每个期数内利息与本金的比 利息 本金 利率 期数 本息 本金 利息 典型例题解析 1 1 解下列方程 1 2 2121 1 36 xx 3 2 122 2 3 4 x x 3 0 30 21 55 0 7 0 20 5 xx 2 能否从 得到 为什么 反之 能否从得到 2 3axb 3 2 b x a 3 2 b x a 为什么 2 3axb 3 若关于 的方程 无论 K 为何值时 它的解总是 求x 2 2 36 kxmxnk 1x 的值 mn 4 若 求的值 554 5410 31 xa xa xa xa 543210 aaaaaa 5 已知是方程的解 求代数式的值 1x 11 3 22 mxx 22007 79 mm 21 6 关于 的方程的解是正整数 求整数 K 的值 x 21 6kx 7 若方程与方程同解 求的值 73 246 5 x xx 3551 22 46 xx mx m 8 关于 的一元一次方程求代数式的值 x 22 1 1 80mxmx 200 2 mx xmm 9 解方程2006 1 22 33 42006 2007 xxxx 10 已知方程的解为 求方程的解 2 1 3 1 xx 2a 2 2 3 3 3xxaa 1111 当 满足什么条件时 关于 的方程 有一解 有无ax 2 5 xxa 数解 无解 典型例题解析 2 1 要配制浓度为 20 的硫酸溶液 100 千克 今有 98 的浓硫酸和 10 的 硫酸 问这两种硫酸分别应各取多少千克 22 2 一项工程由师傅来做需 8 天完成 由徒弟做需 16 天完成 现由师徒同 时做了 4 天 后因师傅有事离开 余下的全由徒弟来做 问徒弟做这项工 程共花了几天 3 某市场鸡蛋买卖按个数计价 一商贩以每个 0 24 元购进一批鸡蛋 但在 贩运途中不慎碰坏了 12 个 剩下的蛋以每个 0 28 元售出 结果仍获利 11 2 元 问该商贩当初买进多少个鸡蛋 4 某商店将彩电按原价提高 40 然后在广告上写 大酬宾 八折优惠 结果每台彩电仍可获利 270 元 那么每台彩电原价是多少 5 一个三位数 十位上的数比个位上的数大 4 个位上的数比百位上的数 小 2 若将此三位数的个位与百位对调 所得的新数与原数之比为 7 4 求 原来的三位数 6 初一年级三个班 完成甲 乙两项任务 一 班有 45 人 二 班有 50 人 三 班有 43 人 现因任务的需要 需将 三 班人数分配至 一 二 两个班 且使得分配后 二 班的总人数是 一 班的总人数的 2 倍少 36 人 问 应将 三 班各分配多少名学生到 一 二 两班 7 一个容器内盛满酒精溶液 第一次倒出它的 后 用水加满 第二次倒 1 3 出它的 后用水加满 这时容器中的酒精浓度为 25 求原来酒精溶液的 1 2 浓度 23 8 某中学组织初一同学春游 如果租用 45 座的客车 则有 15 个人没有座 位 如果租用同数量的 60 座的客车 则除多出一辆外 其余车恰好坐满 已知租用 45 座的客车日租金为每辆车 250 元 60 座的客车日租金为每辆 300 元 问租用哪种客车更合算 租几辆车 9 1994 年底 张先生的年龄是其祖母的一半 他们出生的年之和是 3838 问到 2006 年底张先生多大 10 有一满池水 池底有泉总能均匀地向外涌流 已知用 24 部 A 型抽水机 6 天可抽干池水 若用 21 部 A 型抽水机 13 天也可抽干池水 设每部抽水 机单位时间的抽水量相同 要使这一池水永抽不干 则至多只能用多少部 A 型抽水机抽水 11 狗跑 5 步的时间 马能跑 6 步 马跑 4 步的距离 狗要跑 7 步 现在 狗已跑出 55 米 马开始追它 问狗再跑多远马可以追到它 12 一名落水小孩抱着木头在河中漂流 在 A 处遇到逆水而上的快艇和轮 船 因雾大而未被发现 1 小时快艇和轮船获悉此事 随即掉头追救 求快 艇和轮船从获悉到追及小孩各需多少时间 24 四 图形初步认识总复习四 图形初步认识总复习 一 多姿多彩的图形 一 多姿多彩的图形 立体图形 棱柱 棱锥 圆柱 圆锥 球 台体等 1 几何图形 平面图形 三角形 四边形 圆等 主 正 视图 从正面看 2 几何体的三视图 侧 左 右 视图 从左 右 边看 俯视图 从上面看 1 会判断简单物体 直棱柱 圆柱 圆锥 球 的三视图 2 能根据三视图描述基本几何体或实物原型 3 立体图形的平面展开图 1 同一个立体图形按不同的方式展开 得到的平现图形不一样的 2 了解直棱柱 圆柱 圆锥的平面展开图 能根据展开图判断和制作 立体模型 4 点 线 面 体 1 几何图形的组成 点 线和线相交的地方是点 它是几何图形最基本的图形 25 线 面和面相交的地方是线 分为直线和曲线 面 包围着体的是面 分为平面和曲面 体 几何体也简称体 2 点动成线 线动成面 面动成体 二 直线 射线 线段 二 直线 射线 线段 1 基本概念 图形直线射线线段 端点个数无一个两个 表示法 直线 a 直线 AB BA 射线 AB 线段 a 线段 AB BA 作法叙述 作直线 AB 作直线 a 作射线 AB 作线段 a 作线段 AB 连接 AB 延长叙述不能延长反向延长射线 AB 延长线段 AB 反向延长线段 BA 2 直线的性质 经过两点有一条直线 并且只有一条直线 26 简单地 两点确定一条直线 3 画一条线段等于已知线段 1 度量法 2 用尺规作图法 4 线段的大小比较方法 1 度量法 2 叠合法 5 线段的中点 二等分点 三等分点 四等分点等 定义 把一条线段平均分成两条相等线段的点 图形 A M B 符号 若点 M 是线段 AB 的中点 则 AM BM AB AB 2AM 2BM 6 线段的性质 两点的所有连线中 线段最短 简单地 两点之间 线段最短 7 两点的距离 连接两点的线段长度叫做两点的距离 8 点与直线的位置关系 27 1 点在直线上 2 点在直线外 三 角 三 角 1 角 由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角 2 角的表示法 四种 3 角的度量单位及换算 4 角的分类 锐角直角钝角平角周角 范 围 0 90 90 90 180 180 3 60 5 角的比较方法 1 度量法 2 叠合法 6 角的和 差 倍 分及其近似值 7 画一个角等于已知角 1 借助三角尺能画出 15 的倍数的角 在 0 180 之间共能画出 11 个角 28 2 借助量角器能画出给定度数的角 3 用尺规作图法 8 角的平线线 定义 从一个角的顶点出发 把这个角分成相等的两个角的射线叫做 角的平分线 图形 符号 9 互余 互补 1 若 1 2 90 则 1 与 2 互为余角 其中 1 是 2 的余角 2 是 1 的余角 2 若 1 2 180 则 1 与 2 互为补角 其中 1 是 2 的补角 2 是 1 的补角 3 余 补 角的性质 等角的补 余 角相等 10