解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章

18 第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线 3 1 平面的方程平面的方程 1 求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程 1 通过点和点且平行于矢量的平面 2 通过点 1 1 3 1 M 0 1 1 2 M 2 0 1 和且垂直于坐标面的平面 1 5 1 1 M 2 2 3 2 Mxoy 3 已知四点 求通过直线 AB 且平行于直线 3 1 5 A 2 6 1 B 4 0 5 C 6 0 4 D CD 的平面 并求通过直线 AB 且与平面垂直的平面 ABC 解 解 1 又矢量平行于所求平面 1 2 2 21 MM 2 0 1 故所求的平面方程为 vuz uy vux 21 21 23 一般方程为 07234 zyx 2 由于平面垂直于面 所以它平行于轴 即与所求的平面平行 又xoyz 1 0 0 平行于所求的平面 所以要求的平面的参数方程为 3 7 2 21 MM vuz uy ux 31 75 21 一般方程为 即 0 5 2 1 7 yx01727 yx 3 设平面通过直线 AB 且平行于直线 CD 1 5 4 AB 2 0 1 CD 从而的参数方程为 vuz uy vux 23 51 45 一般方程为 0745910 zyx 设平面通过直线 AB 且垂直于所在的平面 ABC 1 5 4 AB 1 1 1 4 4 4 4 1 1 0 1 5 4 ACAB 19 均与平行 所以的参数式方程为 vuz vuy vux 3 51 45 一般方程为 0232 zyx 2 化一般方程为截距式与参数式 042 zyx 解 解 与三个坐标轴的交点为 4 0 0 0 20 0 0 4 所以 它的截距式方程为 1 424 zyx 又与所给平面方程平行的矢量为 4 0 4 0 2 4 所求平面的参数式方程为 vz uy vux24 3 证明矢量平行与平面的充要条件为 ZYXv 0 DCzByAx 0 CZBYAX 证明 证明 不妨设 0 A 则平面的参数式方程为 0 DCzByAx vz uy v A C u A B A D x 故其方位矢量为 1 0 0 1 A C A B 从而平行于平面的充要条件为 v0 DCzByAx 共面v 1 0 0 1 A C A B 20 0 10 01 A C A B ZYX 0 CZBYAX 4 已知连接两点的线段平行于平面 求点的 12 0 5 10 3 zBA 0147 zyxB 坐标 z 解 解 5 2 3 zAB 而平行于AB0147 zyx 由题 3 知 0 5 427 3 z 从而 18 z 5 求下列平面的一般方程 通过点和且分别平行于三坐标轴的三个平面 1 1 2 1 1 2 3 2 过点且在轴和轴上截距分别为和的平面 4 2 3 xy2 3 与平面垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面 0325 zyx 已知两点 求通过且垂直于的平面 1 2 4 2 1 3 21 1 21 原点在所求平面上的正射影为 6 9 2 求过点和且垂直于平面的平面 1 5 3 1 2 1 4 2 0138 zyx 解 平行于轴的平面方程为 即 x0 001 011 112 zyx 01 z 同理可知平行于轴 轴的平面的方程分别为 yz01 01 yxz 设该平面的截距式方程为 把点代入得1 32 c zyx 4 2 3 19 24 c 故一般方程为 02419812 zyx 若所求平面经过轴 则为平面内一个点 x 0 0 0 和为所求平面的方位矢量 2 1 5 0 0 1 21 点法式方程为0 001 215 000 zyx 一般方程为 02 zy 同理经过轴 轴的平面的一般方程分别为 yz05 052 yxzx 垂直于平面 2121 3 1 1 该平面的法向量 平面通过点 3 1 1 n 2 1 3 1 因此平面的点位式方程为 02313 zyx 化简得 023 zyx 5 6 9 2 op 1136814 opp 6 9 2cos cos cos11 0 npop 11 6 cos 11 9 cos 11 2 cos 