正弦稳态电路分析.ppt

1 正弦稳态分析 2 8 3基本元件VAR相量形式和KCL KVL相量形式 8 4复阻抗与复导纳 8 2正弦量的相量表示法 8 1正弦量的基本概念 8 5正弦稳态中的功率 8 6正弦稳态电路中的中的最大功率传输 主要内容 3 学习目标 正确理解正弦量的概念 牢记正弦量的三要素 正确区分瞬时值 最大值 有效值和平均值 深刻理解正弦量的相量表示法 深刻理解和掌握交流电路中电阻 电容 电感元件上的电压 电流之间的相位关系 并能进行相关的计算 正确区分瞬时功率 平均功率 有功功率 无功功率和视在功率 并会进行计算 能进行对称三相电路的计算 4 按物理量是否随时间改变 可分为恒定量 变动量 大小和方向都不随时间而改变 用大写字母表示U I 随时间变化的量 每个时刻值称为瞬时值u t i t 引言 5 大小 方向随时间做周期变化的电流 电压 称为周期电流 电压 交变电流 在一个周期内平均值为零的周期电流 称为交变电流 即 6 7 NikolaTesla 1856 1943 TheManWhoInventedthe20thCentury 8 尼古拉 特斯拉是一位发明了交流发电和供电系统的天才发明家1887他发明了交流供电系统他发明了高频发电机和高频变压器 他发明了日光灯 霓虹灯 速度计 汽车点火系统 雷达的基本原理 电子显微镜 微波炉 激光 9 特兹拉的专利收费已经超过了1百万美元不过特兹拉的梦想是让所有人都用上便宜的交流电 于是他放弃了自己的专利收益权 不但放弃了做成世界首富的机会 而且花费216600美元推广其专利 10 8 1正弦量的基本概念 8 1 1正弦量的三要素若电压 电流是时间t的正弦函数 称为正弦交流电 以电流为例 正弦量的一般解析式为 波形如图4 1所示 图4 1正弦量的波形 11 8 1 1正弦波的特征量 12 为正弦电流的最大值 正弦波特征量之一 幅度 电量名称必须大写 下标加m如 Um Im 13 描述变化周期的几种方法1 周期T 变化一周所需的时间单位 秒 毫秒 正弦波特征量之二 角频率 3 角频率 每秒变化的弧度单位 弧度 秒 2 频率f 每秒变化的次数单位 赫兹 千赫兹 14 正弦量每经历一个周期的时间T 相位增加2 则角频率 周期T和频率 之间关系为 T 反映的都是正弦量变化的快慢 越大 即 越大或T越小 正弦量变化越快 越小 即 越小或T越大 正弦量变化越慢 15 正弦波特征量之三 初相位 t 0时的相位 称为初相位或初相角 正弦波的相位角或相位 16 用正弦函数表示正弦波形时 把波形图上原点前后正负T 2内曲线由负变正经过零值的那一点作为正弦波的起点 初相角就是波形起点到坐标原点的角度 于是初相角不大于 且波形起点在原点左侧 反之 17 图4 2 如图4 2所示 初相分别为0 18 初相为正值的正弦量 在t 0时的值为正 起点在坐标原点之左 初相为负值的正弦量 在t 0时的值为负 起点在坐标原点之右 19 把振幅 角频率和初相称为正弦量的三要素 只有确定了三要素 正弦量才是确定的 20 8 1 2 同频率正弦量的相位差 设有两个同频率的正弦量为 正弦量的相位是随时间变化的 但同频率的正弦量的相位差不变 等于它们的初相之差 21 两个同频率正弦量间的相位差 初相差 22 初相相等的两个正弦量 它们的相位差为零 这样的两个正弦量叫做同相 同相的正弦量同时达到零值 同时达到最大值 步调一致 两个正弦量的初相不等 相位差就不为零 不同时达到最大值 步调不一致 23 两种正弦信号的相位关系 相位差为0 24 如果 则表示i1超前i2 如果 则表示i1滞后i2 如果 则两个正弦量正交 如果 则两个正弦量反相 如图4 3 a b c d 分别表示两个正弦量同相 超前 正交 反相 25 同频率正弦量的相位差 不随时间变化 与计时起点的选择无关 为了分析问题的方便 在一些有关的同频率正弦量中 可以选择其中的一个初相为零的正弦量为参考 其他正弦量的初相必须与这个参考正弦量的初相比较 即以其他正弦量的初相等于它们和参考正弦量之间的相位差 在n个正弦量中 只能选择一个为参考正弦量 26 8 1 3正弦电流 电压的有效值1 有效值周期量的有效值定义为 一个周期量和一个直流量 