切线长定理(用).ppt

切线长定理 切线的判定方法 1 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 2 到圆心的距离等与圆的半径的直线是圆的切线 3 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 证明一条直线是圆的切线的常见的两种方法 当直线和圆有一个公共点时 把圆心和这个公共点连接起来 然后证明直线垂直于这条半径 简称 作半径 证垂直 当直线和圆的公共点没有明确时 可过圆心作直线的垂线 再证明圆心到直线的距离等于半径 简称 做垂直 证半径 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 几何应用 L是 O的切线 OA L 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 1 经过半径的外端 2 与半径垂直 练习1 已知 AB是弦 AD是切线 判断 DAC与圆周 ABC之间的关系并证明 弦切角 顶点在圆上 一边和圆相交 另一边和圆相切的角叫做弦切角 判别下列图形中的角是不是弦切角 并说明理由 图1 图3 图2 弦切角性质 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 练习5 AB是 O的直径 AE平分 BAC交 O于点E 过点E作 O的切线交AC的延长线于点D 试判断 AED的形状 并说明理由 拓展应用 练习5 AB是 O的直径 AE平分 BAC交 O于点E 过点E作 O的切线交AC的延长线于点D 试判断 AED的形状 并说明理由 拓展应用 O A B P 过圆外一点可以引圆的几条切线 尺规作图 过 O外一点作 O的切线 O P A B O 请跟我做 在经过圆外一点的切线上 这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 O P A B 切线与切线长是一回事吗 它们有什么区别与联系呢 切线长概念 切线 不可以度量 切线长 可以度量 比一比 B O A B P 1 2 请证明你所发现的结论 PA PB OPA OPB 证明 PA PB与 O相切 点A B是切点 OA PA OB PB即 OAP OBP 90 OA OB OP OP Rt AOP Rt BOP HL PA PB OPA OPB 试用文字语言叙述你所发现的结论 证一证 PA PB分别切 O于A B PA PB OPA OPB 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 几何语言 反思 切线长定理为证明线段相等 角相等提供新的方法 切线长定理 A P O B 若连结两切点A B AB交OP于点M 你又能得出什么新的结论 并给出证明 OP垂直平分AB 证明 PA PB是 O的切线 点A B是切点 PA PB OPA OPB PAB是等腰三角形 PM为顶角的平分线 OP垂直平分AB 试一试 A P O B 若延长PO交 O于点C 连结CA CB 你又能得出什么新的结论 并给出证明 CA CB 证明 PA PB是 O的切线 点A B是切点 PA PB OPA OPB PC PC PCA PCB AC BC C 例1 已知 如图 PA PB是 O的两条切线 A B为切点 直线OP交 O于点D E 交AB于C 1 写出图中所有的垂直关系 2 写出图中所有的全等三角形 3 如果PA 4cm PD 2cm 求半径OA的长 A O C D P B E 解 1 OA PA OB PB OP AB 2 OAP OBP OCA OCB ACP BCP 3 设OA xcm 则PO PD x 2 x cm 在Rt OAP中 由勾股定理 得 PA2 OA2 OP2 即42 x2 x 2 2 解得x 3cm 所以 半径OA的长为3cm 利用切线长定理进行计算 练一练 已知 两个同心圆PA PB是大圆的两条切线 PC PD是小圆的两条切线 A B C D为切点 求证 AC BD 探究 PA PB是 O的两条切线 A B为切点 直线OP交于 O于点D E 交AB于C B A P O C E D 1 写出图中所有的垂直关系 OA PA OB PB AB OP 3 写出图中所有相等的线段 2 写出图中与 OAC相等的角 OAC OBC APC BPC OA OB OD OE PA PB AC BC AE BE 已知 如图 PA PB是 O的切线 切点分别是A B Q为AB上一点 过Q点作 O的切线 交PA PB于E F点 已知PA 12CM 求 PEF的周长 易证EQ EA FQ FB PA PB PE EQ PA 12cm PF FQ PB PA 12cm 周长为24cm 例题1 变式 如图所示PA PB分别切圆O于A B 并与圆O的切线分别相交于C D 已知PA 7cm 1 求 PCD的周长 2 如果 P 46 求 COD的度数 C O P B D A E 例2 如图 四边形ABCD的边AB BC CD DA和圆 O分别相切于点L M N P 求证 AD BC AB CD 证明 由切线长定理得 AL AP LB MB NC MC DN DP AL LB NC DN AP MB MC DP 即AB CD AD BC 补充 圆的外切四边形的两组对边的和相等 例题2 P B A O 3 连结圆心和圆外一点 2 连结两切点 1 分别连结圆心和切点 反思 在解决有关圆的切线长问题时 往往需要我们构建基本图形 想一想 例3 ABC的内切圆 O与BC CA AB分别相切于点D E F 且AB 9cm BC 14cm CA 13cm 求AF BD CE的长 解 设AF x cm BD y cm CE z cm AF 4 cm BD 5 cm CE 9 cm O与 ABC的三边都相切 AF AE BD BF CE CD 例题3 A B C E D F O 如图 Rt ABC中 C 90 BC a AC b AB c O为Rt ABC的内切圆 求 Rt ABC的内切圆的半径r 设AD x BE y CE r O与Rt ABC的三边都相切 AD AF BE BF CE CD 解 设Rt ABC的内切圆与三边相切于D E F 连结OD OE OF则OA AC OE BC OF AB 结论 变式 思考 如图 AB是 O的直径 AD DC BC是切线 点A E B为切点 若BC 9 AD 4 求OE的长 例1 已知 P为 O外一点 PA PB为 O的切线 A B为切点 BC是直径 求证 AC OP P A C B D O 例题讲解 练习 如图 ABC中 C 90 它的内切圆O分别与边AB BC CA相切于点D E F 且BD 12 AD 8 求 O的半径r B D E F O C A 如图 ABC的内切圆的半径为r ABC的周长为l 求 ABC的面积S 解 设 ABC的内切圆与三边相切于D E F 连结OA OB OC OD OE OF 则OD AB OE BC OF AC S ABC S AOB S BOC S AOC AB OD BC OE AC OF l r 设 ABC的三边为a b c 面积为S 则 ABC的内切圆的半径r 结论 三角形的内切圆的有关计算 思考 记忆 1 Rt ABC中 C 90 a 3 b 4 则内切圆的半径是 1 A B C E D F O 如图 Rt ABC中 C 90 BC 3 AC 4 O为Rt ABC的内切圆 1 求Rt ABC的内切圆的半径 2 若移动点O的位置 使 O保持与 ABC的边AC BC都相切 求 O的半径r的取值范围 设AD x BE y CE r O与Rt ABC的三边都相切 AD AF BE BF CE CD 解 1 设Rt ABC的内切圆与三边相切于D E F 连结OD OE OF则OA AC OE BC OF AB 解得 r 1 在Rt ABC中 BC 3 AC 4 AB 5 由已知可得四边形ODCE为正方形 CD CE OD Rt ABC的内切圆的半径为1 2 如图所示 设与BC AC相切的最大圆与BC AC的切点分别为B D 连结OB OD 则四边形BODC为正方形 A B O D C OB BC 3 半径r的取值范围为0 r 3 点评 几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法 基础题 1 既有外接圆 又内切圆的平行四边形是 2 直角三角形的外接圆半径为5cm 内切圆半径为1cm 则此三角形的周长是 3 O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆 EF切 O于P点 交AB BC于E F 则 BEF的周长是 E F H G