则该平面的法式方程为 0 11 11 6 11 9 11 2 zyx 既 0 121692 zyx 6 平面的法向量为 点从 0138 zyx 3 8 1 n 1 6 1 21 MM 2 1 4 写出平面的点位式方程为 则0 161 381 214 zyx 26 16 38 A 74282426 14 11 31 2 11 13 DCB 则一般方程即 0 DCzByAx 0 37713 zyx 6 将下列平面的一般方程化为法式方程 0 7444 0 23 0 12 0 352 1 zyxxyxzyx 解 3 D 22 30 11 222 CBA 将已知的一般方程乘上得法式方程 30 1 0 30 3 30 5 30 2 30 zyx 将已知的一般方程乘上得法式方程 2 1 1 2 D 2 1 0 2 1 2 1 2 1 yx 将已知的一般方程乘上得法式方程 1 2 3 D 1 0 2 x 即或 9 1 0 4 D 9 1 9 1 将已知的一般方程乘上或得法式方程为或 9 1 9 1 0 9 7 9 4 9 4 zyx 0 9 7 9 4 9 4 zyx 7 求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦 0 2122 2 0 3563 2 1 zyxzyx 解 化为法式方程为原点指向平面的单位法 7 1 35 1 D05 7 6 7 3 7 2 zyx 矢量为它的方向余弦为原点到平面 7 6 7 3 7 2 u 7 6 cos 7 3 cos 7 2 cos o 的距离为 5 DP 化为法式方程为 原点指向平面的单位法 3 1 21 2 D07 3 2 3 2 3 1 zyx 矢量为它的方向余弦为原点到 3 2 3 2 3 1 0 n 122 cos cos cos 333 o 平面的距离 7 pD 第 20 页 8 已知三角形顶点求平行于所在的平面且与她 0 7 0 2 1 1 2 2 2 ABC ABCA 相距为 2 各单位的平面方程 解 设点则写出平面的点位式方程 ABa ACb 0 7 0 A 2 6 1 2 9 2ab 23 7 2610 292 xyz 设一般方程0 3 2 6 140 AxByCzDABCD 则 1 2 7 pD 相距为 2 个单位 则当时当时4p 28 D 0p 0 D 所求平面为和 326280 xyz 3260 xyz 9 求与原点距离为 6 个单位 且在三坐标轴与上的截距之比为 ox oyoz 的平面 1 3 2a b c 解 设设平面的截距方程为 3 2 0 ax bx cxabc 1 xyz abc 即 bcxacyabzabc 又原点到此平面的距离 6 d 2222222 1 6 abc b ca ca bx 1 1132 7777 xabc 所求方程为 7 32 yz x 10 平面分别与三个坐标轴交于点求的面积 1 xyz abc A B CABCA 解 0 0 A a 0 0 Bb 0 0 Cc 0ABa b 0 ACac ABACbc ca ab 222222 ABACb cc aa b S ABCA 222222 1 2 b cc aa b 11 设从坐标原点到平面的距离为 求证 证明 由题知 222 222 11111 111 p pabc abc 从而有 2222 1111 pabc 24 3 2 平面与点的相关位置平面与点的相关位置 1 计算下列点和平面间的离差和距离 1 3 4 2 M 0322 zyx 2 3 2 1 M 0435 zyx 解 解 将的方程法式化 得 01 3 2 3 1 3 2 zyx 故离差为 3 1 13 3 2 4 3 1 2 3 2 M 到的距离M 3 1 Md 2 类似 1 可求得 0 35 4 35 3 35 6 35 5 M 到的距离M 0 Md 2 求下列各点的坐标 1 在轴上且到平面的距离等于 4 个单位的点 y02222 zy 2 在轴上且到点与到平面距离相等的点 z 0 2 1 M09623 zyx 3 在 x 轴上且到平面和距离相等的点 01151612 zyx0122 zyx 解 解 1 设要求的点为则由题意 0 0 0 yM 4 9 22 0 y 或 7 61 0 y 5 0 y 即所求的点为 0 5 0 及 0 7 0 2 设所求的点为则由题意知 0 0 0 z 7 96 21 02 0 22 z