分别作用于同一电阻 如果经过一个周期的时间产生相等的热量 则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小 根据有效值的定义 则有 则周期电流的有效值为 27 有效值电量必须大写 如 U I 交流电流i通过电阻R在一个周期T内产生的热量与一直流电流I通过同一电阻在同一时间T内产生的热量相等 则称I的数值为i的有效值 28 对于正弦电流 设 29 30 8 2 1复数及运算 1 复数A表示形式 8 2正弦量的相量表示法 31 1 复数A表示形式 一个复数A可以在复平面上表示为从原点到A的向量 此时a可看作与实轴同方向的向量 b可看作与虚轴同方向的向量 由平行四边形法则 则a jb即表示从原点到A的向量 其模为 A 幅角为 所以复数A又可表示为 A a jb 32 两种表示法的关系 或 2 复数运算 1 加减运算 直角坐标 若A1 a1 jb1 A2 a2 jb2 加减法可用图解法 8 3复数复习 A1 A2 a1 a2 j b1 b2 复数的加减运算规律 两个复数相加 或相减 时 将实部与实部相加 或相减 虚部与虚部相加 或相减 33 2 乘除运算 极坐标两个复数相乘 将模相乘 辐角加 两个复数相除 将模相除 辐角相减 因为通常规定 逆时针的辐角为正 顺时针的辐角为负 则复数相乘相当于逆时针旋转矢量 复数相除相当于顺时针旋转矢量 34 j j 1都可以看成旋转因子 3 旋转因子 复数ejy cosy jsiny 1 y Aejy 35 欧拉公式 考察复数项级数 此级数在复平面上是绝对收敛的 在x轴上它表示指数函数ex 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数 记为ez 即 36 当x 0时 z iy 于是 cosy isiny 把y定成x得eix cosx isinx 这就是欧拉公式 37 欧拉公式 eix cosx isinx 复数z可以表示为z r cosq isinq reiq 其中r z 是z的模 q argz是z的辐角 复数的指数形式 由eix cosx isinx及e ix cosx isinx 得 欧拉公式的其它形式 这两个式子也叫做欧拉公式 38 千万牢记 欧拉公式 39 8 3 2正弦量的相量表示设有一复数它和一般的复数不同 它不仅是复数 而且辐角还是时间的函数 称为复指数函数 由于 可见A t 的虚部为正弦函数 这样就建立了正弦量和复数之间的关系 为用复数表示正弦信号找到了途径 40 正弦波形与旋转矢量的对映 41 42 能不能使正弦矢量停止旋转进行研究 43 44 相量 以正弦量的有效值为模 以初相为辐角的一个复常量定义为正弦量的相量 如正弦电流 其相量为 45 式中同理 46 把这个复数分别称为正弦量的有效值相量和振幅相量 特别应该注意 相量与正弦量之间只具有对应关系 而不是相等的关系 相量可以看作是正弦量省略了时间关系的等效数学表达式 47 如果已知一个相量 则将相量乘以时间因子 并取其实部 或虚部 就得到了与相量对应的正弦量 如果已知一个正弦量 则将正弦量表达为复数的虚部 复数用指数形式表达 然后把这个复数去掉时间因子得到的复数就是与正弦量对应的相量 48 复数A 49 时域表示 相量域表示 频率域 50 正弦矢量与相量的区别 51 52 例已知u1 141sin t 60o V u2 70 7sin t 45o V 求 求相量 2 求两电压之和的瞬时值u t 3 画出相量图 53 例已知u1 141sin t 60o V u2 70 7sin t 45o V 求 求相量 2 求两电压之和的瞬时值u t 3 画出相量图 解 1 54 2 3 相量图如图4 4所示 图4 4 55 8 4基本元件VAR相量形式和KCL KVL相量形式 8 4 1基本元件VAR的相量形式在交流电路中 电压和电流是变动的 是时间的函数 电路元件不仅有耗能元件的电阻 而且有储能元件电感和电容 下面分别讨论它们的伏安关系式 即VAR 的相量形式 1 电阻元件 根据欧姆定律得到 56 其相量关系为 上式表明电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流是同相的 