第七章--空间解析几何与向量代数

第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数 1 求点 2 3 1 关于 1 各坐标面 2 各坐标轴 3 坐标原点的 对称点 解答 1 xOy 面 2 3 1 yOz 面 2 3 1 zOx 面 2 3 1 2 x 轴 2 3 1 y 轴 2 3 1 z 轴 2 3 1 3 2 3 1 所属章节 第七章第一节所属章节 第七章第一节 难度 一级难度 一级 2 求点 4 3 5 到坐标原点和各坐标轴的距离 解答 点 4 3 5 到坐标原点的距离为 222 40 30 50 5 2 点 4 3 5 到x轴的距离为 222 44 30 50 34 点 4 3 5 到y轴的距离为 222 40 3 3 50 41 点 4 3 5 到z轴的距离为 222 40 30 55 5 所属章节 第七章第一节所属章节 第七章第一节 难度 一级难度 一级 3 把两点 1 1 1 和 1 2 0 间的线段分成两部分 使其比等于 2 1 试求分点的坐标 解答 设分点坐标为 x y z 则由条件 1112 1201 xyz xyz 解得 51 1 33 xyz 即所求分点坐标为 5 1 1 3 3 所属章节 第七章第一节所属章节 第七章第一节 难度 一级难度 一级 4 设立方体的一个顶点在原点 三条棱分别在三条坐标轴的正半轴上 已知棱 长为 a 求各顶点的坐标 解答 各顶点的坐标为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 aaaa a aa aaaa a 所属章节 第七章第一节所属章节 第七章第一节 难度 一级难度 一级 5 在 yOz 平面上求一点 使它与点 A 3 1 2 点 B 4 2 2 和点 C 0 5 1 的距离相等 解答 设所求点为 0 Py z 则由条件有PAPBPC 故 222222222 03 1 2 04 2 2 00 5 1 yzyzyz 解得1 2yz 即所求点为 0 1 2 所属章节 第七章第一节所属章节 第七章第一节 难度 一级难度 一级 6 在 z 轴上求一点 使它到点 A 4 1 7 和点 B 3 5 2 的距离相 等 解答 设所求点为 0 0 Pz 则由条件有 PAPB 故 222222 04 0 1 7 03 05 2 zz 解得 14 9 z 即所求点为 14 0 0 9 所属章节 第七章第一节所属章节 第七章第一节 难度 一级难度 一级 7 已知向量 a 和 b 的夹角为 60 且5 8 ab试求 ab和 ab 解答 由于 222 2cos129 abab ab aba b 代入已知条件 即可得 129 ab 又由于 222 2cos49 abab ab aba b 故7 ab 所属章节 第七章第三节所属章节 第七章第三节 难度 二级难度 二级 8 设向量 a 和 b 的夹角为 2 3 且3 4 ab试求 1 a b 2 322 abab 解答 1 2 cos3 4 cos6 3 a b ab 2 22 32 2 34461 abababa b 所属章节 第七章第三节所属章节 第七章第三节 难度 二级难度 二级 9 设23 3 Aab Bab其中2 1 ab向量 a 和 b 的夹角为 3 试求 A B及ProjBA 解答 2222 23 3 637637cos28 A Babababa babab 由于 22222 3 3 9696cos31 BB B abababa babab 所以 2828 31 Proj 3131 B A B A B 所属章节 第七章第三节所属章节 第七章第三节 难度 二级难度 二级 10 设2 1 2 k Aab Bab ab且 ab问 1 k 为何值时 AB 2 k 为何值时 A 与 B 为邻边的平行四边形面积为 6 解答 1 要使 AB 则0 A B 即 22 2 2 2 0kkk abababa b 代入条件即240k 解得 2k 2 要使以 A 与 B 为邻边的平行四边形面积为 6 即6 AB 代入条件 即 23k 解得1k 或5 k 所属章节 第七章第四节所属章节 第七章第四节 难度 二级难度 二级 11 已知向量 a 3b 垂直于向量 7a 5b 向量 a 4b 垂直于向量 7a 2b 试求向 量 a 与 b 的夹角 解答 因为 a 3b 7a 5b