相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答

1 1 相似三角形判定的基本模型认识相似三角形判定的基本模型认识 一 A 字型 反 A 字型 斜 A 字型 A B C D E 平行 CB A D E 不平行 二 8 字型 反 8 字型 JO A D B C A B C D 蝴蝶型 平行 不平行 三 母子型 A B C D C A D 四 一线三等角型 三等角型相似三角形是以等腰三角形 等腰梯形 或者等边三角形为背景 五 一线三直角型 6 双垂型 C A D 2 相似三角形判定的变化模型相似三角形判定的变化模型 旋转型 由 A 字型旋转得到 8 字型拓展 CB ED A 共 享 性 G A B C E F 一线三等角的变形 一线三直角的 3 1 如图 梯形 ABCD 中 AD BC 对角线 AC BD 交于点 O BE CD 交 CA 延长线于 E 求证 OC2 OA OE 2 如图 在 ABC 中 AB AC 10 BC 16 点 D 是边 BC 上 不与 B C 重合 一动点 ADE B DE 交 AC 于点 E 下列结论 AD2 AE AB 3 6 AE 10 当 AD 2时 ABD DCE DCE 为直角三角形时 BD 为 8 或 12 5 其中正确的结论是 把你认为正确结论的序号都填上 3 已知 如图 ABC 中 点 E 在中线 AD 上 DEB ABC 求证 1 DB2 DE DA 2 DCE DAC 4 已知 如图 等腰 ABC 中 AB AC AD BC 于 D CG AB BG 分别交 AD AC 于 E F 求证 BE2 EF EG 5 如图 已知 AD 为 ABC 的角平分线 EF 为 AD 的垂直平分线 求证 FD2 FB FC 4 6 已知 如图 在 Rt ABC 中 C 90 BC 2 AC 4 P 是斜边 AB 上的一个动点 PD AB 交边 AC 于点 D 点 D 与点 A C 都不重合 E 是射线 DC 上一点 且 EPD A 设 A P 两点的距离为 x BEP 的面积为 y 1 求证 AE 2PE 2 求 y 关于 x 的函数解析式 并写出它的定义域 3 当 BEP 与 ABC 相似时 求 BEP 的面积 7 如图 在 ABC 中 A 60 BD CE 分别是 AC 与 AB 边上的高 求证 BC 2DE 8 如图 已知 ABC 是等边三角形 点 D B C E 在同一条直线上 且 DAE 120 1 图中有哪几对三角形相似 请证明其中的一对三角形相似 2 若 DB 2 CE 6 求 BC 的长 9 已知 如图 在 Rt ABC 中 AB AC DAE 45 求证 1 ABE DCA 2 BC2 2BE CD 5 10 如图 在等边 ABC 中 边长为 6 D 是 BC 边上的动点 EDF 60 1 求证 BDE CFD 2 当 BD 1 CF 3 时 求 BE 的长 11 1 在 ABC 中 AB AC 5 BC 8 点 P Q 分别在射线 CB AC 上 点 P 不与点 C 点 B 重合 且保持 APQ ABC 若点 P 在线段 CB 上 如图 且 BP 6 求线段 CQ 的长 若 BP x CQ y 求 y 与 x 之间的函数关系式 并写出函数的定义域 2 正方形 ABCD 的边长为 5 如图 点 P Q 分别在直线 CB DC 上 点 P 不与点 C 点 B 重合 且 保持 APQ 90 度 当 CQ 1 时 写出线段 BP 的长 不需要计算过程 请直接写出结果 13 已知梯形 ABCD 中 AD BC 且 AD BC AD 5 AB DC 2 1 如图 P 为 AD 上的一点 满足 BPC A 求 AP 的长 2 如果点 P 在 AD 边上移动 点 P 与点 A D 不重合 且满足 BPE A PE 交直线 BC 于点 E 同时 交直线 DC 于点 Q 当点 Q 在线段 DC 的延长线上时 设 AP x CQ y 求 y 关于 x 的函数关系式 并写出自变量 x 的取值 范围 当 CE 1 时 写出 AP 的长 不必写解答过程 6 14 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC AB CD BC 6 AD 3 点 M 为边 BC 的中点 以 M 为顶点作 EMF B 射线 ME 交腰 AB 于点 E 射线 MF 交腰 CD 于点 F 连接 EF 1 求证 MEF BEM 2 若 BEM 是以 BM 为腰的等腰三角形 求 EF 的长 3 若 EF CD 求 BE 的长 15 已知在梯形 ABCD 中 AD BC AD BC 且 BC 6 AB DC 4 点 E 是 AB 的中点 1 如图 P 为 BC 上的一点 且 BP 2 求证 BEP CPD 2 如果点 P 在 BC 边上移动 点 P 与点 B C 不重合 且满足 