2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编-专题4-三角形四边形存在性问题

用心 爱心 专心1 20122012 年全国中考数学压轴题分类解析汇编年全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题专题 4 4 三角形四边形存在性问题 三角形四边形存在性问题 24 24 20122012 黑龙江龙东地区黑龙江龙东地区 1010 分 分 如图 在平面直角坐标系中 直角梯形 OABC 的边 OC OA 分别与 x 轴 y 轴重合 AB OC AOC 90 BCO 45 BC 12 点 C 的坐标为 18 0 2 1 求点 B 的坐标 2 若直线 DE 交梯形对角线 BO 于点 D 交 y 轴于点 E 且 OE 4 OD 2BD 求直线 DE 的解析式 3 若点 P 是 2 中直线 DE 上的一个动点 在坐标平面内是否存在点 Q 使以 O E P Q 为顶点的 四边形是菱形 若存在 请直接写出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 答案答案 解 1 过点 B 作 BF x 轴于 F 在 Rt BCF 中 BCO 45 BC 12 CF BF 12 2 C 的坐标为 18 0 AB OF 6 点 B 的坐标为 6 12 2 过点 D 作 DG y 轴于点 G OD 2BD OD OB 2 3 AB DG ODG OBA AB 6 OA 12 DG 4 OG 8 D 4 8 E 0 4 DGODOG2 ABOBOA3 设直线 DE 解析式为 y kx b k 0 解得 直线 DE 解析式为 y x 4 4kb8 b4 k1 b4 3 结论 存在 用心 爱心 专心2 点 Q 的坐标为 2 2 2 2 4 4 2 2 2222 考点考点 一次函数综合题 等腰直角三角形判定和性质 相似三角形判定和性质 待定系数法 直线上 点的坐标与方程的关系 菱形的判定和性质 分析分析 1 构造等腰直角三角形 BCF 求出 BF CF 的长度 即可求出 B 点坐标 2 已知 E 点坐标 欲求直线 DE 的解析式 需要求出 D 点的坐标 构造 ODG OBA 由线段 比例关系求出 D 点坐标 从而可以求出直线 DE 的解析式 3 如图所示 符合题意的点 Q 有 4 个 设直线 y x 4 分别与 x 轴 y 轴交于点 E 点 F 则 E 0 4 F 4 0 OE OF 4 EF 4 2 菱形 OEP1Q1 此时 OE 为菱形一边 则有 P1E P1Q1 OE 4 P1F EF P1E 4 4 2 易知 P1NF 为等腰直角三角形 P1N NF P1F 4 2 2 2 2 设 P1Q1交 x 轴于点 N 则 NQ1 P1Q1 P1N 4 4 2 2 22 又 ON OF NF 2 Q1 2 2 222 菱形 OEP2Q2 此时 OE 为菱形一边 此时 Q2与 Q1关于原点对称 Q2 2 2 22 菱形 OEQ3P3 此时 OE 为菱形一边 此时 P3与点 F 重合 菱形 OEQ3P3为正方形 Q3 4 4 菱形 OP4EQ4 此时 OE 为菱形对角线 由菱形性质可知 P4Q4为 OE 的垂直平分线 由 OE 4 得 P4纵坐标为 2 代入直线解析式 y x 4 得横坐标为 2 则 P4 2 2 由菱形性质可知 P4 Q4关于 OE 或 x 轴对称 Q4 2 2 综上所述 存在点 Q 使以 O E P Q 为顶点的四边形是菱形 点 Q 的坐标为 Q1 2 2 Q2 2 2 Q3 4 4 Q4 2 2 2222 25 25 20122012 黑龙江绥化黑龙江绥化 1010 分 分 如图 四边形 ABCD 为矩形 C 点在 x 轴上 A 点在 y 轴上 D 点坐标是 0 0 B 点坐标是 3 4 矩形 ABCD 沿直线EF 折叠 点 A 落在 BC 边上的 G 处 E F 分别在 AD AB 上 且 F 点的坐标是 2 4 用心 爱心 专心3 1 求 G 点坐标 2 求直线 EF 解析式 3 点 N 在 x 轴上 直线 