弹簧类问题的几种模型及其处理方法

弹簧类问题的几种模型及其处理方法 学生对弹簧类问题感到头疼的主要原因有以下几个方面 首先 由于弹簧不断发生形变 导致物体的 受力随之不断变化 加速度不断变化 从而使物体的运动状态和运动过程较复杂 其次 这些复杂的运动 过程中间所包含的隐含条件很难挖掘 还有 学生们很难找到这些复杂的物理过程所对应的物理模型以及 处理方法 根据近几年高考的命题特点和知识的考查 笔者就弹簧类问题分为以下几种类型进行分析 供 读者参考 一 弹簧类命题突破要点一 弹簧类命题突破要点 1 弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力 当题目中出现弹簧时 首先要注意弹力的大小 与方向时刻要与当时的形变相对应 在题目中一般应从弹簧的形变分析入手 先确定弹簧原长位置 现长 位置 平衡位置等 找出形变量 x 与物体空间位置变化的几何关系 分析形变所对应的弹力大小 方向 结合物体受其他力的情况来分析物体运动状态 2 因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间 在瞬间内形变量可以认为不变 因此 在分析瞬 时变化时 可以认为弹力大小不变 即弹簧的弹力不突变 3 在求弹簧的弹力做功时 因该变力为线性变化 可以先求平均力 再用功的定义进行计算 也可据动 能定理和功能关系 能量转化和守恒定律求解 同时要注意弹力做功的特点 弹力做功等于弹性势能增量 的负值 弹性势能的公式 高考不作定量要求 可作定性讨论 因此在求弹力的功或弹性 势能的改变时 一般以能量的转化与守恒的角度来求解 二 弹簧类问题的几种模型二 弹簧类问题的几种模型 1 1 平衡类问题 平衡类问题 例例 1 1 如图 1 所示 劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1 m2的物块拴接 劲度系数为k2 的轻质弹簧上端与物块m2拴接 下端压在桌面上 不拴接 整个系统处于平衡状态 现施力将m1缓慢 竖直上提 直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面 在此过程中 m2的重力势能增加了 m1的重力势 能增加了 分析 分析 上提m1之前 两物块处于静止的平衡状态 所以有 其中 分别是弹簧 k1 k2的压缩量 当用力缓慢上提m1 使 k2下端刚脱离桌面时 弹簧 k2最终恢复原长 其中 为 此时弹簧 k1的伸长量 答案 答案 m2上升的高度为 增加的重力势能为 m1上升的高度为 增加的重力势能为 点评 点评 此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题 题中空间距离的变化 要通过弹簧形变量的 计算求出 注意缓慢上提 说明整个系统处于动态平衡过程 例例 2 2 如上图 2 所示 A 物体重 2N B 物体重 4N 中间用弹簧连接 弹力大小为 2N 此时吊 A 物体 的绳的拉力为 T B 对地的压力为 F 则 T F 的数值可能是 A 7N 0 B 4N 2N C 1N 6N D 0 6N 分析 分析 对于轻质弹簧来说 既可处于拉伸状态 也可处于压缩状态 所以 此问题要分两种情况进 行分析 1 若弹簧处于压缩状态 则通过对 A B 受力分析可得 2 若弹簧处于拉伸状态 则通过对 A B 受力分析可得 答案 答案 B D 点评 点评 此题主要针对弹簧既可以压缩又可以拉伸的这一特点 考查学生对问题进行全面分析的能力 有时 表面上两种情况都有可能 但必须经过判断 若某一种情况物体受力情况和物体所处状态不符 必 须排除 所以 对这类问题必须经过受力分析结合物体运动状态之后作出判断 平衡类问题总结 平衡类问题总结 这类问题一般把受力分析 胡克定律 弹簧形变的特点综合起来 考查学生对弹 簧模型基本知识的掌握情况 只要学生静力学基础知识扎实 学习习惯较好 这类问题一般都会迎刃而解 此类问题相对较简单 2 2 突变类问题 突变类问题 例例 3 3 20012001 年上海 