第三章-多维随机变量及其分布-习题)

1 习题三习题三 一 填空题填空题 1 设两随机变量 且 则YX 与 00 YXP 7 4 0 7 4 0 7 3 YPXP 5 7 0 maxYXP 2 设二维随机变量的联合概率分布为 X Y Y X 123 10 1 6 1 12 2 1 6 1 6 1 6 3 1 12 1 6 0 则关于的边缘分布律为 X 3 若的联合分布律为 YX X Y 123 1 2 1 6 1 3 1 9 1 18 应满足条件是 若相互独立则 2 9 1 9 3 1 YX 与 4 设独立同分布 且的分布律为 则随机变量YX 与X5 0 1 5 0 0 XPXP 的分布律为 P Z 0 0 25 P Z 1 0 75 max YXZ 5 设二维随机变量的联合概率密度为 X Y 101 01 0 xy f x y 其他 则概率 0 3 0 5 0 6P XY 6 设 联合概率密度为则系数 6 YX 其他 0 0 32 yxAe yxf yx A 7 设二维随机变量的联合概率密度为 则 c X Y 22 1 0 cx yxy f x y 其它 21 4 8 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 X123 11 41 21 4 2 其其0 0 10 2 8 4 xyxxy yxf 则关于 X 的边缘概率密度是 其其0 10 2 4 2 2 8 4 0 2 xxxdyxy xf x X 9 设随机变量 X 和 Y 相互独立 且 X 在区间上服从均匀分布 Y 服从参数为 0 2 1 的指数分布 则 1P XY 1 1 2e 10 设随机变量与相互独立 且均服从区间 0 3 上的均匀分布 则XY 1 9 max 1PX Y 11 若 22 112212 XNYNk Xk Y 相互独立服从分布为 1 2222 1122122 N kkkk 12 已知独立且服从于相同的分布函数 若令 12 n XXX F x 则 max 12 n XXX F x 的分布函数 n Fx 二 选择题选择题 1 设随机变量的分布函数为 其边缘分布函数是 B X Y F x y X Fx A lim B lim C 0 D 0 yy F x yF x yF xFx 2 同时掷两颗质体均匀的骰子 分别以 X Y 表示第 1 颗和第 2 颗骰子出现的点数 则 A A B 1 1 2 6 36 P Xi Yji j 36 1 YXP C D 2 1 YXP 2 1 YXP 3 设随机变量 X 与 Y 相互独立 它们的概率分布依次为 X 11Y 11 p1 21 2p1 21 2 则下列各式正确的是 C A X Y B P X Y 0 C P X Y 1 2 D P X Y 1 4 设 X Y 的联合概率密度函数为 则下列 其他 yxyx yxf 0 10 10 6 2 结论中错误的是 B A B G PX YGf x y dxdy 2 6 G PX YGx ydxdy 3 C D 12 00 6 x P XYdxx ydy yx dxdyyxfYXP 5 设二维随机变量的联合概率密度为 则 X Y X Y 22 1 1 0 xy f x y 其它 满足 C A 独立同分布 B 独立不同分布 C 不独立同分布 D 不独立也不同分布 6 设随机变量相互独立 且分别服从和 则 B XY与 0 1N 1 1N A B 1 0 2 P XY 1 1 2 P XY C D 1 0 2 P XY 1 1 2 P XY 7 设 X 与 Y 是相互独立的随机变量 其分布函数分别为 则 XY FxFy 的分布函数为 D min ZX Y A B ZX FzFx ZY FzFy C D min ZXY FzFxFy 111 ZXY FzFxFy 8 若 且 X 与 Y 相互独立 则 C 2 22 2 11 NYNX A B 2 2121 NYX 2 2 2 121 NYX C D 4 2 2 2 2 2 121 NYX 2 2 2 2 2 2 121 NYX 9 已知 且相互独立 记 3 1 XN 2 1 YN X Y27 ZXY A Z则 A B C D 5 0 N 12 0 N 54 0 N 2 1 N 10 设相独立且都服从 则下式成立的是 B 12 n XXX 2 N A B 12n XXX 2 12 1 n XXXN nn C D 34 32 32 2 1 NX 0 2 2 2 121 NXX 三 计算下列各题计算下列各题 1 一个箱子装有 12 只开关 其中 2 只是次品 现随机地无放回抽取两次 每次取一 4 只 以分别表示第一次和第二次取出的次品数 试写出的联合概率分布律 YX 和YX 和 解解 66 10 0 1 66 45 0 0 1 11 1 12 1 10 1 2 1 11 1 12 1 9 1 10 CC CC YXP