z 由此 或 82 13 2 0 z 25 故 要求的点为及 2 0 0 13 82 0 0 3 设所求的点为 由题意知 0 0 0 x 3 12 25 1012 0 x 由此解得 或 11 43 2 0 x 所求点即 2 0 0 及 11 43 0 0 3 已知四面体的四个顶点为 计算从顶点向底 4 1 1 5 11 2 3 5 3 4 6 0 CBASS 面 ABC 所引的高 解 解 地面 ABC 的方程为 0522 zyx 所以 高 3 3 5426 h 4 求中心在且与平面相切的球面方程 2 5 3 C01132 zyx 解 球面的半径为 C 到平面 的距离 它为 01132 zyx 142 14 28 14 116532 R 所以 要求的球面的方程为 56 2 5 3 222 zyx 即 0184106 222 zyxzyx 5 求通过轴其与点相距 8 个单位的平面方程 x 5 4 13M 解 设通过轴的平面为它与点相距 8 个单位 从而x0 ByCz 5 4 13M 因此 22 22 413 8 481041050 BC BBCC BC 1235430 BCBC 从而得或于是有或12350BC 430 BC 35 12B C 3 4 B C 所求平面为或 35120yz 340 yz 6 求与下列各对平面距离相等的点的轨迹 26 053407263 yxzyx和 062901429 zyxzyx和 解 07263 7 1 1 zyx 0534 5 1 2 yx 令 534 5 1 7263 7 1 yxzyx 化简整理可得 与 0105113 zyx07010943 zyx 对应项系数相同 可求 从而直接写出所求的方程 4 2 614 2 21 DD D 0429 zyx 9 判别点 M 2 1 1 和 N 1 2 3 在由下列相交平面所构成的同一个二面角内 还是在相邻二面角内 或是在对顶的二面角内 1 与 1 3 230 xyz 2 240 xyz 2 与 1 2 510 xyz 2 3 2610 xyz 解 1 将 M 2 1 1 N 1 2 3 代入 得 1 6 123 0 3263 0 则 M N 在的异侧 1 再代入 得 2 22 147 0 1 4344 0 MN 在的同侧 2 MN 在相邻二面角内 2 将 M 2 1 1 N 1 2 3 代入 得 1 4 1 5 19 0 22 15 18 0 则 MN 在的异侧 1 再代入 得 2 662 1130 34 18 1200 则 MN 在的异侧 2 27 MN 在对顶的二面角内 10 试求由平面 与 所成的二面角的角平 1 2230 xyz 2 32610 xyz 分方程 在此二面角内有点 1 2 3 解 设 p x y z 为二面角的角平分面上的点 点 p 到的距离相等 12 化简得 222222 2233261 212326 xyzxyz 5332190 1 234240 2 xyz xyz 把点 p 代入到上 12 1 0 2 0 在 1 上取点 0 0 代入 18 5 12 12 00 在 2 上取点 0 0 6 代入 12 12 00 2 为所求 解平面的方程为 34240 xyz 3 3 两平面的相关位置两平面的相关位置 1 判别下列各对直线的相关位置 1 与 0142 zyx03 24 z yx 2 与 0522 zyx013 zyx 3 与 05426 zyx0 2 9 639 zyx 解 解 1 1 中的两平面平行 不重合 1 2 1 4 1 4 2 1 2 2 中两平面相交 1 3 1 2 1 2 3 3 中两平面平行 不重合 6 3 9 4 2 6 2 分别在下列条件下确定的值 nml 1 使和表08 3 1 3 znymxl016 3 9 3 zlynxm 示同一平面 2 使与表示二平行平面 0532 zmyx0266 zylx 3 使与表示二互相垂直的平面 013 zylx027 zyx 解 解 1 欲使所给的二方程表示同一平面 则 28 16 8 3 3 9 1 3 3 l n n m m l 即 092 072 032 nl mn lm 从而 9 7 l 9 13 m 9 37 n 2 欲使所给的二方程表示二平行平面 则 6 3 6 2 m l 所以 4 l3 m 3 欲使所给的二方程表示二垂直平面 则 0327 l 所以 7 1 l 3 求下列两平行平面间的距离 