EF 上是否存在点 M 使以 M N F G 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 请直接写出 M 点的坐标 若不存在 请说明理由 答案答案 解 1 由已知得 FG AF 2 FB 1 四边形 ABCD 为矩形 B 90 G 点的坐标为 3 4 2222 BGFGFB213 3 2 设直线 EF 的解析式是 y kx b 在 Rt BFG 中 BFG 60 AFE EFG 60 FB1 cos BFG FG2 AE AFtan AFE 2tan60 2 E 点的坐标为 0 4 2 33 又 F 点的坐标是 2 4 解得 b42 3 2kb4 k3 b42 3 直线 EF 的解析式为 y3x42 3 3 存在 M 点的坐标为 34 3 3 3 形 14 3 3 3 形 1 4 3 83 3 形 考点考点 一次函数综合题 矩形的性质 折叠性质 勾股定理 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数 值 待定系数法 直线上点的坐标与方程的关系 平行四边形的判定和性质 全等三角形的判定和性质 分析分析 1 根据折叠性质可知 FG AF 2 而 FG AB AF 1 则在 Rt BFG 中 利用勾股定理求出 BG 的 长 从而得到 CG 的长 从而得到 G 点坐标 2 由题意 可知 AEF 为含 30 度角的直角三角形 从而可求出 E 点 坐标 又 F 点坐标已知 所以可利用待定系数法求出直线 EF 的解析式 用心 爱心 专心4 3 分 FG 为平行四边形边和对角线两种情况讨论 探究可能的平行四边形的形状 若以 M N F G 为顶点的四边形是平行四边形 则可能存在以下情形 FG 为平行四边形的一边 且 N 点在 x 轴正半轴上 如图 1 所示 过 M1点作 M1H x 轴于点 H 易证 M1HN1 GBF M1H GB 即 yM1 33 由直线 EF 解析式 求出 y3x42 3 M1 34 3 x 3 M1 34 3 3 3 形 FG 为平行四边形的一边 且 N 点在 x 轴负半轴上 如图 2 所示 仿照与 相同的办法 可求得 M2 14 3 3 3 形 FG 为平行四边形的对角线 如图 3 所示 过 M3作 FB 延长线的垂线 垂足为 H 易证 M3FH GN3C 则有 M3H CG 4 所以 M3的纵坐标为 8 33 代入直线 EF 解析式 得到 M3的横坐标为 1 4 3 3 M3 1 4 3 83 3 形 综上所述 存在点 M 使以 M N F G 为顶点的四边形是平行四边形 点 M 的坐标为 M1 M2 M3 34 3 3 3 形 14 3 3 3 形 1 4 3 83 3 形 26 26 20122012 黑龙江黑河 齐齐哈尔 大兴安岭 鸡西黑龙江黑河 齐齐哈尔 大兴安岭 鸡西 1010 分 分 如图 在平面直角坐标系中 已知 Rt AOB 的两条直角边 0A 08 分别在 y 轴和 x 轴上 并且 OA OB 的长分别是方程 x2 7x 12 0 的两根 OA 0B 动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 l 个单位长度的速度向点 O 运动 同时 动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动 设点 P Q 运动的时间为 t 秒 1 求 A B 两点的坐标 2 求当 t 为何值时 APQ 与 AOB 相似 并直接写出此时点 Q 的坐标 3 当 t 2 时 在坐标平面内 是否存在点 M 使以 A P Q M 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 请直接写出 M 点的坐标 若不存在 请说明理由 用心 爱心 专心5 答案答案 解 1 由 x2 7 x 12 0 解得 x1 3 x2 4 OA OB OA 3 OB 4 A 0 3 B 4 0 2 由 OA 3 OB 4 根据勾股定理 得 AB 5 由题意得 AP t AQ 5 2t 分两种情况讨论 