CC CC YXP 66 1 1 1 66 10 1 0 1 11 1 12 1 1 1 2 1 11 1 12 1 2 1 10 CC CC YXP CC CC YXP 2 袋中有 1 个红色球 2 个黑色球与 3 个白色球 现有放回地从袋中取两次 每次取一 球 以 X Y 分别表示两次去求所取得的红球 黑球与白球的个数 求 1 二维随机变 量的联合概率分布律 2 X Y 的边缘分布律 X Y 解 解 1 X Y 的取值范围为 0 1 2 故 11 33 11 66 111 0 0 1 0 2 0 4636 11 0 1 1 1 2 10 39 1 0 2 1 20 2 20 9 C C P XYP XYP XY C C P XYP XYP XY P XYP XYP XY X Y 012 01 41 61 36 11 31 90 21 900 2 X012Y012 P25 365 181 36P4 94 9 1 9 3 设随机变量 X 在 1 2 3 4 四个整数中等可能取值 另一个随机变量 Y 在 1 X 中等可 能取一个整数值 求 1 的联合分布律 2 X Y 的边缘分布律 YX 解 由题意 1 2 3 4 Xi Yjiji j 其中为整数 则由概率的乘法公式有 1 11 1 2 3 4 44 P Xi YjP Xi P Yj Xiiji ii A 因此 X Y 1234 j pA 11 41 81 121 1625 48 201 81 121 1613 48 3001 121 167 48 5 40001 163 48 i p A 1 41 41 41 41 4 已知随机变量的概率分布 YX X1 01Y01 P1 41 21 4P1 21 2 且 1 求的联合分布 2 问是否独立 为什么 0 1P XY YX YX 解解 0 1 1 1 1 1 0 P XYP XYP XY 因为所以有 1 设的联合分布为YX 05 05 0 5 0 5 0 25 0 25 0 212221223111 pppppp故由于则 的联合分布律为因此 YX 21 2 00 5 0 5 pXY 由于故与不相互独立 5 假设随机变量和相互独立 都服从同一分布 XY X012Y012 P1 41 21 4P1 41 2 1 4 求概率 P XY 解解 注意 两个随机变量同分布 并不意味着它们相等 只说明它们取同一值的概率 相等 由全概率公式及和相互独立 可见XY 222 0 0 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1119 24216 P XYP XYP XYP XY P XP YP XP YP XP Y 6 设随机变量 的联合密度为YX 6 02 24 0 kxyxy f xy 其它 Y X 101P j 0P11P21P311 2 10P2201 2 Pi 1 41 21 41 Y X 101 01 401 4 101 20 6 求 1 系数 k 2 3 1 3P XY 4P XY 解 1 42 20 1 6 81 8 f x y dxdydykxy dxkk 2 31 20 13 1 3 6 88 P XYdyxy dx 3 4P XY 44 20 12 6 83 y dyxy dx 7 设二维随机变量的概率密度为 求 1 常数 YX 其它 0 0 yxAe yxf y 2 随机变量的边缘密度 3 概率 AYX 1 YXP 解解 1 1 0 AAdyedxAdxdyyxf x y 得 0 0 0 02 x xe xfedyexfx x X x x y X 0 0 0 y yye yf y Y 同理 3 2 1 1 1 2 1 0 1 21 1 eedyedxdxdyyxfYXP x x y yx 8 假设一微波线路有两个中间站 它们无故障的时间和是随机变量 其联合分XY 布函数为 0 010 010 01 1 eee00 0 xyx y xy F x y 若 若不然 1 求两个中间站连续 100 小时无故障的概率 2 证明和相互独立 XY 解解 1 连续 100 小时无故障的概率 11212 100 100 1 100 100 100 100 1eee12ee0 1353 P Xy FFF 2 现在证明和相互独立 以和分别表示和的分布函数 则XY 1 xF 2 yFXY 0 01 1 0 01 2 1e 1e x y F xF x F yFy 由于 可见和相互独立 21 yFxFyxF XY 9 设二维随机变量的概率密度为 YX 2 1 01 02 3 0 xxyxy f x y 其它 7 求 1 关于 X 和关于Y 的边缘密度函数 并判断 X 与 Y 是否相互独立 2 1P XY 解 解 1 2 22 0 12 01201 33 0 0 X xxy dyxxxx fxf x y dy 其它 其它 1 2 0 