EPF C PF 交直线 CD 于点 F 同时 交直线 AD 于点 M 那么 当点 F 在线段 CD 的延长线上时 设 BP x DF y 求 y 关于 x 的函数解析式 并写出函数的定义域 当时 求 BP 的长 16 如图所示 已知边长为 3 的等边 ABC 点 F 在边 BC 上 CF 1 点 E 是射线 BA 上一动点 以线段 EF 为边向右侧作等边 EFG 直线 EG FG 交直线 AC 于点 M N 1 写出图中与 BEF 相似的三角形 2 证明其中一对三角形相似 3 设 BE x MN y 求 y 与 x 之间的函数关系式 并写出自变量 x 的取值范围 4 若 AE 1 试求 GMN 的面积 7 17 如图所示 已知矩形 ABCD 中 CD 2 AD 3 点 P 是 AD 上的一个动点 与 A D 不重合 过点 P 作 PE CP 交直线 AB 于点 E 设 PD x AE y 1 写出 y 与 x 的函数解析式 并指出自变量的取值范围 2 如果 PCD 的面积是 AEP 面积的 4 倍 求 CE 的长 3 是否存在点 P 使 APE 沿 PE 翻折后 点 A 落在 BC 上 证明你的结论 18 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AB 5 点 D 是 BC 的中点 点 E 是 AB 边上的动点 DF DE 交射线 AC 于点 F 1 求 AC 和 BC 的长 2 当 EF BC 时 求 BE 的长 3 连接 EF 当 DEF 和 ABC 相似时 求 BE 的长 19 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC BC D 是 AB 边上一点 E 是在 AC 边上的一个动点 与点 A C 不重合 DF DE DF 与射线 BC 相交于点 F 1 如图 2 如果点 D 是边 AB 的中点 求证 DE DF 2 如果 AD DB m 求 DE DF 的值 3 如果 AC BC 6 AD DB 1 2 设 AE x BF y 求 y 关于 x 的函数关系式 并写出定义域 以 CE 为直径的圆与直线 AB 是否可相切 若可能 求出此时 x 的值 若不可能 请说明理由 8 20 如图 在 ABC 中 C 90 AC 6 D 是 BC 边的中点 E 为 AB 边上的一个动点 作 DEF 90 EF 交射线 BC 于点 F 设 BE x BED 的面积为 y 1 求 y 关于 x 的函数关系式 并写出自变量 x 的取值范围 2 如果以线段 BC 为直径的圆与以线段 AE 为直径的圆相切 求线段 BE 的长 3 如果以 B E F 为顶点的三角形与 BED 相似 求 BED 的面积 21 如图 在梯形 ABCD 中 AB CD AB 2 AD 4 tanC ADC DAB 90 P 是腰 BC 上一个动 点 不含点 B C 作 PQ AP 交 CD 于点 Q 图 1 1 求 BC 的长与梯形 ABCD 的面积 2 当 PQ DQ 时 求 BP 的长 图 2 3 设 BP x CQ y 试求 y 关于 x 的函数解析式 并写出定义域 9 1 解答 证明 AD BC 又 BE CD 即 OC2 OA OE 2 解答 解 AB AC B C 又 ADE B ADE C ADE ACD AD2 AE AB 故 正确 易证得 CDE BAD BC 16 设 BD y CE x 整理得 y2 16y 64 64 10 x 即 y 8 2 64 10 x 0 x 6 4 AE AC CE 10 x 3 6 AE 10 故 正确 作 AG BC 于 G AB AC 10 ADE B cos BC 16 AG 6 AD 2 DG 2 CD 8 AB CD ABD 与 DCE 全等 故 正确 当 AED 90 时 由 可知 ADE ACD ADC AED AED 90 ADC 90 即 AD BC AB AC BD CD ADE B 且 cos AB 10 BD 8 当 CDE 90 时 易 CDE BAD CDE 90 BAD 90 B 且 cos AB 10 cosB BD 故 正确 故答案为 3 解答 证明 1 在 BDE 和 DAB 中 DEB ABC BDE ADB BDE ADB BD2 AD DE 2 AD 是中线 CD BD CD2 AD DE 又 ADC CDE DEC DCA DCE DAC 4 解答 证明 连接 CE 如右图所示 AB AC AD BC AD 是 BAC 的角平分线 BE CE EBC ECB 又 ABC ACB ABC EBC ACB ECB 即 ABE ACE 又 CG AB ABE CGF CGF FCE 又 FEC CEG CEF GEC CE EF EG CE 即 CE2 EF EG 又 CE BE BE2 EF EG 10 5 