1 0218419 zyx0428419 zyx 2 07263 zyx014263 zyx 解 解 1 将所给的方程化为 01 21 8 21 4 21 19 zyx 02 21 8 21 4 21 19 zyx 所以两平面间的距离为 2 1 1 2 同 1 可求得两平行平面间的距离为 1 2 3 4 求下列各组平面所成的角 1 011 yx083 x 2 012632 zyx0722 zyx 解 1 设 1 011 yx 2 083 x 2 2 32 3 cos 21 或 4 21 4 3 2 设 1 012632 zyx 2 0722 zyx 29 21 8 37 1262 cos 21 或 21 8 cos 1 21 21 8 cos 1 21 5 求下列平面的方程 1 通过点和且与坐标面成角的平面 1 0 0 1 M 0 0 3 2 MxOy 0 60 2 过轴且与平面成角的平面 z0752 zyx 0 60 解 设所求平面的方程为 1 13 z b yx 又 xoy 面的方程为 z 0 所以 2 1 1 1 3 1 10 1 0 3 1 60cos 2 22 b b 解得 所求平面的方程为 20 3 b1 26 3 3 z yx 即03326 zyx 设所求平面的方程为 则0 ByAx 2 1 514 2 60cos 22 BA BA 或 3 0383 22 B ABABA BA3 所求平面的方程为或 03 yx03 yx 3 4 空间直线的方程空间直线的方程 1 求下列各直线的方程 1 通过点和点的直线 1 0 3 A 1 5 2 B 2 通过点且平行于两相交平面 0000 zyxM i 0 iiii DzCyBxA 的直线 2 1 i 30 3 通过点且与三轴分别成的直线 3 51 Mzyx 120 45 60 4 通过点且与两直线和垂直的直线 2 0 1 M 1 1 11 1 zyx 0 1 1 1 1 zyx 5 通过点且与平面垂直的直线 5 3 2 M02536 zyx 解 解 1 由本节 3 4 6 式 得所求的直线方程为 0 1 532 3 zyx 即 亦即 0 1 55 3 zyx 0 1 11 3 zyx 2 欲求直线的方向矢量为 22 11 22 11 22 11 BA BA AC AC CB CB 所以 直线方程为 22 11 0 22 11 0 22 11 0 BA BA zz AC AC yy CB CB xx 3 欲求的直线的方向矢量为 2 1 2 2 2 1 120cos 45cos 60cos 故直线方程为 1 3 2 5 1 1 zyx 欲求直线的方向矢量为 2 1 10 1 11 1 1 所以 直线方程为 2 2 11 1 zyx 欲求的直线的方向矢量为 5 3 6 所以直线方程为 5 5 3 3 6 2 zyx 求以下各点的坐标 在直线上与原点相距 个单位的点 3 8 1 8 2 1 zyx 关于直线与点对称的点 0322 0124 zyx zyx 1 0 2 P 解 解 设所求的点为 则 zyxM 31 tz ty tx 38 8 21 又 2222 25 zyx 即 2222 25 38 8 21 ttt 解得 或4 t 7 62 所以要求的点的坐标为 7 130 7 6 7 117 20 12 9 已知直线的方向矢量为 或为 3 6 62 1 24 1 1 1 2 2 过垂直与已知直线的平面为 P0 1 2 2 2 zyx 即 0322 zyx 该平面与已知直线的交点为 所以若令为 P 的对称点 则 3 1 1 zyx P 2 2 1 x 2 0 1 y 2 1 3 z 7 2 0 zyx 即 7 2 0 P 求下列各平面的方程 通过点 且又通过直线的平面 1 0 2 p 3 2 12 1 zyx 通过直线且与直线 1 1 5 3 1 2 zyx 052 032 zyx zyx 平行的平面 通过直线且与平面垂直的平面 2 2 3 2 2 1 zyx 0523 zyx 通过直线向三坐标面所引的三个射影平面 0142 09385 zyx zyx 解 解 因为所求的平面过点和 且它平行于矢量 所以 1 0 2 p 2 0 1 p 3 1 2 要求的平面方程为 32 0 303 312 12 zyx 即 015 zyx 已知直线的方向矢量为 5 3 11 2 11 1 2 平面方程为 0 531 151 132 