11 0202 363 0 0 Y y xxy dxyy fyf x y dx 其它 其它 由于 XY f x yfx fyXY 所以和不独立 2 11 2 00 165 1 1 372 x D P XYf x y dxdydxxxy dy 9 雷达的圆形屏幕的半径为 设目标出现点在屏幕上均匀分布 1 求R YX 的边缘概率密度 2 问是否独立 YX YX 其它 解 0 1 2222 RyxR yxf 22 22 22 22 22 2 12 1 0 2 0 Rx Rx X Y Rx dyxR fxf x y dy RR RxyR fyR 其它 同理 其它 2 不独立和所以YXyfxfyxf YX 10 设两个独立随机变量的分布律为YX 与 6 0 2 7 0 3 3 0 1 YPXPXP 4 0 4 YP 求的分布律 的分布律 YXZ 其其 1YXW 其其 2 解解 由独立性可得 YX 1 2 1 4 3 2 3 4 yYxXP 0 18 0 12 0 42 0 28 YX 3 5 5 7 YX 1 3 1 1 8 所以 的分布律与的分布律分别为YXZ YXW Z357W 31 1 P0 18 0 54 0 28P0 120 46 0 42 11 设随机变量的联合概率密度 YX 其它 0 0 10 3xyxx yxf 求的概率密度 YXZ 解解 1 1 10 2 1 2 3 33 0 0 3 1 00 z zzzxdydxxdydx z zYXPzF x zxz xz Z 其它 的密度函数为所以 0 10 2 3 2 3 2 zz zfZ Z 12 设二维变量的概率密度为 x y 2 0 xy f x y 01 01xy 其他 求 1 2 的概率密度 2 P XY zXY 解解 1 其中 D 为中的那部 2 2 D P XYxy dxdy 01 01xy 2xy 分区域 求此二重积分可得 1 1 2 00 2 2 x P XYdxxy dy 1 2 0 5 8 xxdx 7 24 2 Z FzP ZzP XYz 当时 0z 0 Z Fz 当时 2z 1 Z Fz 当时 01z 32 00 1 2 3 zz x Z Fzdxxy dyzz 当时 12z 11 32 1 15 1 2 24 33 Z zz x Fzdxxy dyzzz 9 于是 2 2 2 01 44 12 0 Z zzz fzzzz 其他 13 已知随机向量的概率密度为 YX 0 1 0 xyx y f x y 若 其他 求随机变量的概率密度 UXY uf 解解 对于和 显然 0 0 u2 u uf 1 设 注意到 当时 0 因此 由二随机变量之和的概率10 uux f x ux 密度公式 有 2 0 d d u f uf t utttuttu 2 设 注意到当时 由二随机变量之和的概率密度公21 u1 ux0 xuxf 式 有 1 1 d d 2 u f uf t utttuttuu 于是 随机变量的概率密度UXY 01 2 12 0 uu f uuuu 若 若 其他 14 设某种商品一周的需要量是一个随机变量 其概率密度为 00 0 t tte tf t 并设各周的需要量是相互独立的 试求 1 两周 2 三周的需要量的概率密度 解 1 设第一周需要量为 X 它是随机变量 设第二周需要量为 Y 它是随机变量 且为同分布 其分布密度为 00 0 t tte tf t Z X Y 表示两周需要的商品量 由 X 和 Y 的独立性可知 其它0 0 0 yxyexe yxf yx z 0 当 z0 时 由和的概率公式知 zy z yz yxz e z dyyeeyz dyyfyzfzf 6 3 0 00 0 6 3 z ze z zf z z 2 设 z 表示前两周需要量 其概率密度为 00 0 6 3 z ze z zf z z 设 表示第三周需要量 其概率密度为 00 0 x xxe xf x z 与 相互独立 z 表示前三周需要量 则 0 当 u0 时 u y u yu e u dyyeeyu dyyfyufuf 120 6 1 5 0 3 所以 的概率密度为 00 0 120 5 u ue u uf u 15 假设是一矩形 随机变量和的联合分布是区 02 01 Gx yxy XY 域上的均匀分布 考虑随机变量G 002 112 XYXY UV XYXY 若 若 若 若 求和的联合概率分布 UV 解解 易见 若 则随机变量和的联合密度为 否则Gyx XY21 yxf 0 yxf 11 1 2 0 x yG f x y x yG 其其 其 其其 其 直线和将分为三部分 见插图 yx yx2 G 1 yxG 易见 2 2 Gyxy 3 2 Gxy 1 2 3 1 4 1 2 4 1 2 2 P XYPX YG P YXYPX YG P XYPX YG 随机变量和的联合概率分布 有等 4 个可能值 因此UV V