当 APQ AOB 时 如图 1 APQ AOB 即 解得 t APAQ AOAB t52t 35 Q 15 11 2018 1111 形 当 AQP AOB 时 如图 2 APQ ABO 即 解得 t Q APAQ ABAO t52t 53 25 13 1230 1313 形 3 存在 M1 M2 M3 422 55 形 42 55 形 48 55 形 考点考点 动点问题 解一元二次方程 勾股定理 相似三角形的性质 平行四边形的判定 分析分析 1 解出一元二次方程 结合 OA OB 即可求出 A B 两点的坐标 2 分 APQ AOB 和 AQP AOB 两种情况讨论即可 3 当 t 2 时 如图 OP 2 BQ 4 P 0 1 Q 412 55 形 若以 A P Q M 为顶点的四边形是平行四边形 则 当 AQ 为对角线时 点 M1的横坐标与点 Q 的横坐标相 同 纵坐标为 M1 1222 2 55 422 55 形 当 PQ 为对角线时 点 M2的横坐标与点 Q 的横坐标相 用心 爱心 专心6 同 纵坐标为 M2 122 2 55 42 55 形 当 AP 为对角线时 点 Q M3关于 AP 的中点对称 由 A 0 3 P 0 1 得 AP 的中点坐标为 0 2 由 Q 得 M3的横坐标为 纵坐标为 M3 412 55 形 44 20 55 128 22 55 48 55 形 综上所述 若以 A P Q M 为顶点的四边形是平行四边形 则 M 点的坐标为 或 或 422 55 形 42 55 形 48 55 形 27 27 20122012 湖北襄阳湖北襄阳 1212 分 分 如图 在矩形 OABC 中 AO 10 AB 8 沿直线 CD 折叠矩形 OABC 的一边 BC 使点 B 落在 OA 边上的点 E 处 分别以 OC OA 所在的直线为 x 轴 y 轴建立平面直角坐标系 抛物线 y ax2 bx c 经过 O D C 三点 1 求 AD 的长及抛物线的解析式 2 一动点 P 从点 E 出发 沿 EC 以每秒 2 个单位长的速度向点 C 运动 同时动点 Q 从点 C 出发 沿 CO 以每秒 1 个单位长的速度向点 O 运动 当点 P 运动到点 C 时 两点同时停止运动 设运动时间为 t 秒 当 t 为何值时 以 P Q C 为顶点的三角形与 ADE 相似 3 点 N 在抛物线对称轴上 点 M 在抛物线上 是否存在这样的点 M 与点 N 使以 M N C E 为顶点的 四边形是平行四边形 若存在 请直接写出点 M 与点 N 的坐标 不写求解过程 若不存在 请说明理 由 答案答案 解 1 四边形 ABCO 为矩形 OAB AOC B 90 AB CO 8 AO BC 10 由折叠的性质得 BDC EDC B DEC 90 EC BC 10 ED BD 由勾股定理易得 EO 6 AE 10 6 4 设 AD x 则 BD CD 8 x 由勾股定理 得 x2 42 8 x 2 解得 x 3 AD 3 抛物线 y ax2 bx c 过点 D 3 10 C 8 0 用心 爱心 专心7 解得 抛物线的解析式为 9a 3b 10 64a 8b 0 2 a 3 16 b 3 2 216 yxx 33 2 DEA OEC 90 OCE OEC 90 DEA OCE 由 1 可得 AD 3 AE 4 DE 5 而 CQ t EP 2t PC 10 2t 当 PQC DAE 90 ADE QPC 即 解得 CQCP EAED t102t 45 40 t 13 当 QPC DAE 90 ADE PQC 即 解得 PCCQ AEED 102tt 45 25 t 7 当或时 以 P Q C 为顶点的三角形与 ADE 相似 40 t 13 25 7 3 存在符合条件的 M N 点 它们的坐标为 M1 4 32 N1 4 38 M2 12 32 N2 4 26 M3 4 N3 4 32 3 14 3 考点考点 二次函数综合题 折叠和动点问题 矩形的性质 全等三角形的判定和性质 勾股定理 曲线 上点的坐标与方程的关系 相似三角形的判定和性质 平行四边形的判定和性质 分析分析 1 根据折叠图形的轴对称性 