zyx 即015211 zyx 要求平面的法矢量为 13 8 11 2 32 3 2 平面的方程为 0 2 13 2 8 1 zyx 即 09138 zyx 4 由已知方程 0142 09385 zyx zyx 分别消去 得到 xyz 0231136 zy079 zx06411 yx 此即为三个射影平面的方程 4 化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程 并求出直线的方向余弦 1 2 0323 012 zyx zyx 0642 06 zyx zx 3 2 0 x zyx 解 解 1 直线的方向数为 5 1 3 13 12 32 21 21 11 射影式方程为 5 9 5 1 5 2 5 3 zy zx 33 即 5 9 5 1 5 2 5 3 zy zx 标准方程为 z yx 5 1 5 9 5 3 5 2 方向余弦为 35 3 5 35 5 3 cos 35 1 5 35 5 1 cos 35 5 5 35 1 cos 2 已知直线的方向数为 4 3 4 42 01 21 11 14 10 射影式方程为 4 18 4 3 4 24 4 4 zy zx 即 2 9 4 3 6 zy zx 标准方程为 z y x 4 3 2 9 1 6 方向余弦为 41 4 4 41 1 cos 41 3 4 41 4 3 cos 41 4 4 41 1 cos 3 已知直线的方向数为 1 1 0 1 1 0 01 11 10 11 00 11 34 射影式方程为 2 2 zy x 标准式方程为 z yx 1 2 0 2 方向余弦为 0cos 2 1 cos 2 1 cos 5 一线与三坐标轴间的角分别为 证明 222 sinsinsin2 证 即 222 coscoscos1 222 1 sin1 sin1 sin1 222 sinsinsin2 3 5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置 1 判别下列直线与平面的相关位置 1 与 37 4 2 3zyx 3224 zyx 2 与 723 zyx 8723 zyx 3 与 012 05235 zyx zyx 07734 zyx 4 与 49 92 tz ty tx 010743 zyx 解 解 1 0 2 3 2 7 4 2 而 017302 4 234 所以 直线与平面平行 2 0717 2 233 所以 直线与平面相交 且因为 7 7 2 2 3 3 直线与平面垂直 3 直线的方向矢量为 1 9 51 1 22 3 5 0179354 而点在直线上 又 0 5 2 M07 5 3 2 4 35 所以 直线在平面上 4 直线的方向矢量为 9 2 1 097 2 413 直线与平面相交 2 试验证直线 与平面 相交 并求出它的交点l 2 1 1 1 1 zyx 032 zyx 和交角 解 解 032111 1 2 直线与平面相交 又直线的坐标式参数方程为 tz ty tx 21 1 设交点处对应的参数为 0 t 03 21 1 2 000 ttt 1 0 t 从而交点为 1 0 1 又设直线 与平面的交角为 则 l 2 1 66 2111 1 2 sin 6 3 确定的值 使 ml 1 直线与平面平行 13 2 4 1zyx 0153 zylx 2 直线与平面垂直 13 54 22 tz ty tx 076 zmylx 解 解 1 欲使所给直线与平面平行 则须 015334 l 即 1 l 2 欲使所给直线与平面垂直 则须 36 3 6 42 ml 所以 8 4 ml 4 决定直线和平面的相 0 0 222 111 zCyBxA zCyBxA 0 212121 zCCyBBxAA 互位置 解 在直线上任取 有 1111 zyxM 0 0 121212 111111 zCyBxA zCyBxA 0 121121121 zCCyBBxAA 这表明在平面上 所以已给的直线处在已给的平面上 1 M 5 设直线与三坐标平面的交角分别为证明 2 coscoscos 222 证明 设直线与 X Y Z 轴的交角分别为而直线与 yoz zox xoy 面的交角依次为 那么 而 2 2 2 1 coscoscos 222 1 2 cos 2 cos 2 cos 222 1 sinsinsin 222 从而有 2 