a 4b 7a 2b 所以 a 3b 7a 5b 0 a 4b 7a 2b 0 即 7 a 2 16a b 15 b 2 0 7 a 2 30a b 8 b 2 0 由以上两式可得 baba 2 于是 2 1 cos ba ba ba 3 ba 所属章节 第七章第三节所属章节 第七章第三节 难度 二级难度 二级 12 设 2 a b c求 abbcca 解答 2 4 abbccaabbccaabaccaa b c 所属章节 第七章第四节所属章节 第七章第四节 难度 二级难度 二级 13 设 3 2 6 2 1 0 ab试求下列各向量的坐标 1 ab 2 1 2 b 3 1 3 ab 解答 1 3 2 62 1 01 1 6 ab 2 111 2 1 01 0 222 b 3 111 3 2 62 1 01 2 333 ab 所属章节 第七章第二节所属章节 第七章第二节 难度 一级难度 一级 14 求向量2 aijk的模以及它与坐标轴之间的夹角 解答 222 1 2 12 a 与坐标轴的夹角余弦分别为 112211 cos cos cos 222 aaa 故与坐标轴的夹角分别为 60 45 60 所属章节 第七章第二节所属章节 第七章第二节 难度 一级难度 一级 15 已知一向量的起点是 A 2 2 5 终点是 B 1 6 7 试求 1 向量AB 在各坐标轴上的投影 2 向量AB 的模和方向余弦 3 AB 的单位向量 解答 由于向量 3 8 2AB 所以 1 向量AB 在各坐标轴上的投影为38 2 2 向量AB 的模 222 3 8277 方向余弦为 382 cos cos cos 777777 3 AB 的单位向量 382 777777 AB AB 所属章节 第七章第二节所属章节 第七章第二节 难度 一级难度 一级 16 已知向量 3 1 2 的起点坐标为 2 0 5 求它的终点坐标 解答 终点坐标为 3 1 22 0 55 1 3 所属章节 第七章第二节所属章节 第七章第二节 难度 一级难度 一级 17 已知向量的终点为 B 2 1 7 它在坐标轴上的投影依次为 4 4 和 7 求该向量起点 A 的坐标 解答 起点 A 的坐标 2 1 74 4 72 3 0 所属章节 第七章第二节所属章节 第七章第二节 难度 一级难度 一级 18 已知向量 1 1 5 2 3 5 ab求与3 ab同向的单位向量 解答 由于 31 1 53 2 3 55 10 10 ab 单位化 与3 ab同向的单位向量为 311 22 5 10 10 3153 33 ab ab 所属章节 第七章第二节所属章节 第七章第二节 难度 一级难度 一级 19 设向量 5 1 3 ll m ab且 ab 试求 l 与 m 的值 题目与解答不统一 如果题目中向量为 5 1 3 1 lm ab 则答案为 1 15 5 lm 即原参考答案 下面按原题解答 参考答案 1 15 5 lm 解答 由于 ab 所以 51 3 l lm 解得 15 15 5 lm 或 15 15 5 lm 所属章节 第七章第二节所属章节 第七章第二节 难度 一级难度 一级 20 已知向量32 23 aijk bijk 试求 a b与 ab 解答 3 2 1 3 2 1 1 a b 3125 7 11 231 ijk ab 所属章节 第七章第四节所属章节 第七章第四节 难度 一级难度 一级 21 已知 1 2 34 4 32 4 3ABC 和 8 6 6D 试求向量AB 在向量 CD 上的投影 解答 3 2 6AB 6 2 3CD 4 Proj 7 CD AB CD AB CD 所属章节 第七章第四节所属章节 第七章第四节 难度 一级难度 一级 22 设直线 L 通过点 2 1 3 和 0 1 2 求点 10 5 10 到直 线 L 的距离 解答 设 2 1 3 0 1 2 10 5 10 ABP 点P到直线L的距离为d 则 12 4 7 10 6 8 2 2 1PAPBAB 利用 1 2 PAB SPA PB 1 2 PAB SABd 解得 10 2d 所属章节 第七章第四节所属章节 第七章第四节 难度 二级难度 二级 23 求点 1 3 2 关于点 1 2 1 的对称点 解答 设 1 3 2 1 2 1 AB 所求点为 C x y z 由题意知ABBC 即 2 5 11 2 1xyz 解得 3 7 0 C 所属章节 第七章第四节所属章节 