相量 波形图如图4 5所示 57 图4 5电阻元件的电压 电流相量及波形图 58 59 2 电容元件电容元件上电压 电流之间的相量关系式为 60 将上式改写为 61 图4 6电容元件的波形 相量图 可以用相量图或波形图清楚地说明 如图4 6所示 电容元件上 电流振幅为电压振幅的 C倍 电容电流超前电容电压90 62 63 3 电感元件 电感元件上电压 电流之间的相量关系式为 64 正弦量和相量的对应过程 65 上式表明电感上电流滞后电压为90 通常把XL L定义为电感元件的感抗 它是电压有效值与电流有效值的比值 对于一定的电感L 当频率越高时 其所呈现的抗感越大 反之越小 在直流情况下 频率为零 XL 0 电感相当于短路 电感元件上电压 电流之间的相量关系式为 66 图4 7电感元件的波形 相量图 电感元件的波形 相量图如图4 7所示 电感上电流滞后电压90 电压振幅为电流振幅 L倍 67 68 以上讲授了相量形式下的支路VCR在相量形式下KVL KCL同样成立 69 8 4 3电路的相量模型 phasormodel 时域列写微分方程 相量形式代数方程 时域电路 相量模型 相量模型 电压 电流用相量 元件用复数阻抗或导纳 70 应用相量法求解习题的步骤 将电路转换为相量模型 应用相量形式下的支路VCR KCL KVL对电路进行解算 71 例题图示电路 72 解 画出与此电路对应的相量形式表示的电路图 设电路的电流相量为参考相量 即令 根据元件VCR 73 根据KVL 有 所以 74 元件电压电流关系的总结 75 9 4复阻抗与复导纳 9 4 1复阻抗 设由R L C串联组成无源二端电路 如图4 8所示 流过各元件的电流都为I 各元件上电压分别为uR t uL t uC t 端口电压为u t 图4 8 76 77 因为u t uR t uL t uC t 即 所以 上式是正弦稳态电路相量形式的欧姆定律 78 称Z为该无源二端电路的复阻抗 或阻抗 它等于端口电压相量与端口电流相量之比 79 当频率一定时 阻抗Z是一个复常数 可表示为指数型或代数型 即 式中 Z 称为阻抗的模 其中X XL XC称为电抗 电抗和阻抗的单位都是欧姆 称为阻抗角 它等于电压超前电流的相位角 即 80 9 4 2复导纳 对于如图4 9所示R L C并联电路 根据相量形式KCL 得到 图4 9RLC并联电路 81 82 Y为无源二端电路的复导纳 或导纳 对于同一电路 导纳与阻抗互为倒数 Y 称为导纳模 它等于阻抗模的倒数 对于同一电路 导纳模与阻抗模也互为倒数 称为导纳角 导纳角等于电流与电压的相位差 它也等于负的阻抗角 83 84 阻抗和导纳可以等效互换 85 用代数形式有 86 无源元件的阻抗和导纳 87 9 4 3阻抗导纳的串联和并联 阻抗的串联和并联电路的计算 在形式上与电阻的串联和并联电路相似 各个阻抗的电压分配为 其中为总电压 为第k个阻抗的电压 对于N个阻抗串联而成的电路 其等效阻抗 88 各个导纳的电流分配为 其中为总电压 为第k个导纳的电流 对于N个导纳并联联而成的电路 其等效导纳 89 例9 1RLC串联电路如图所示 其中 端电压 试求电路中的电流I 瞬时表达式 和各元件的电压相量 90 解 用相量法求解时 可先求出已知相量和设定待求相量 本例已知 为待求量 然后计算各部分阻抗 91 各元件电压相量 正弦电流i为 92 9 4 4电路的相量图分析阻抗 导纳 串并联电路时 可利用相关的电压和电流相量在复平面上组成的电路的相量图 93 电路中存在并联部分的处理方法1以并联部分的电压相量为参考相量 2根据支路VCR确定各并联支路的电流相量与电压相量之间的夹角 3再根据结点上的KCL方程 用相量平移求和法则 画出结点上各支路电流相量组成的多边形 电路中存在串联部分的处理方法1以串联部分的电流相量为参考相量 2根据支路VCR确定有关电压相量与电流相量之间的夹角 3再根据结点上的KVL方程 用相量平移求和法则 画出回路上各电压相量所组成的多边形 相量图作图方法 94 例9 3画出例9 1电路的相量图 95 解 本题为串联电路 以电流相量为参考 绘制相量多边形 96 9 4 5正弦稳态电路的分析 