coscoscos 222 6 求下列球面的方程 1 与平面 x 2y 3 0 相切于点且半径 r 3 的球面 3 1 1 M 2 与两平行平面 6x 3y 2z 35 0 和 6x 3y 2z 63 0 都相切且于其中之一相切于点 的球面 1 1 5 M 解 为过切点且垂直与已知平面的直线 tz ty tx 3 2 3 3 2 1 3 1 1 37 显见是这条直线的方向余弦 3 2 3 2 3 1 取 则得 3 t3 2 yx 取 则得 3 t5 1 0 zyx 故所求球面有两个 与 9132 222 zyx 951 22 2 zyx 为过点且垂直于两平面的直线 将其代入第二个平tztytx21 31 65 面方程 得 反代回参数方程 得 设球之中心为 半径为 则2 t3 5 7 zyxCr 故所求球面方程 49112115 1 2 1 222 2 rC 为 49121 222 zyx 3 7 空间直线的相关位置空间直线的相关位置 1 直线方程的系数满足什么条件才能使 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 1 直线与轴相交 2 直线与轴平行 3 直线与轴重合 xxx 解 解 1 所给直线与轴相交 使x 0 x 且0 101 DxA0 202 DxA 且 不全为零 0 22 11 DA DA 1 A 2 A 2 轴与平面平行 x0 1111 DzCyBxA 0001 111 CBA 0 1 A 又轴与平面平行 所以x0 2222 DzCyBxA 0001 221 CBA 0 2 A 即 但直线不与轴重合 0 21 AAx 不全为零 21 D D 3 参照 2 有 且 0 21 AA0 21 DD 38 2 确定值使下列两直线相交 1 与轴 0154 0623 zyx zyx z 2 与 1 2 1 1 1 zyx zyx 11 解 1 若所给直线相交 则有 类似题 1 0 15 62 从而 5 2 若所给二直线相交 则 0 111 21 11111 从而 4 5 3 判别下列各对直线的相互位置 如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面 如果 是异面直线 求出它们之间的距离 1 与 0623 022 yx zyx 0142 0112 zx zyx 2 与 1 3 1 8 3 3 zyx 4 6 2 7 3 3 zyx 3 与 2 12 tz ty tx 5 2 17 4 4 1 zyx 解 解 1 将所给的直线方程化为标准式 为 43 4 3 2 2 3 z yx 43 2 2 7 zyx 2 3 4 2 3 4 二直线平行 又点与点 7 2 0 在二直线上 0 4 3 2 3 矢量平行于二直线所确定的平面 该平面的法矢量为 0 4 5 2 11 0 4 3 2 2 3 7 39 19 22 5 0 4 5 2 11 4 3 2 从而平面方程为 0 0 19 2 22 7 5 zyx 即 0919225 zyx 2 因为 0270 423 113 637833 二直线是异面的 二直线的距离 303270 3156 270 4 2 31 1 3 423 113 3156 222 d 3 因为 0 574 121 031 但是 1 2 1 4 7 5 所以 两直线相交 二直线所决定的平面的法矢量为 1 1 35 7 412 1 平面的方程为 33 zyx 4 给定两异面直线 与 试求它们的公垂线方程 0 1 12 3 zyx 10 2 1 1zyx 解 因为 1 2 11 0 10 1 2 公垂线方程为 0 121 101 21 0 121 012 13 zyx zyx 即 02222 0852 zyx zyx 亦即 01 0852 zyx zyx 40 5 求下列各对直线间的角 1 6 1 9 3 22 5 6 2 3 1 zyxzyx 与 2 023 0264 022 0243 zy zyx zyx zyx 与 解 1 77 72 368144369 12546 cos 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 zyxzyx zzyyxx 77 72 arccos 77 72 arccos 或 2 直线 4 3 4 12 6 3023 0264 11210 022 