中心流形定理.ppt

中心流形定理 中心流形定理的作用 当研究复杂的高维非线性动力系统分岔问题时 需要利用中心流形定理或李雅普诺夫方法降低系统维数 中心流形定理比用李雅普诺夫方法简单 明了 可以把一个对 维动力系统在奇点附近的各种性态的研究简化为一个 维 中心流形上的流的方程的研究 线性系统按特征值的性质分为三类子空间 1 稳定子空间Es 0 设矩阵A共有ns个特征值 且实部都小于0 这ns个特征向量构成一个ns维的子空间就是Es 0 2 不稳定子空间Eu 0 设矩阵A共有nu个特征值 且实部都大于0 这nu个特征向量构成一个nu维的子空间就是Eu 0 3 中心子空间Ec 0 设矩阵A共有nc个特征值 且实部都小于0 这nc个特征向量构成一个nc维的子空间就是Ec 0 1 不变稳定流形Ws 0 系统在状态空间的轨道运动被限制在Ws 0 上 且系统在状态空间的流xi ti x 在t 时沿着Ws 0 最终趋于平衡点 原点 2 不变不稳定流形Wu 0 系统在状态空间的轨道运动被限制在Ws 0 是 且系统在状态空间的流xi ti x 在t 时沿着Wu 0 将趋于平衡点 原点 3 不变中心流形Wc 0 表示相切于非线性n维自治系统线性化向量场零特征值所对应的特征向量 中心流形定理 设非线n维自治系统dx dt f x 的平衡点是原点 在平衡点 原点 外对非线性n维自治系统线性化 其线性化系统的不变子空间分为不变稳定子空间Es 0 不变不稳定子空间Eu 0 不变中心子空间Ec 0 而其非线性n维自治系统的流形则分为稳定流形Ws 0 不稳定流形Wu 0 和中心流形Wc 0 它们分别在平衡点 原点 和其线性化系统的不变子空间Es 0 Eu 0 Ec 0 相切 并且Ws 0 Wu 0 Wc 0 的维数分别与Es 0 Eu 0 Ec 0 的维数相同 而且稳定流形Ws 0 不稳定流形Wu 0 的存在是唯一的 只有中心流形Wc 0 在有些系统中可能不唯一 不唯一时可以任选其中一个当作中心流形Wc 0 来处理 对于非线性系统dx dt f x 假设f x 0是平衡点 f O 0 同时令A Df 0 假设A有k个特征值实部为0 k n个实部为负 另x u v 有u Cu g1 u v f1 u v v Bu g2 u v f2 u v 则中心流形Wc u v v h u h O 0 Dh O 0 将v h u 代入u Cu g1 u v f1 u v 可得u Cu g1 u h u u Rk 定理4 若系统u Cu g1 u h u u Rk的原点是稳定 渐近稳定 或不稳定 的 则原非线性系统dx dt f x 的原点也是稳定 渐近稳定 或不稳定 的 该定理说明 非线性系统在平衡点的稳定性可通过降维为线性系统来判定 例 已知某一非线性系统的状态方程为du dt uv au3 buv2dv dt v cu2 du2v应用中心流形定理进行分析 解 令du dt uv au3 buv2 0dv dt v cu2 du2v 0可得平衡点为 0 0 及平衡点的线性化矩阵为可求得A的特征值为0 1 特征向量为 1 0 T 0 1 T则对应的子空间为Ec 1 0 T Es 0 1 T 则非线性系统的中心流形为Wc u v v h u h O 0 Dh O 0 设可得有v h u cu2 O u4 当 a c 0时 系统的零解不稳定 李雅普诺夫第二方法 对于任一非线性动力学电路系统的微分方程满足 1 存在一个定正函数dV x 2 方程的全导数为常负函数或恒等于零则方程描述的微分动力学电路系统的零解是稳定的 李雅普诺夫函数稳定性总结 已知某三维非线性系统的状态方程为u v u v u v w u2 v2 g u v 求其平衡点的稳定性解 设w h u v 是三维非线性系统的一个中心流形 则有可令w h u v h2 u v h3 u v 可有令h2 au2 2buv cv2 代入方程中可得a 1 b 0 c 1 从而有h2 u2 v2w h2 u2 v2 h3 u v 另选取李雅普诺夫函数V u v 0 5 u2 v2 可得原非线性系统的全导数为 dV dt u2 v2