解答 证明 连接 AF AD 是角平分线 BAD CAD 又 EF 为 AD 的垂直平分线 AF FD DAF ADF DAC CAF B BAD CAF B AFC AFC ACF BAF 即 AF2 CF BF 即 FD2 CF BF 6 解答 解 1 APD C 90 A A ADP ABC EPD A PED AEP EPD EAP AE 2PE 2 由 EPD EAP 得 PE 2DE AE 2PE 4DE 作 EH AB 垂足为点 H AP x PD x PD HE HE x 又 AB 2 y 2 x x 即 y x2 x 定义域是 0 x 另解 由 EPD EAP 得 PE 2DE AE 2PE 4DE AE x x S ABE x 2 x 即 y x2 x 定义域是 0 x 3 由 PEH BAC 得 PE x x 当 BEP 与 ABC 相似时 只有两种情形 BEP C 90 或 EBP C 90 i 当 BEP 90 时 解得 x y x 5 11 ii 当 EBP 90 时 同理可得 x y 7 解答 证明 BD CE 分别是 AC 与 AB 边上的高 BEC BDC B C D E 四点共圆 AED ACB 而 A A AED ACB BD AC 且 A 60 ABD 30 AD BC 2DE 8 解答 解 1 有 DAE DBA ACE ABC 是等边三角形 ABC ACB BAC 60 D DAB 60 E CAE 60 DAE 120 DAB EAC 60 D CAE E DAB D D E E DAE DBA ACE 2 DBA ACE DB AC AB CE AB AC BC DB 2 CE 6 BC2 DB CE 12 BC 0 BC 2 9 解答 证明 1 在 Rt ABC 中 AB AC B C 45 BAE BAD DAE DAE 45 BAE BAD 45 而 ADC BAD B BAD 45 BAE CDA ABE DCA 2 由 ABE DCA 得 BE CD AB AC 而 AB AC BC2 AB2 AC2 BC2 2AB2 BC2 2BE CD 10 解 答 1 证明 ABC 为等边三角形 B C 60 EDF 60 BED EDB EDB FDC 120 BED FDC BDE CFD 2 解 由 1 知 BDE CFD BC 6 BD 1 CD BC BD 5 解得 BE 12 11 解 答 解 1 APQ CPQ B BAP APQ ABC BAP CQP 又 AB AC B C CPQ BAP AB AC 5 BC 8 BP 6 CP 8 6 2 若点 P 在线段 CB 上 由 1 知 BP x BC 8 CP BC BP 8 x 又 CQ y AB 5 即 故所求的函数关系式为 0 x 8 若点 P 在线段 CB 的延长线上 如图 APQ APB CPQ ABC APB PAB APQ ABC CPQ PAB 又 ABP 180 ABC PCQ 180 ACB ABC ACB ABP PCQ QCP PBA BP x CP BC BP 8 x AB 5 CQ y 即 x 8 2 当点 P 在线段 BC 上 APQ 90 APB QPC 90 PAB APB 90 PAB QPC B C 90 ABP PCQ AB PC BP CQ 即 5 5 BP BP 1 解得 或 当点 P 在线段 BC 的延长线上 则点 Q 在线段 DC 的延长线上 13 同理可得 ABP PCQ AB PC BP CQ 5 BP 5 BP 1 解得 当点 P 在线段 CB 的延长线上 则点 Q 在线段 DC 的延长线上 同理可得 ABP PCQ AB PC BP CQ 5 BP 5 BP 1 解得 13 解答 解 1 ABCD 是梯形 AD BC AB DC A D ABP APB A 180 APB DPC BPC 180 BPC A ABP DPC ABP DPC 即 解得 AP 1 或 AP 4 2 由 1 可知 ABP DPQ 即 1 x 4 当 CE 1 时 PDQ ECQ 或 解得 AP 2 或 舍去 14 解 答 证明 1 在梯形 ABCD 中 AD BC AB CD B C BMF EMB EMF C MFC 又 EMF B EMB MFC EMB MFC MC MB 又 EMF B MEF BEM 2 解 若 BEM 是以 BM 为腰的等腰三角形 则有两种情况 BM ME 那么根据 MEF BEM 即 EF MF 根据第 1 问中已证 BME MFC 即 MF FC FMC C 又 B C FMC B MF AB 延长 BA 和 CD 相交于点 G 又点 M 是 BC 的中点 MF 是 GBC 的中位线 MF GB 又 AD BC GAD GBC 1 即 AG AB 6 GB 12 MF EF 6 BM BE 3 点 E 是 AB 的中点 