0243 z yx zy zyx zyx zyx zyx 的对称式方程为 的对称式方程为 195 98 1513 98 1614491214100 442430 cos 195 98 arccos 195 98 arccos 或 6 设和分别是坐标原点到点和的距离 证明当d d M a b c M a b c 时 直线通过原点aabbccdd MM 证 而当 OMa b c OMa b c OM OMaabbcc 时 必有 OM OMOM OM cos OM OMdd cos 1OM OM 当时 直线通过原点 OMOM aabbccdd MM 7 求通过点且与平面平行 又与直线相 2 0 1 0123 zyx 12 3 4 1zyx 交的直线方程 解 设过点的所求直线为 2 0 1 21 Z z Y y X x 它与已知平面平行 所以有 1 0123 zyx023 zyx 又 直线与已知直线相交 那么必共面 又有 41 0124 200311 ZYX 即 7x 8y 12z 0 2 由 1 2 得 31 50 4 87 13 712 32 128 21 ZYX 而 1 2 431 50 4 所求直线的方程为 31 2 504 1 zyx 8 求通过点且与两直线都相交的直线方 1 0 4 442 3 22 1 zyx zyx zyx zyx 与 程 解 设所求直线的方向矢量为 zyx v 则所求直线可写为 14 Z z Y y X x 直线平行于矢量 1 l 3 3 01 1 21 1 1 21 nn 矢量为直线的方向矢量 3 3 0 v 1 l 由于因此令 y o 解方程组得0 21 11 x 1 z o 点 1 o o 为直线上的一点 1 l 直线的标准方程为 1 l 6 2 15 5 zyx 3 3 0 1 0 0 1 1121 v Mllll方向矢量为过点都相交且与 6 1 5 2 2 0 1 22 v Ml方向矢量过点 有0330 103 11 ZYX vvpm 即 X 3Y 3Z 0 42 0615 103 22 ZYX vvpm 即 X 13Y 3Z 0 得 X Y Z 30 6 16 又 3 3 016 6 30 即 1 vv不平行 6 1 516 6 30 即 2 vv不平行 所求直线方程为 8 1 315 4 zyx 9 求与直线平行且和下列两直线相交的直线 1 3 7 1 8 2 zyx 53 42 34 65 yz xz xz xz tz ty tx tz ty tx 74 105 53 32 解 在两直线上分别取两点 4 3 0 39 0 9 21 MM 第一条直线的方向矢量为 0 1 0 1 v 第二条直线的方向矢量为 6 2 3 2 v 作两平面 0 010 178 399 1 zyx 0 623 178 43 2 zyx 即 03198 03038 zyxzx 将其联立即为所求直线的方程 03198 03038 zyx zx 43 1 021532 0 178 132 53 zyx zyx 即 2 017 0 178 145 710 zyx zyx 即 1 2 联立 017 021532 zyx zyx 这就是所要求的直线方程 10 求过点且与直线相交的直线方程 0 1 2 垂直 2 25 23 5 zyx l 解 设所求直线的方向矢量为 ZYXv 0 则所求直线可写为 0 l 012 Z z Y y X x 223 2505 的方向矢量直线 过点直线 v lMl 0 00 vvll垂直 所以有与 3X 2Y 2Z 0 1 0 223 2503 00 ZYX vvMPll相交 则有与 即 50X 69Y 6Z 0 2 由 1 2 得 311 131 120 ZYX 所求直线为 0 l 311131 1 120 2zyx 3 6 空间直线与点的相关位置空间直线与点的相关位置 1 直线通过原点的条件是什么 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 解 解 已知直线通过原点 44 0000 0000 2222 1111 DCBA DCBA 0 0 2 1 D D 故条件为 0 21 DD 2 求点到直线的距离 1 3 2 p 017223 0322 zyx zyx 解 直线的标准方程为 2 25 12 11 zyx 所以 p 到直线的距离为 15 3 45 3 2025 2