年上海 如图 3 所示 一质量为m的小球系于长度分别为l1 l2的两根细线上 l1的 一端悬挂在天花板上 与竖直方向夹角为 l2水平拉直 小球处于平衡状态 现将l2线剪断 求剪断 瞬时小球的加速度 若将图 3 中的细线l1改为长度相同 质量不计的轻弹簧 如图 4 所示 其他条件不 变 求剪断细线l2瞬时小球的加速度 分析 分析 1 当剪断细线l2瞬间 不仅l2对小球拉力瞬间消失 l1的拉力也同时消失 此时 小球 只受重力作用 所以此时小球的加速度为重力加速度 g 2 当把细线l1改为长度相同 质量不计的轻弹簧时 在当剪断细线l2瞬间 只有l2对小球拉力 瞬间消失 弹簧对小球的弹力和剪断l2之前没变化 因为弹簧恢复形变需要一个过程 如图 5 所示 剪 断l2瞬间 小球受重力 G 和弹簧弹力 所以有 方向水平向右 点评 点评 此题属于细线和弹簧弹力变化特点的静力学问题 学生不仅要对细线和弹簧弹力变化特点熟 悉 还要对受力分析 力的平衡等相关知识熟练应用 此类问题才能得以解决 突变类问题总结 突变类问题总结 不可伸长的细线的弹力变化时间可以忽略不计 因此可以称为 突变弹力 轻 质弹簧的弹力变化需要一定时间 弹力逐渐减小 称为 渐变弹力 所以 对于细线 弹簧类问题 当 外界情况发生变化时 如撤力 变力 剪断 要重新对物体的受力和运动情况进行分析 细线上的弹力 可以突变 轻弹簧弹力不能突变 这是处理此类问题的关键 3 3 碰撞型弹簧问题 碰撞型弹簧问题 此类弹簧问题属于弹簧类问题中相对比较简单的一类 而其主要特点是与碰撞问题类似 但是 它与碰撞 类问题的一个明显差别就是它的作用过程相对较长 而碰撞类问题的作用时间极短 例例 4 4 如图 6 所示 物体 B 静止在光滑的水平面上 B 的左边固定有轻质的弹簧 与 B 质量相等的物 体 A 以速度 v 向 B 运动并与弹簧发生碰撞 A B 始终沿统一直线 则 A B 组成的系统动能损失最大的时 刻是 A A 开始运动时 B A 的速度等于 v 时 C B 的速度等于零时 D A 和 B 的速度相等时 分析 分析 解决这样的问题 最好的方法就是能够将两个物体作用的过程细化 明确两个物体在相互作 用的过程中 其详细的运动特点 具体分析如下 1 1 弹簧的压缩过程 弹簧的压缩过程 A 物体向 B 运动 使得弹簧处于压缩状态 压缩的弹簧分别对 A B 物体产生 如右中图的作用力 使 A 向右减速运动 使 B 向右加速运动 由于在开始的时候 A 的速度比 B 的大 故 两者之间的距离在减小 弹簧不断压缩 弹簧产生的弹力越来越大 直到某个瞬间两个物体的速度相等 弹簧压缩到最短 2 2 弹簧压缩形变恢复过程 弹簧压缩形变恢复过程 过了两物体速度相等这个瞬间 由于弹簧仍然处于压缩状态 A 继续 减速 B 继续加速 这就会使得 B 的速度变的比 A 的速度大 于是 A B 物体之间的距离开始变大 弹簧 逐渐恢复形变直至原长 3 3 弹簧的拉伸过程 弹簧的拉伸过程 由于 B 的速度比 A 的速度大 弹簧由原长变为拉伸状态 此时 弹簧对两物 体的弹力方向向内 使 A 向右加速运动 B 向右减速运动 直到 A B 速度相等时弹簧拉伸到最长状态 4 弹簧拉伸形变恢复过程 弹簧拉伸形变恢复过程 过了两物体速度相等这个瞬间 由于弹簧仍然处于拉伸状态 A 继续 加速 B 继续减速 这就会使得 A 的速度变的比 B 的速度大 于是 A B 物体之间的距离开始变小 弹簧 逐渐恢复形变直至原长 就这样 弹簧不断地压缩 拉伸 恢复形变 当外界用力压弹簧时 弹簧会被压缩 从而获得弹性势能 当弹簧开始恢复形变之后 它又会将所蓄积的弹性势能释放出去 这个蓄积和释放的过程 弹簧自身并不 会耗费能量 能量在两个物体和弹簧之间进行传递 点评 点评 在由两个物体和弹簧组成的系统的运动中 具有下面的特点 1 两个物体速度相等时 弹簧处于形变量 压缩或拉伸 最大的状态 弹簧的弹性势能达到最大 2 两个物体不停地进行着加速和减速运动 但加速度时刻在变化 所以有关两个物体运动的问题 不能采用运动学公式来解决 但此模型属于弹性碰撞模型 