CED CBD 在 Rt CEO 中求出 OE 的长 从而可得到 AE 的 长 在 Rt AED 中 AD AB BD ED BD 利用勾股定理可求出 AD 的长 进一步能确定 D 点坐标 利用待 定系数法即可求出抛物线的解析式 2 由于 DEC 90 首先能确定的是 AED OCE 若以 P Q C 为顶点的三角形与 ADE 相 似 那么 QPC 90 或 PQC 90 然后在这两种情况下 分别利用相似三角形的对应边成比例求出对 应的 t 的值 3 假设存在符合条件的 M N 点 分两种情况讨论 EC 为平行四边形的对角线 由于抛物线的对称轴经过 EC 中点 若四边形 MENC 是平行四 边形 那么 M 点必为抛物线顶点 由得抛物线顶点 则 M 4 2 2 216232 yxxx4 3333 32 3 平行四边形的对角线互相平分 线段 MN 必被 EC 中点 4 3 平分 则 N 4 14 3 EC 为平行四边形的边 则 ECMN 设 N 4 m 则 M 4 8 m 6 或 M 4 8 m 6 用心 爱心 专心8 将 M 4 m 6 代入抛物线的解析式中 得 m 38 此时 N 4 38 M 4 32 将 M 12 m 6 代入抛物线的解析式中 得 m 26 此时 N 4 26 M 12 32 综上所述 存在符合条件的 M N 点 它们的坐标为 M1 4 32 N1 4 38 M2 12 32 N2 4 26 M3 4 N3 4 32 3 14 3 28 28 20122012 湖南永州湖南永州 1010 分 分 如图所示 已知二次函数 y ax2 bx 1 a 0 的图象过点 A 2 0 和 B 4 3 l 为过点 0 2 且与 x 轴平行的直线 P m n 是该二次函数图象上的任意一点 过 P 作 PH l H 为垂足 1 求二次函数 y ax2 bx 1 a 0 的解析式 2 请直接写出使 y 0 的对应的 x 的取值范围 3 对应当 m 0 m 2 和 m 4 时 分别计算 PO 2和 PH 2的值 由此观察其规律 并猜想一个结论 证 明对于任意实数 m 此结论成立 4 试问是否存在实数 m 可使 POH 为正三角形 若存在 求出 m 的值 若不存在 请说明理由 答案答案 解 1 二次函数 y ax2 bx 1 a 0 的图象过点 A 2 0 和 B 4 3 解得 二次函数的解析式为 y x2 1 4a 2b1 0 16a 4b1 0 1 a 4 b 0 1 4 2 当 2 x 2 时 y 0 3 当 m 0 时 PO 2 1 PH 2 1 当 m 2 时 P 点的坐标为 2 0 PO 2 4 PH 2 4 当 m 4 时 P 点的坐标为 4 3 PO 2 25 PH 2 25 由此发现 PO 2 PH 2 用心 爱心 专心9 设 P 点坐标为 m n 即 n m2 1 1 4 OP 2 m2 n2 PH 2 n 2 2 n2 4n 4 n2 m2 对于任意实数 m PO 2 PH 2 4 存在 由 3 知 OP PH 只要 OH OP 成立 POH 为正三角形 设 P 点坐标为 m n OP 2 m2 n2 OH 2 4 m2 由 OP OH 得 m2 n2 4 m2 即 n2 4 解得 n 2 当 n 2 时 n m2 1 不符合条件 1 4 当 n 2 时 由 2 m2 1 解得 m 2 1 4 3 故当 m 2时可使 POH 为正三角形 3 考点考点 二次函数综合题 曲线上点的坐标与方程的关系 二次函数的性质 勾股定理 等边三角形的 判定 分析分析 1 根据二次函数 y ax2 bx 1 a 0 的图象过点 A 2 0 和 B 4 3 待定系数法求出 a 和 b 的值 抛物线的解析式即可求出 2 令 y x2 1 0 解得 x 2 或 x 2 由图象可知当 2 x 2 时 y 0 1 4 3 分别求出当 m 0 m 2 和 m 4 时 分别计算 PO 2和 PH 2的值 然后观察其规律 再进行 证明 4 由 3 知 OP OH 只要 OH OP 成立 POH 为正三角形 求出 OP OH 含有 m 和 n 的表 达式 令两式相等 求出 m 和 