第七章第四节 难度 一级难度 一级 24 求以向量25 33 25 aij bjk cjk为相邻三棱的平行六面体的体积 解答 由于 250 03342 025 a b c 所以所求六面体的体积为 42V a b c 所属章节 第七章第四节所属章节 第七章第四节 难度 三级难度 三级 25 试证 2 1 2 1 2 1 2 3 0ABC 和 5 0 6D 四点共面 解答 由题意 1 3 3 0 4 2 3 1 4ABACAD 由于 133 0420 314 AB AC AD 所以 A B C D四点共面 所属章节 第七章第四节所属章节 第七章第四节 难度 三级难度 三级 26 确定球面 222 24470 xyzxyz 的球心和半径 参考答案 球心 1 2 2 4 R 本题参考答案有误 解答 将原方程 222 24470 xyzxyz 配方 得 222 1 2 2 9xyz 故球心为 1 2 2 半径为3R 所属章节 第七章第五节所属章节 第七章第五节 难度 一级难度 一级 27 一球面过坐标原点和 2 0 01 1 01 0 1ABC 三点 试确定该球面 的方程 参考答案 2 22 11 xyz 解答 设球面的方程为 2222 000 xxyyzzR 将它所经过的四个点 的坐标代入 即可解得 000 1 0 1xyzR 即球面方程为 2 22 11xyz 所属章节 第七章第五节所属章节 第七章第五节 难度 二级难度 二级 28 试求与 12 2 1 34 1 2MM 距离相等的点的轨迹方程 参考答案 44107 xyz 解答 设动点坐标为 P x y z 则由条件有 12 PMPM 故有 222222 2 1 3 4 1 2 xyzxyz 化简得44107xyz 所属章节 第七章第五节所属章节 第七章第五节 难度 一级难度 一级 29 指出下列方程所表示的曲面 1 22 111 222 xy 2 22 1 49 xy 3 22 1 49 yz 4 2 2zy 解答 1 母线平行于 z 轴的圆柱面 2 母线平行于 z 轴的双曲柱面 3 母线平行于 x 轴的椭圆柱面 4 母线平行于 x 轴的抛物柱面 所属章节 第七章第五节所属章节 第七章第五节 难度 一级难度 一级 30 说明下列旋转曲面是如何形成的并写出其名称 1 2 22 1 4 y xz 2 22 4 xyz 3 222 1 169 zxy 4 222 4xyz 解答 1 旋转单叶双曲面 它是由双曲线 2 2 1 4 0 y x z 或 2 2 1 4 0 y z x 绕 y 轴 旋转而成 2 旋转抛物面 它由抛物线 2 4 0 xz y 或 2 4 0 yz x 绕 z 轴旋转而成 3 旋转双叶双曲面 它是由双曲线 22 1 169 0 zx y 或 22 1 169 0 zy x 绕 z 轴 旋转而成 4 圆锥面 它由相交的两条直线 22 4 0 xz y 或 22 4 0 yz x 绕 z 轴旋转而 成 所属章节 第七章第五节所属章节 第七章第五节 难度 一级难度 一级 31 建立下列旋转曲面的方程 1 曲线 2 5 0 zx L y 绕 x 轴旋转一周所生成的旋转曲面 2 yOz 平面上的椭圆 22 1 49 yz 绕 z 轴旋转一周所生成的曲面 3 xOy 平面上的双曲线 22 4936xy 绕 y 轴和 x 轴旋转一周所生成的曲 面 4 直线 2 0 yx z 绕 x 轴旋转一周所生成的曲面 解答 1 22 5 yzx 2 222 1 449 xyz 3 绕 y 轴 222 49436 xyz 绕 x 轴 222 49936 xyz 4 222 40 xyz 所属章节 第七章第五节所属章节 第七章第五节 难度 一级难度 一级 32 指出下列方程所表示的曲线 1 222 25 3 xyz x 2 22 2 1425 10 xyz y 3 22 1 94 20 yz x 4 2 4 1 xy z 5 222 1 1694 20 xyz x 解答 1 平面 x 3 上的圆 2 平面 y 1 上的圆 3 平面 x 2 上的双曲线 4 平面 z 1 上的抛物线 5 平面 x 2 上的椭圆 所属章节 第七章第五节所属章节 第七章第五节 难度 一级难度 一级 33 求曲线 222 36 2 xyz z 在 xOy 平面上的投影曲线 原参考答案有误 解答 在所给方程中消去z 得 22 12xy 加上0z 即得 22 