对于电阻电路有 对于正弦电流电路的对应相量有 97 1 据原电路图画出相量模型 电路结构不变 2 根据相量模型列出相量方程式或画相量图 二 一般正弦交流电路的解题步骤 3 用复数符号法或相量图求解 4 将结果变换成要求的形式 在正弦交流电路中 若正弦量用相量表示 电路参数用复数阻抗表示 则直流电路中介绍的基本定律 公式 分析方法都能用 具体步骤如下 98 例9 5图9 7示电路中的独立电源全都是同频正弦量试列出该电路的结点电压方程和回路电流方程 解 结点电压方程为 99 对于该回路的回路电流方程 如图方向 有如下方程 100 例9 6图9 8中的独立电源全都是同频正弦量 列出电路的结点电压方程和回路电流方程 101 解 此电路有无伴电压源和无伴受控电流源 列结点电压方程时 可令结点 为参考结点 对结点 列出下列方程 102 列回路电流方程时 设回路电流为 如图所示 并令受控电流源两端电压为 103 该回路的回路电流方程为 另有 104 例9 7求图9 9 a 所示一端口的戴维宁等效电路 解 戴维宁等效电路的开路电压和戴维宁等效电阻的求解方法与电阻电路相似 105 按图9 9 b 求解等效阻抗 106 在端口置一电压源 与独立源同频率 求得后有 可以设为已知 然后求出 107 9 5正弦稳态中的功率 9 5 1R L C元件的功率和能量1 电阻元件的功率设正弦稳态电路中 在关联参考方向下 瞬时功率为pR t u t I t 设流过电阻元件的电流为IR t Imsin tA其电阻两端电压为uR t ImRsin t Umsin tV则瞬时功率为 108 pR t u t i t 2URIRsin2 t URIR 1 cos2 t W由于cos2 t 1 故此pR t URIR 1 cos2 t 0 109 其瞬时功率的波形图如4 10所示 由图可见 电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的 而且pR t 0 说明电阻元件是耗能元件 图4 10电阻元件的瞬时功率 110 电阻的平均功率 可见对于电阻元件 平均功率的计算公式与直流电路相似 111 2 电感元件的功率在关联参考方向下 设流过电感元件的电流为则电感电压为 112 其瞬时功率为 上式表明 电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的 且pL t 的值可正可负 其波形图如图4 11所示 图4 11电感元件的瞬时功率 113 从图上看出 当uL t iL t 都为正值时或都为负值时 pL t 为正 说明此时电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来 反之 当pL t 为负时 电感元件向外释放能量 pL t 的值正负交替 说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交换 114 电感消耗的平均功率为 电感消耗的平均功率为零 说明电感元件不消耗功率 只是与外界交换能量 115 3 电容元件的功率在电压 电流为关联参考方向下 设流过电容元件的电流为 则电容电压为 其瞬时功率为 116 uc t Ic t pc t 的波形如图4 12所示 图4 12电容元件的瞬时功率 117 从图上看出 pc t 与pL t 波形图相似 电容元件只与外界交换能量而不消耗能量 电容的平均功率也为零 即 电感元件以磁场能量与外界进行能量交换 电容元件是以电场能量与外界进行能量交换 118 9 5 2正弦电流电路中的功率 无源一端口网络吸收的功率 u i关联 1 瞬时功率 instantaneouspower 119 120 第一种分解方法 第二种分解方法 p有时为正 有时为负 p 0 电路吸收功率 p 0 电路发出功率 UIcos 1 cos2 t 为不可逆分量 UIsin sin2 t为可逆分量 121 瞬时功率实用意义不大 一般讨论所说的功率指一个周期平均值 平均功率 averagepower P u i 功率因数角 对无源网络 为其等效阻抗的阻抗角 cos 功率因数 P的单位 W 瓦 2 有功功率 也叫平均功率 