所以满足包括弹簧在内的系统动量守恒和系统 机械能守恒 4 4 机械能守恒型弹簧问题 机械能守恒型弹簧问题 对于弹性势能 高中阶段并不需要定量计算 但是需要定性的了解 即知道弹性势能的大小与弹簧的形变 之间存在直接的关系 对于相同的弹簧 形变量一样的时候 弹性势能就是一样的 不管是压缩状态还是 拉伸状态 例例 5 5 一劲度系数 k 800N m 的轻质弹簧两端分别连接着质量均为 m 12kg 的物体 A B 它们竖直静 止在水平面上 如图 7 所示 现将一竖直向上的变力 F 作用在 A 上 使 A 开始向上做匀加速运动 经 0 40s 物体 B 刚要离开地面 求 此过程中所加外力 F 的最大值和最小值 此过程中力 F 所做的功 设整个过程弹簧都在弹性限度内 取 g 10m s2 分析 分析 此题考查学生对 A 物体上升过程中详细运动过程的理解 在力 F 刚刚作用在 A 上时 A 物体受 到重力 mg 弹簧向上的弹力 T 竖直向上的拉力 F 随着弹簧压缩量逐渐减小 弹簧对 A 的向上的弹力逐 渐减小 则 F 必须变大 以满足 F T mg ma 当弹簧恢复原长时 弹簧弹力消失 只有 F mg ma 随着 A 物体继续向上运动 弹簧开始处于拉伸状态 则物体 A 的受到重力 mg 弹簧向下的弹力 T 竖直向上的拉 力 F 满足 F T mg ma 随着弹簧弹力的增大 拉力 F 也逐渐增大 以保持加速度不变 等到弹簧拉伸到 足够长 使得 B 物体恰好离开地面时 弹簧弹力大小等于 B 物体的重力 答案 答案 1 开始时 对于 A 物体 得弹簧压缩量是 x 0 15m B 刚要离开地面时 对于 B 物体仍有 得弹簧伸长量 x 0 15m 因此 A 向上运动的位移是 0 3m 由公式 求得 加速度是 3 75m s2 所以 开始时刻 F ma 45N 为拉力最小值 B 刚要离开地面时 F mg k x ma 得 F 285N 为拉力最 大值 2 拉力做的功等于系统增加的机械能 始末状态弹性势能相同 所以由和 可得此过程中拉力做的功等于 49 5J 点评 点评 此类题的关键是要分析出最大值和最小值时刻的特点 必须通过受力分析得出物体运动的详 细过程特征 只要把物体做每一种运动形式的力学原因搞清楚了 这类问题就会迎刃而解 所以 学生在 平时的训练中 必须养成良好的思维习惯 对于较复杂的物理过程 必须先分段研究 化一个复杂问题为 若干个简单模型 针对若干个简单的物理情景 逐一分析出现这一物理情景的力学原因 当把每一个物理 情景都分析清楚了 整个问题的答案就会水到渠成 例例 6 6 如图 8 所示 物体 B 和物体 C 用劲度系数为 k 的弹簧连接并竖直地静置在水平面上 将一个物 体 A 从物体 B 的正上方距离 B 的高度为 H0处由静止释放 下落后与物体 B 碰撞 碰撞后 A 和 B 粘合在一 起并立刻向下运动 在以后的运动中 A B 不再分离 已知物体 A B C 的质量均为 M 重力加速度为 g 忽略物体自身的高度及空气阻力 求 1 A 与 B 碰撞后瞬间的速度大小 2 A 和 B 一起运动达到最大速度时 物体 C 对水平地面压力为多大 3 开始时 物体 A 从距 B 多大的高度自由落下时 在以后的运动中才能使物体 C 恰好离开地面 分析 分析 过程分析法 第一阶段 A 自由落体 第二阶段 A B 发生碰撞 作用时间极短 时间忽略 第三阶段 AB 成为一体的瞬间 弹簧形变来不及发生改变 弹簧的弹力仍为 mg 小于 AB 整体重力 2mg 所以物体 AB 所受合力仍然为向下 物体仍然向下加速 做加速度减小的加速运动 当弹簧的弹力增 大到正好为 2mg 时 物体 AB 合力为 0 物体继续向下运动 第四阶段 弹簧继续被压缩 压缩量继续增加 产生的弹力继续增加 大于 2mg 使得物体 AB 所受 合力变为向上 物体开始向下减速 直至弹簧压缩到最短 AB 物体停止运动 所以 当物体 AB 所受合力 为 0 时就是该物体速度最大的时候 答案 答案 1 A 自由下落由机械能守恒得 求得 A 与 B 碰撞 由于碰撞时间极短 由 A B 