n 的值 29 29 20122012 湖南娄底湖南娄底 1010 分 分 已知二次函数 y x2 m2 2 x 2m 的图象与 x 轴交于点 A x1 0 和点 B x2 0 x1 x2 与 y 轴交于点 C 且满足 12 111 xx2 1 求这个二次函数的解析式 2 探究 在直线 y x 3 上是否存在一点 P 使四边形 PACB 为平行四边形 如果有 求出点 P 的坐标 如果没有 请说明理由 用心 爱心 专心10 答案答案 解 1 二次函数 y x2 m2 2 x 2m 的图象与 x 轴交于点 A x1 0 和点 B x2 0 x1 x2 令 y 0 即 x2 m2 2 x 2m 0 则有 x1 x2 m2 2 x1x2 2m 化简得到 m2 m 2 0 解得 m1 2 m2 1 2 12 1212 x x11m11 xxx x2m2 当 m 2 时 方程 为 x2 2x 4 0 其判别式 b2 4ac 12 0 此时抛物线与 x 轴没有交点 不符合题意 舍去 当 m 1 时 方程 为 x2 x 2 0 其判别式 b2 4ac 9 0 此时抛物线与 x 轴有两 个不同的交点 符合题意 m 1 抛物线的解析式为 y x2 x 2 2 存在 理由如下 假设在直线 y x 3 上是否存在一点 P 使四边形 PACB 为平行四边形 如图所示 连接 PA PB AC BC 过点 P 作 PD x 轴于 D 点 抛物线 y x2 x 2 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于 C 点 A 2 0 B 1 0 C 0 2 OB 1 OC 2 PACB 为平行四边形 PA BC PA BC PAD CBO APD OCB 在 Rt PAD 与 Rt CBO 中 PAD CBO PA BC APD OCB Rt PAD Rt CBO AAS PD OC 2 即 yP 2 用心 爱心 专心11 直线解析式为 y x 3 xP 1 P 1 2 在直线 y x 3 上存在一点 P 使四边形 PACB 为平行四边形 P 点坐标为 1 2 考点考点 二次函数综合题 二次函数与 x 点问题 曲线图上点的坐标与方程的关系 一元二次方程根与 系数的关系 平行四边形的性质 全等三角形的判定和性质 分析分析 1 欲求抛物线的解析式 关键是求得 m 的值 根据题中所给关系式 利用一元二次方程根与 系数的关系 可以求得 m 的值 从而问题得到解决 注意 解答中求得两个 m 的值 需要进行检验 把 不符合题意的 m 值舍去 2 利用平行四边形的性质构造全等三角形 根据全等关系求得 P 点的纵坐标 从而得到 P 点的 横坐标 从而求得P 点坐标 30 30 20122012 湖南衡阳湖南衡阳 1010 分 分 如图 A B 两点的坐标分别是 8 0 0 6 点 P 由点 B 出发沿 BA 方 向向点 A 作匀速直线运动 速度为每秒 3 个单位长度 点 Q 由 A 出发沿 AO O 为坐标原点 方向向点 O 作匀速直线运动 速度为每秒 2 个单位长度 连接 PQ 若设运动时间为 t 0 t 秒 解答如下问 10 3 题 1 当 t 为何值时 PQ BO 2 设 AQP 的面积为 S 求 S 与 t 之间的函数关系式 并求出 S 的最大值 若我们规定 点 P Q 的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则新坐标 x2 x1 y2 y1 称为 向量 PQ 的坐标 当 S 取最大值时 求 向量 PQ 的坐标 答案答案 解 1 A B 两点的坐标分别是 8 0 0 6 则 OB 6 OA 8 2222 ABOBOA6810 如图 当 PQ BO 时 AQ 2t BP 3t 则 AP 10 3t PQ BO 即 解得 t APAQ ABAO 103t2t 105 20 11 当 t 秒时 PQ BO 20 11 2 由 1 知 OA 8 OB 6 AB 10 用心 爱心 专心12 如图 所示 过点 P 作 PD x 轴于点 D 则 PD BO APD ABO 即 解得 PD 6 t APPD