和功率因数 122 式中称为二端电路的功率因数 功率因数的值取决于电压与电流之间的相位差 也叫功率因数角 对无源网络 为其等效阻抗的阻抗角 123 一般地 有0 cosj 1 X 0 j 0 感性 滞后功率因数 电流滞后电压 X 0 j 0 容性 超前功率因数 电流超前电压 例 cosj 0 5 滞后 则j 60o 功率因数 平均功率实际上是电阻消耗的功率 亦称为有功功率 表示电路实际消耗的功率 它不仅与电压电流有效值有关 而且与cosj有关 这是交流和直流的很大区别 主要由于电压 电流存在相位差 124 对于RLC串联电路 可见有功功率为R消耗的功率 125 3 无功功率 reactivepower Q 表示交换功率的最大值 单位 var 乏 Q 0 表示网络吸收无功功率 Q 0 表示网络发出无功功率 Q的大小反映网络与外电路交换功率的大小 是由储能元件L C的性质决定的 126 对于RLC串联电路 127 通常将二端电路电压和电流有效值的乘积称为视在功率 用S表示 即 4 视在功率 表观功率 S 反映电气设备的容量 128 P Q S之间存在如下关系 129 9 5复功率 1 复功率 130 9 6最大功率传输 讨论正弦电流电路中负载获得最大功率Pmax的条件 Zi Ri jXi ZL RL jXL 1 ZL RL jXL可任意改变 131 a 先讨论XL改变时 P的极值 显然 当Xi XL 0 即XL Xi时 P获得极值 b 再讨论RL改变时 P的最大值 当RL Ri时 P获得最大值 综合 a b 可得负载上获得最大功率的条件是 此结果可由P分别对XL RL求偏导数得到 132 2 若ZL RL jXL只允许XL改变 此时获得最大功率的条件Xi XL 0 即XL Xi 3 若ZL RL jXL ZL RL XL均可改变 但XL RL不变 即 ZL 可变 不变 最大功率为 此时获得最大功率的条件 ZL Zi 最大功率为 证明如下 略 133 3 的证明 此时Pmax即如 3 中所示 证毕 略 134 谐振 resonance 是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象 作为电路计算没有新内容 主要分析谐振电路的特点 以前我们研究的是同频正弦量 现在研究同阻抗不同频率下线路的特点 9 7串联电路的谐振 含有L C的电路 当电路中端口电压 电流同相时 称电路发生了谐振 一 谐振的定义 135 二 RLC串联电路的谐振 1 谐振条件 谐振角频率 谐振角频率 resonantangularfrequency 谐振频率 resonantfrequency 谐振周期 resonantperiod 136 2 使RLC串联电路发生谐振的条件 1 LC不变 改变w 2 电源频率不变 改变L或C 常改变C w0由电路本身的参数决定 一个RLC串联电路只能有一个对应的w0 当外加频率等于谐振频率时 电路发生谐振 通常收音机选台 即选择不同频率的信号 就采用改变C使电路达到谐振 137 3 RLC串联电路谐振时的特点 根据这个特征来判断电路是否发生了串联谐振 2 入端阻抗Z为纯电阻 即Z R 电路中阻抗值 Z 最小 3 电流I有效值达到最大I0 U R U一定 4 LC上串联总电压为零 即 138 串联谐振时 电感上的电压和电容上的电压大小相等 方向相反 相互抵消 因此串联谐振又称电压谐振 谐振时的相量图 当w0L 1 w0C R时 UL UC U 5 功率 P RI02 U2 R 电阻功率达到最大 即L与C交换能量 与电源间无能量交换 139 三 特性阻抗和品质因数 1 特性阻抗 characteristicimpedance 单位 与谐振频率无关 仅由电路参数决定 2 品质因数 qualityfactor Q 它是说明谐振电路性能的一个指标 同样仅由电路的参数决定 无量纲 谐振时的感抗或容抗 140 a 电压关系 品质因数的意义 即UL0 UC0 QU 谐振时电感电压UL0 或电容电压UC0 与电源电压之比 表明谐振时的电压放大倍数 141 UL0和UC0是外施电压Q倍 如w0L 1 w0C R 则Q很高 L和C上出现高电压 这一方面可以利用 另一方面要加以避免 