32 0 xy z 所属章节 第七章第五节所属章节 第七章第五节 难度 一级难度 一级 34 求曲线 22 1 zxy xyz 在 xOy 平面上的投影曲线 解答 在所给方程中消去z 得 22 113 222 xy 加上0z 即得 22 113 222 0 xy z 所属章节 第七章第五节所属章节 第七章第五节 难度 一级难度 一级 35 求下列曲线在 xOy 平面上的投影 1 222 222 41 xyz xyz 2 22 222 4 1 xy xyz 解答 1 在所给方程中消去z 得 22 531xy 加上0z 即得 22 531 0 xy z 2 在所给方程中消去z 得 22 4xy 加上0z 另外由 222 1xyz 知 222 1yxz 故1y 于是投影曲线为 22 4 0 xy z 且1y 所属章节 第七章第五节所属章节 第七章第五节 难度 二级难度 二级 36 求曲线 222 2 22 1 11 xyz xyz 在各坐标面上的投影 解答 xOy 面 22 3 4 0 xy z yOz 面 210 0 z x 且 3 2 y xOz 面 210 0 z y 且 3 2 x 所属章节 第七章第五节所属章节 第七章第五节 难度 二级难度 二级 37 求下列各平面的方程 1 平行与 于 Oy 轴 且通过点 1 5 1 和 3 2 2 2 通过 Ox 轴和点 4 3 1 3 平行于 xOz 平面 且通过点 3 2 7 解答 1 由于所求平面平行于 Oy 轴 故可设方程为0AxCzD 将另 外两点坐标代入即得3250 xz 2 由于所求平面通过 Ox 轴 故可设方程为0ByCz 将另一点坐标 代入即得30yz 3 由于所求平面平行于 xOz 平面 故可设方程为0ByD 又通过 点 3 2 7 故2y 所属章节 第七章第六节所属章节 第七章第六节 难度 一级难度 一级 38 设点 P 3 6 2 为原点到一平面的垂足 求该平面的方程 解答 法向量为 3 6 2nOP 所求平面的方程为 3 3 6 6 2 2 0 xyz 即 362490 xyz 所属章节 第七章第六节所属章节 第七章第六节 难度 一级难度 一级 39 求通过两点 8 3 1 和 4 7 2 且垂直于平面 35210 xyz 的平面方程 解答 由条件可设法向量为 4 10 13 5 115 1 50n 由点法式方程得 15501670 xyz 所属章节 第七章第六节所属章节 第七章第六节 难度 二级难度 二级 40 求通过点 1 2 1P且垂直于两平面0 xy 和50yz 的平面方程 解答 由条件可设法向量为 1 1 00 5 11 1 5n 由点法式方程得 540 xyz 所属章节 第七章第六节所属章节 第七章第六节 难度 二级难度 二级 41 求一个通过点 1 5 1 和 3 2 1 且平行 y 轴的平面方程 解答 由条件可设法向量为 2 7 20 1 02 0 2n 由点法式方程得 20 xz 所属章节 第七章第六节所属章节 第七章第六节 难度 二级难度 二级 42 求 a 和 b 的值 使 1 平面2350 xayz 与620bxyz 平行 2 平面3530 xyaz 与3250 xyz 垂直 解答 1 要使平面2350 xayz 与620bxyz 平行 则两个法向 量平行 故有 23 61 a b 解得 2 18 3 ab 2 要使平面3530 xyaz 与3250 xyz 垂直 必须两个法向量 垂直 故有3 1 5 320a 解得6a 所属章节 第七章第六节所属章节 第七章第六节 难度 一级难度 一级 43 求过点 2 3 8 且平行于直线 243 325 xyz 的直线方程 解答 由于两直线平行 方向向量相同 故得所求直线方程 238 325 xyz 所属章节 第七章第七节所属章节 第七章第七节 难度 一级难度 一级 44 求过点 4 2 3 且垂直于平面2310 xyz 的直线方程 解答 由于所求直线垂直于已知平面 它的方向向量与该平面的法向量相同 即 1 2 3s 于是所求方程为 423 123 xyz 所属章节 第七章第七节所属章节 第七章第七节 难度 一级难度 一级 45 求过点 1 2 1 且平行于直线 210 210 xyz xyz 的直线方程 解答 已知直线的方向向量为 1 1 21 2 13 1 1s 所求直线方向向 量与它相同 于是所求直线方程为 121 311 