ABOB 103tPD 106 9 5 2 2 119995 SAQ PD2t6t t 6t t 5 225553 S 与 t 之间的函数关系式为 S 0 t 2 95 t 5 53 10 3 当 t 秒时 S 取得最大值 最大值为 5 平方单位 5 3 如图 所示 当 S 取最大值时 t 5 3 PD 6 t 3 PD BO 9 5 1 2 又 PD BO 此时 PD 为 OAB 的中位线 则 OD OA 4 P 4 3 1 2 又 AQ 2t OQ OA AQ Q 0 10 3 14 3 14 3 依题意 向量 PQ 的坐标为 4 0 3 即 3 14 3 2 3 当 S 取最大值时 向量 PQ 的坐标为 3 2 3 考点考点 动点问题 平行线分线段成比例 二次函数的最值 勾股定理 三角形中位线定理 分析分析 1 如图 所示 当 PQ BO 时 利用平分线分线段成比例定理 列线段比例式 求 APAQ ABAO 出 t 的值 2 求 S 关系式的要点是求得 AQP 的高 如图 所示 过点 P 作过点 P 作 PD x 轴于点 D 构造平行线 PD BO 由 APD ABO 得 求得 PD 从而 S 可求出 S 与 t 之间的函数关系式是 APPD ABOB 一个关于 t 的二次函数 利用二次函数求极值的方法求出 S 的最大值 求出点 P Q 的坐标 当 S 取最大值时 可推出此时 PD 为 OAB 的中位线 从而可求出点 P 的纵 横坐标 又易求 Q 点坐标 从而求得点 P Q 的坐标 求得 P Q 的坐标之后 代入 向量 PQ 坐标的定 义 x2 x1 y2 y1 即可求解 31 31 20122012 湖南株洲湖南株洲 1010 分 分 如图 一次函数分别交 y 轴 x 轴于 A B 两点 抛物线 1 y x 2 2 y x2 bx c 过 A B 两点 1 求这个抛物线的解析式 用心 爱心 专心13 2 作垂直 x 轴的直线 x t 在第一象限交直线 AB 于 M 交这个抛物线于 N 求当 t 取何值时 MN 有最 大值 最大值是多少 3 在 2 的情况下 以 A M N D 为顶点作平行四边形 求第四个顶点 D 的坐标 答案答案 解 1 分别交 y 轴 x 轴于 A B 两点 1 y x 2 2 A B 点的坐标为 A 0 2 B 4 0 将 x 0 y 2 代入 y x2 bx c 得 c 2 将 x 4 y 0 代入 y x2 bx c 得 0 16 4b 2 解得 b 7 2 抛物线解析式为 y x2 x 2 7 2 2 如图 1 设 MN 交 x 轴于点 E 则 E t 0 BE 4 t OA21 tan ABO OB42 ME BE tan ABO 4 t 2 t 1 2 1 2 又 N 点在抛物线上 且 xN t yN t2 t 2 7 2 2 22 N 1 MNyMEtt22tt4t t2 4 2 形形 当 t 2 时 MN 有最大值 4 3 由 2 可知 A 0 2 M 2 1 N 2 5 如图 2 以 A M N D 为顶点作平行四边形 D 点的可能位置有三种情形 i 当 D 在 y 轴上时 设 D 的坐标为 0 a 由 AD MN 得 a 2 4 解得 a1 6 a2 2 从而 D 为 0 6 或 D 0 2 ii 当 D 不在 y 轴上时 由图可知 D 为 D1N 与 D2M 的交 点 用心 爱心 专心14 由 D1 0 6 N 2 5 易得 D1N 的方程为 y x 6 1 2 由 D2 0 2 M 2 1 D2M 的方程为 y x 2 3 2 由两方程联立解得 D 为 4 4 综上所述 所求的 D 点坐标为 0 6 0 2 或 4 4 考点考点 二次函数综合题 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 二次函数的性质 锐角三角函 数定义 平行四边形的判定和性质 分析分析 1 首先求得 A B 点的坐标 然后利用待定系数法求抛物线的解析式 2 求得线段 MN 的表达式 这个表达式是关于 t 的二次函数 利用二次函数的极值求线段 MN 的最大值 3 明确 D 点的可能位置有三种情形 