例 某收音机C 150pF L 250mH R 20 但是在电力系统中 由于电源电压本身比较高 一旦发生谐振 会因过电压而击穿绝缘损坏设备 应尽量避免 如信号电压10mV 电感上电压650mV这是所要的 142 b 功率关系 电源发出功率 无功 电源不向电路输送无功 电感中的无功与电容中的无功大小相等 互相补偿 彼此进行能量交换 有功 143 c 能量关系 设 则 电场能量 磁场能量 电感和电容能量按正弦规律变化 最大值相等WLm WCm 总能量是常量 不随时间变化 正好等于最大值 144 电场能量和磁场能量不断相互转换 有一部分能量在电场和磁场之间作周期振荡 不管振荡过程剧烈程度如何 它都无能量传给电源 也不从电源吸收能量 电感 电容储能的总值与品质因数的关系 UC0 QU 则UCm0 QUm 品质因数越大 总的能量就越大 振荡程度就越剧烈 Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量 一般讲在要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高Q值 与Q2成正比 145 由Q的定义 从这个定义 可以对品质因数的本质有更进一步的了解 维持一定量的振荡所消耗的能量愈小 则振荡电路的 品质 愈好 146 四 RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性 1 阻抗的频率特性 2 电流谐振曲线 谐振曲线 表明电压 电流大小与频率的关系 幅值关系 可见I w 与 Y w 相似 147 X Z XL XC R 阻抗幅频特性 阻抗相频特性 电流谐振曲线 148 从电流谐振曲线看到 谐振时电流达到最大 当w偏离w0时 电流从最大值U R降下来 换句话说 串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应 对谐振信号最突出 表现为电流最大 而对远离谐振频率的信号加以抑制 电流小 这种对不同输入信号的选择能力称为 选择性 3 选择性与通用谐振曲线 a 选择性 selectivity 149 例 一接收器的电路参数为 L 250mH R 20W C 150pF 调好 U1 U2 U3 10mV w0 5 5 106rad s f0 820kHz 150 从多频率的信号中取出w0的那个信号 即选择性 选择性的好坏与谐振曲线的形状有关 愈尖选择性愈好 若LC不变 R大 曲线平坦 选择性差 小得多 收到北京台820kHz的节目 Q对选择性的影响 R变化对选择性的影响就是Q对选择性的影响 151 为了方便与不同谐振回路之间进行比较 把电流谐振曲线的横 纵坐标分别除以w0和I w0 即 b 通用谐振曲线 eta 152 Q越大 谐振曲线越尖 当稍微偏离谐振点时 曲线就急剧下降 电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力 所以选择性好 通用谐振曲线 因此 Q是反映谐振电路性质的一个重要指标 153 称为通频带BW BandWidth 可以证明 I I0 0 707以分贝 dB 表示 20log10I I0 20lg0 707 3dB 所以 1 2称为3分贝频率 略 154 4 UL w 与UC w 的频率特性 略 155 UL w 当w 0 UL w 0 0w0 电流开始减小 但速度不快 XL继续增大 UL仍有增大的趋势 但在某个w下UL w 达到最大值 然后减小 w XL UL U 类似可讨论UC w 略 156 根据数学分析 当 Cm时 UC 获最大值 当 Lm时 UL 获最大值 且UC Cm UL Lm Q越高 wLm和wCm越靠近w0 wLm wCm w0 略 157 上面得到的都是由改变频率而获得的 如改变电路参数 则变化规律就不完全与上相似 上述分析原则一般来讲可以推广到其它形式的谐振电路中去 但不同形式的谐振电路有其不同的特征 要进行具体分析 不能简单搬用 由于电压最大值出现在谐振频率附近很小的范围内 因此同样可以用串联谐振电路来选择谐振频率及其附近的电压 即对电压也具有选择性 158 一 简单G C L并联电