xyz 所属章节 第七章第七节所属章节 第七章第七节 难度 二级难度 二级 46 试求下列直线的标准方程 1 240 3290 xyz xyz 2 350 280 xz yz 解答 1 令0 x 代入方程 求得直线上一点坐标为 0 1 4 方向向量为 2 4 13 1 29 7 10s 于是标准方程为 14 9710 xyz 2 令0z 代入方程 求得直线上一点坐标为 5 8 0 方向向量为 1 0 30 1 23 2 1s 于是标准方程为 58 321 xyz 所属章节 第七章第七节所属章节 第七章第七节 难度 二级难度 二级 47 确定下列直线与平面的位置关系 1 34 273 xyz 与42230 xyz 2 327 xyz 与641490 xyz 解答 1 直线的方向向量 2 7 3s 平面的法向量 4 2 2n 易证 sn 故所给直线与平面平行 2 直线的方向向量 3 2 7s 平面的法向量 6 4 14n 易证sn A 故所给直线与平面垂直 所属章节 第七章第七节所属章节 第七章第七节 难度 一级难度 一级 48 确定下列直线间的平行或垂直关系 1 27 27 xyz xyz 与 3638 20 xyz xyz 2 21 21 xy yz 与 1 23 xy xz 解答 1 直线 27 27 xyz xyz 的方向向量为 1 1213 1 5 211 ijk s 直线 3638 20 xyz xyz 的方向向量为 2 3639 3 15 211 ijk s 由于它们平行 所以两条直线平行 2 直线 21 21 xy yz 的方向向量为 1 1202 1 2 021 ijk s 直线 1 23 xy xz 的方向向量为 2 1102 2 1 102 ijk s 由于它们垂直 所以两条直线垂直 所属章节 第七章第七节所属章节 第七章第七节 难度 二级难度 二级 49 求直线 221 312 xyz 与平面23380 xyz 的交点和交角 参考答案 9 77 1 1 1 arcsin 154 参考答案有误 解答 将直线方程 221 312 xyz 改写成参数形式 32 2 21 xt yt zt 代入所给平 面方程23380 xyz 解得1t 再代回直线方程 即得交点 1 1 1 由于直线的方向向量为 3 1 2s 平面的法向量 2 3 3n 所以交角的 正弦为 1515 77 sin 1541422 s n sn 于是交角为 15 77 arcsin 154 所属章节 第七章第七节所属章节 第七章第七节 难度 二级难度 二级 50 求点 3 1 1 在平面23300 xyz 上的投影 解答 过已知点 3 1 1 向已知平面作垂线 311 123 xyz 参数形式为 3 21 31 xt yt zt 代入已知平面解得参数 16 7 t 于是交点也即所求投影点为 37 25 41 777 所属章节 第七章第七节所属章节 第七章第七节 难度 二级难度 二级 51 求点 2 3 1 在直线 722 123 xyz 上的投影 解答 过已知点作垂直于已知直线的平面 2 2 1 3 1 0 xyz 再将已知直线的参数方程 7 22 32 xt yt zt 代入 即得参数2t 两者交点即所求投 影点为 5 2 4 所属章节 第七章第七节所属章节 第七章第七节 难度 二级难度 二级 52 在平面1xyz 上求作一直线 使它与直线1 1yz 垂直相交 解答 由于所求直线与直线1 1yz 垂直 故可作平面平行与该已知直线 得平面方程 0 xx 联立已知平面方程1xyz 得一条直线 0 1 xx xyz 又由于所求直线与直线1 1yz 相交 将1 1yz 代入直线方程 0 1 xx xyz 可得 0 1x 于是所求直线方程为 1 1 x xyz 即 111 011 xyz 所属章节 第七章第七节所属章节 第七章第七节 难度 三级难度 三级 53 通过点 1 0 4 作一直线 使它平行于平面34100 xyz 且与直 线 13 312 xyz 相交 解答 过点 1 0 4 作一平面 使它平行于平面34100 xyz 得 3410 xyz 由于所求直线与已知直线 13 312 xyz 相交 将已知直线方程化为参数方程 31 3 2 xt yt zt 代入平面方程3410 xyz 得交点 41 37 32 777 此为所求直 线上另一点 过两点作出直线 14 48374 xyz 即为所求 所