组成的系统动量守恒得 所以求得 A 与 B 碰撞后瞬间的速度大小 2 由前面分析知 A 和 B 一起运动达到最大速度的时刻 即为物体 AB 受合力为 0 的时刻 对 C 受 力分析知地面对 C 的支持力 所以物体 C 对水平地面压力也为 3mg 3 设物体 A 从距离 B 为 H 的高度自由落下时 在以后的运动中才能使物体 C 恰好离开地面 要使 C 恰好离开地面 意味着当 A 上升到最高点时弹簧的弹力为 mg 弹簧的伸长量为 A B 相碰结束时 刻弹簧的压缩量也为 所以 由 A B 物体以及弹簧组成的系统 从 A B 相碰结束开始到 A B 上升 到最高点的过程中 系统机械能守恒 初状态 A B 的动能全部转化为末状态 A B 的重力势能 弹性势能 没有变化 所以有 求得 点评 点评 高中阶段的机械能守恒等式分为 守恒式 转移式 和 转化式 三种 对于任何研 究对象 无论是单个物体还是系统 都可以采用 守恒式 列等式 选好零势能面 确定初 末状态的机 械能 此方法思路简单 但等式复杂 运算量较大 转移式 只能针对一个系统 如两个物体 A B 组 成的系统 若 A 物体机械能减小 B 物体的机械能一定增加 且变化量相等 A 减小的 机械能转移到 B 上导致 B 物体机械能增加 转化式 体现了机械能守恒中机械能从一种形式转化成另外 一种形式 在转化过程中总的机械能不变 即 若物体或系统动能增加了 势能必然减 小 且增加的动能等于减小的势能 此类模型是涉及弹簧在内的系统机械能守恒 在这类模型中 一般涉及动能 重力势能和弹性势能 列等式一般采用 转移式 或 转化式 5 5 简谐运动型弹簧问题 简谐运动型弹簧问题 弹簧振子是简谐运动的经典模型 有一些弹簧问题 如果从简谐运动的角度思考 利用简谐运动的 周期性和对称性来处理 问题的难度将大大下降 例例 7 7 如图 9 所示 一根轻弹簧竖直直立在水平面上 下端固定 在弹簧正上方有一个物块从高处自 由下落到弹簧上端O 将弹簧压缩 当弹簧被压缩了x0时 物块的速度减小到零 从物块和弹簧接触开始 到物块速度减小到零过程中 物块的加速度大小a随下降位移大小x变化的图像 可能是下图中的 分析 分析 我们知道物体所受的力为弹力和重力的合力 而弹力与形变量成正比 所以加速度与位移之 间也应该是线性关系 加速度与位移关系的图像为直线 物体在最低点的加速度与重力加速度之间的大小 关系应该是本题的难点 借助简谐运动的加速度对称性来处理最方便 若物块正好是原长处下落的 根据 简谐运动对称性 可知最低点时所受的合力也是 mg 方向向上 所以弹力为 2mg 加速度为 g 现在 初 始位置比原长处要高 这样最低点的位置比上述情况要低 弹簧压缩量也要大 产生的弹力必定大于 2mg 加速度必定大于 g 例例 8 8 如图 10 所示 一质量为 m 的小球从弹簧的正上方 H 高处自由下落 接触弹簧后将弹簧压缩 在压缩的全过程中 忽略空气阻力且在弹性限度内 以下说法正确的是 A 小球所受弹力的最大值一定大于 2mg B 小球的加速度的最大值一定大于 2g C 小球刚接触弹簧上端时动能最大 D 小球的加速度为零时重力势能与弹性势能之和最大 解析 解析 本题是一个典型的简谐运动模型问题 可参考例 8 分析即可 6 6 综合类弹簧问题 综合类弹簧问题 例例 9 9 质量均为 m 的两个矩形木块 A 和 B 用轻弹簧相连接 弹簧的劲度系数为 k 将它们竖直叠放在 水平地面上 如图 13 所示 另一质量也是 m 的物体 C 从距离 A 为 H 的高度自由下落 C 与 A 相碰 相碰 时间极短 碰后 A C 不粘连 当 A C 一起回到最高点时 地面对 B 的支持力恰好等于 B 的重力 若 C 从 距离 A 为 2H 高处自由落下 在 A C 一起上升到某一位置 C 与 A 分离 C 继续上升 求 1 C 没有与 A 相碰之前 弹簧的弹性势能是多少 2 C 上升到最高点与 A C 分离时的位置之间距离是多少 解 过程分析法解 过程分析法 1 C 由静止下落 H 高度 即与 A 相撞前的速度为 则 得出 2 C 与 A 相撞 由动量