又 MEF BEM 1 即 MF ME EF 是梯形 ABCD 的中位线 EF AD BC 3 6 14 3 EF CD EFC 90 MEF BEM MFE MFC BME 45 解一 过点 E 作 EH BC 则可得 EHM 等腰直角三角形 故 EH MH 设 BE x 则 BH EH MH BE 解二 过点 M 作 MN DC MC 3 NC MN FN FC 2 由 MEF MFC 有 即 得 BE 15 解 答 1 证明 在梯形 ABCD 中 AD BC AB DC B C BE 2 BP 2 CP 4 CD 4 BEP CPD 2 解 B C EPF 180 B 180 EPF BEP BPE BPE CPF BEP FPC BEP CPF 2 x 4 当点 F 在线段 CD 的延长线上时 FDM C B BEP FPC FMD BEP DMF x2 3x 8 0 0 此方程无实数根 故当点 F 在线段 CD 的延长线上时 不存在点 P 使 当点 F 在线段 CD 上时 同理 BEP DMF BEP CPF x2 9x 8 0 解得 x1 1 x2 8 由于 x2 8 不合题意舍去 x 1 即 BP 1 当时 BP 的长为 1 15 16 解 答 解 1 BEF AME CFN GMN 证明 2 在 BEF 与 AME 中 B A 60 AEM AME 120 GEF 60 AEM BEF 120 BEF AME BEF AME 解 3 i 当点 E 在线段 AB 上 点 M N 在线段 AC 上时 如图 BEF AME BE AM BF AE 即 x AM 2 3 x AM 同理可证 BEF CFN BE CF BF CN 即 x 1 2 CN CN AC AM MN CN 3 y y 1 x 3 ii 当点 E 在线段 AB 上 点 G 在 ABC 内时 如备用图一 同上可得 AM CN AC AM CN MN 3 y y 0 x 1 iii 当点 E 在线段 BA 的延长线上时 如备用图二 AM CN AC MN CN AM 3 y y x 3 综上所述 y 0 x 1 或 y x 1 4 i 当 AE 1 时 GMN 是边长为 1 等边三角形 S GMN 1 1 分 ii 当 AE 1 时 GMN 是有一个角为 30 的 Rt 16 x 4 y NG FG FN 4 1 S GMN 17 解 答 1 解 PE CP 可得 EAP PDC 又 CD 2 AD 3 设 PD x AE y y 0 x 3 2 解 当 PCD 的面积是 AEP 面积的 4 倍 则 相似比为 2 1 CD 2 AP 1 PD 2 PE PC 2 EC 3 不存在 作 AF PE 交 PE 于 O BC 于 F 连接 EF AF PE CP PE AF CP PE CDP POA OA 若 OA AF 3x2 6x 4 0 62 4 4 3 12 x 无解因此 不存在 18 解 答 解 1 在 Rt ABC 中 C 90 设 AC 3k BC 4k AB 5k 5 k 1 AC 3 BC 4 2 过点 E 作 EH BC 垂足为 H 易得 EHB ACB 设 EH CF 3k BH 4k BE 5k EF BC EFD FDC FDE C 90 EFD FDC FD2 EF CD 即 9k2 4 2 4 4k 化简 得 9k2 8k 4 0 解得 负值舍去 3 过点 E 作 EH BC 垂足为 H 易得 EHB ACB 设 EH 3k BE 5k HED HDE 90 FDC HDE 90 HED FDC EHD C 90 EHD DCF 当 DEF 和 ABC 相似时 有两种情况 17 1 即解得 2 即解得 综合 1 2 当 DEF 和 ABC 相似时 BE 的长为 或 19 解 答 1 证明 如图 2 连接 DC ACB 90 AC BC A B 45 点 D 是 AB 中点 BCD ACD 45 CD BD ACD B 45 ED DF CD AB EDC CDF 90 CDF FDB 90 EDC FDB CED BFD ASA DE DF 2 解 如图 1 作 DP AC DQ BC 垂足分别为点 Q P B A APD BQD 90 ADP BDQ DP DQ AD DB m CPD CQD 90 C 90 QDP 90 DF DE EDF 90 QDF PDE DQF DPE 90 DQF DPE DE DF DP DQ DE DF DP DQ AD DB m 3 解 如备用图 1 作 EG AB FH AB 垂足分别为点 G H 在 Rt ABC 中 C 90 AC BC 6 AB AD DB 1 2 AD DB 由 AGE BHF 90 A B 45 可得 AG EG BH FH GD HD 易证 DGE FHD y 8 2x 定义域是 0 x 4 如备用图 2 取 CE 的中点