如图 2 所示 不要遗漏 其中 D1 D2在 y 轴上 利用线 段数量关系容易求得坐标 D3点在第一象限 是直线 D1N 和 D2M 的交点 利用直线解析式求得交点坐标 32 32 20122012 湖北鄂州湖北鄂州 1212 分 分 已知 如图一 抛物线与 x 轴正半轴交于 A B 两点 与 ycbxaxy 2 轴交于点 C 直线经过 A C 两点 且 AB 2 2xy 1 求抛物线的解析式 2 若直线 DE 平行于 x 轴并从 C 点开始以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正方向平移 且分别交 y 轴 线 段 BC 于点 E D 同时动点 P 从点 B 出发 沿 BO 方向以每秒 2 个单位速度运动 如图 2 当点 P 运动到原点 O 时 直线 DE 与点 P 都停止运动 连 DP 若点 P 运动时间为 t 秒 设 当 OPED OPED s t 为何值时 s 有最小值 并求出最小值 3 在 2 的条件下 是否存在 t 的值 使以 P B D 为顶点的三角形与 ABC 相似 若存在 求 t 的值 若不存在 请说明理由 答案答案 解 1 在中 由 x 0 得 y 2 C 0 2 yx2 由 y 0 得 x 2 A 2 0 用心 爱心 专心15 AB 2 B 4 0 可设抛物线的解析式为 代入点 C 0 2 得 ya x2x4 1 a 4 抛物线的解析式为 2 113 yx2x4xx2 442 2 由题意 CE t PB 2t OP 4 2t ED BA CED COB 即 ED 2t EDCE OBCO EDt 42 22 2t 42tEDOP41 s ED OP2t42t4t 8t t1 1 当 t 1 时 有最大值 1 2t1 1 当 t 1 时 的值最小 最小值是 1 EDOP s ED OP 3 存在 设 BC 所在直线的解析式为 y kx b 由 B 4 0 C 0 2 得 解得 C 所在直线的解析式为 4k b 0 b 2 1 k 2 b 2 1 y x2 2 由题意可得 D 点的纵坐标为 t 2 则 D 点的横坐标为 2t 22 BD42tt2 5 2t 又 2222 BCOBOC422 5 PBD ABC 以 P B D 为顶点的三角形与 ABC 相似有两种情况 当时 即 解得 BPBD ABBC 5 2t2t 22 5 2 t 3 当时 即 解得 BPBC BDBA 2t2 5 25 2t 10 t 7 综上所述 当或时 以 P B D 为顶点的三角形与 ABC 相似 2 t 3 10 t 7 考点考点 二次函数综合题 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 二次函数的最值 相似三角形 的判定和性质 勾股定理 分析分析 1 求出 C A B 的坐标 设抛物线的解析式为 y a x 2 x 4 代入点 C 的坐标求出 a 即 可 2 由题意 CE t PB 2t OP 4 2t 由 ED BA 得出 CED COB 从而 求出 EDCE OBCO 用心 爱心 专心16 ED 2CE 2t 根据 根据二次函数的最值求出即可 2 EDOP1 s ED OP t1 1 3 以 P B D 为顶点的三角形与 ABC 相似有两种情况 和代入求出即 BPBD ABBC BPBC BDBA 可 33 33 20122012 福建宁德福建宁德 1313 分 分 如图 矩形 OBCD 的边 OD OB 分别在 x 轴正半轴和 y 轴负半轴上 且 OD 10 OB 8 将矩形的边 BC 绕点 B 逆时针旋转 使点 C 恰好与 x 轴上的点A 重合 1 直接写出点 A B 的坐标 A B 2 若抛物线y x2 bx c 经过点 A B 则这条抛物线的解析式是 1 3 3 若点 M 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点 作 MN x 轴于点 N 问是否存在点 M 使 AMN 与 ACD 相似 若存在 求出点 M 的坐标 若不存在 说明理由 4 当 x 7 