计算一棵树树叶的数量以及质量

计算一棵树树叶的数量以及质量 根据叶镶嵌原理 我们将一棵树的树叶分成 n 层 并且假设树的轮廓近似为一个圆锥形 如图所示 圆锥侧面展开之后成为一个扇形 假设每一层的树叶相邻排列 并且每片树叶形状相 同大小相等 那么树叶覆盖扇面的方式如下图所示 圆锥表面与阳光强度最大时 即正午 直照光相垂直 此时阳光照射方向与水平方向的 夹角为 即太阳高度角 这种关系可以用下图来表示 假设每一层树叶与圆锥表面平行 这样每一层树叶形成了以为底面半径 为 n R tan n n R h 高的圆锥体 假设每一层的底面半径从外向内等差递减 即 d 为常数 即 1nn RRd 那么每层圆锥体除底表面积为 假设在 0n RRn d 2 22 sin n nnn R SRhR 阳光最大位置时 照在外层圆锥除底表面的平均光照强度为 那么第一层的光照总强 0s L 度为 根据假设光照到树叶上被完全吸收和反射 由于从上一层透过来的日光 00os LLS 可以看做一个有一个均匀分布的光源群 根据无影灯原理 可以认为每一层的日光照射都 是均匀分布的 从而我们知道由外向内的第二层总光照强度为 其 1000 s LLSqab 中 第一层的叶子数 第二层总光照强度为 其中 第 0 q 10001 s LLSqqab 1 q 二层的叶子数 这样每一层的光照总强度为 每一层的平均光照 1 00 0 n nsn n LLSqab 强度为 那么我们假设只要有且第层的圆锥的体积 1 00 0 2 sin n sn nn sn nn LSqab L L SR 0 sn L n 应该大于或者等于树木的体积而第层的圆锥的体积应该小于或者等于树木的体积 那1n 么树叶就可以生长 下面计算每一层的树叶数 将每一层圆锥展开 成为一个扇形 扇形半径为 则每一层 22 sin n nnn R rRh 的树叶数为 其中 sin 00 2121 22 22 n Rr cc nn aa n cc cc k rak ra q bb sin n R k r 那么一棵树的树叶的总质量为 sin 000 21 2 2 n R c n nn a nnn nnc c k ra Mq mq b 其中代表树的高度 代表树冠底面距离地面的高度 即主 00tan Rh 0lt hhh l h t h 干高 模型的关键是得到树叶的层数 这个要考虑体积的原因 这样就可以得到 树叶的总质量 与树的尺寸特征 高度 质量 体积 是有联系的 女贞叶树叶成卵形或卵状披针形 可近似看作为标准椭圆形 长 5 14cm 宽 3 5 6cm 在我们学校中 抽取 5 棵大致相同的大女贞树进行测量 得到它们的叶子大小 树高 主干高 胸径的平均值为 长 8cm 宽 4cm 树高 6 米 主干 2 米 胸径 40cm 的研究树 假设每一层的树叶的形状大小没有变化 只是质量 与厚度有关 发生了变化 每一 片树叶的质量和平均光照强度成函数关系 在研究不同平均光照强度对女贞树的树叶质量的影响时 我们查找资料 得出了不同 光照之下 叶子质量的数据 如下 光照强 度 叶子质 量 树木1树 叶质量 g 树木2树 叶质量 g 树木3树 叶质量 g 树木4树 叶质量 g 树木5树 叶质量 g 叶子平 均质量 g 400 420 470 680 520 620 542 800 530 520 820 620 650 628 1600 610 590 860 690 720 694 3200 720 680 960 810 780 79 6400 680 610 890 740 740 732 则可以拟合出叶子质量与平均光照强度的函数关系 0100200300400500600700800 0 45 0 5 0 55 0 6 0 65 0 7 0 75 0 8 The average illumination The mass of leaf Raw data The fitting curve y 0 5420 0 6280 0 6940 0 7900 0 7320 p 0 0000 0 0000 0 0019 0 47860 00311 3603 nsn mL 0 00190 4786 nsn mL 由于在光照强度达到 640 之后 叶子的质量开始变小 这样不利于研究 我们假设树木生 活在合适的光照强度下 那么重新对数据进行拟合 得到叶子质量与平均光照强度的函数 关系 050100150200250300350400 0 45 0 5 0 55 0 6 0 65 0 7 0 75 0 8 The average illumination The mass of leaf Raw data The fitting curve x 40 80 160 320 y 0 542 0 628 0 694 0 79 n 2 p polyfit x y n xi linspace 0 400 10000 z polyval p xi 多项式求值 plot x y o xi z r x y b legend Raw data The fitting curve xlabel Light intensity ylabel Leaf quality y 5420 0 6280 0 6940 0 7900 p 0 0000 0 0018 0 4853 其中平均光照强度的单位为 树叶的质 sn L 21 mol ms 量的单位为 0 mg 0 00180 4853 nsn mL 由于西安位于东经 107 40 109 49 和北纬 33 39 34 45 之间 为了研究简单 我们 假设我们学校位于东经 108 和北纬处 33 80 对于太阳高度角即的确定 首先计算处 2 月 11 日时太阳直射点的地理纬度 根据某 日太阳直射点的地理纬度位置 23 26 N 某日 6 月 22 日 23 26 4 365 可以计算出 2 月 11 日太阳直射点的地理纬度 23 264 23 26 22 365 NTimeJuneN 位置为N 则又由正午太阳高度计算的公式 H 90 H 23 2649 0825 72 为正午太阳高度 为当地纬度 为直射点的纬度 计算出我们学校的正午时太阳高度 9033 8025 7230 2830 参数的大小如下图所示 参数 m a m b cm d m l h m 0 h 0s L 21