在抛物线上存在点 P 使 ABP 的面积最大 求 ABP 面积的最大值 7 2 答案答案 解 1 6 0 0 8 2 2 110 yx x8 33 形 3 存在 设 M 2 110 mm m8 33 形 则 N m 0 MN NA 6 m 2 110 m m8 33 又 DA 4 CD 8 用心 爱心 专心17 若点 M 在点 N 上方 则 AMN ACD MNNA CDDA 即 解得 m 6 或 m 10 2 110 m m8 6m 33 84 2 m16m 60 0 与点 M 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点不符 此时不存在点 M 使 AMN 与 ACD 相似 若点 M 在点 N 下方 则 AMN ACD MNNA CDDA 即 解得 m 2 或 m 6 2 110 mm 8 6m 33 84 2 m4m12 0 与点 M 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点不符 此时不存在点 M 使 AMN 与 ACD 相似 若点 M 在点 N 上方 则 AMN ACD MNNA DACD 即 方程无解 2 110 m m8 6m 33 48 2 2m23m 66 0 此时不存在点 M 使 AMN 与 ACD 相似 若点 M 在点 N 下方 则 AMN ACD MNNA DACD 即 解得 m 或 m 6 2 110 mm 8 6m 33 48 2 2m17m 30 0 5 2 当 m 时符合条件 5 2 此时存在点 M 使 AMN 与 ACD 相似 5 2 7 4 综上所述 存在点 M 使 AMN 与 ACD 相似 5 2 7 4 4 设 P p 2 110 p p8 33 在中 令 y 0 得 x 4 或 x 6 2 110 yx x8 33 形 x 7 分为 x 4 4 x 6 和 6 x 7 三个区间讨论 7 2 7 2 如图 当 x 4 时 过点 P 作 PH x 轴于点 H 7 2 则 OH p HA 6 p PH 2 110 pp 8 33 用心 爱心 专心18 ABPOABAPHOBPH SSSS 形形 22 2 2 111101110 6 8pp 8 8p6ppp 8 2233233 p 6p p3 9 当 x 4 时 随 p 的增加而减小 7 2 ABP S 当 x 时 取得最大值 最大值为 7 2 ABP S 35 4 如图 当 4 x 6 时 过点 P 作 PH BC 于点 H 过点 A 作 AG BC 于点 G 则 BH p HG 6 p PH 22 110110 p p8 8 p p 3333 ABPBPHABGPHGA SS SS 形形 22 2 2 111011101 p pp p p 86p6 8 2332332 p 6p p3 9 当 4 x 6 时 随 p 的增加而减小 ABP S 当 x 4 时 取得最大值 最大值为 8 ABP S 如图 当 6 x 7 时 过点 P 作 PH x 轴于点 H 则 OH p HA p 6 PH 2 110 pp 8 33 ABPOABAPHOBPH SSSS 梯形 22 2 2 111011110 pp 8 8p6 8p6pp 8 2332233 p6p p39 当 6 x 7 时 随 p 的增加而增加 ABP S 当 x 7 时 取得最大值 最大值为 7 ABP S 综上所述 当 x 时 取得最大值 最大值为 7 2 ABP S 35 4 考点考点 二次函数综合题 矩形的性质 旋转的性质 勾股定理 曲线上点的坐标与方程的关系 相似 三角形的判定 二次函数的性质 用心 爱心 专心19 分析分析 1 由 OD 10 OB 8 矩形的边 BC 绕点 B 逆时针旋转 使点 C 恰好与 x 轴上的点A 重合 可 得 OA2 AB2 OB2 102 82 36 OA 6 A 6 0 B 0 8 2 抛物线y x2 bx c 经过点 A B 1 3 解得 12 6b c 0 c 8 10 b 3 c 8 这条抛物线的解析式是 2 110 yx x8 33 形 3 分 若点 M 在点 N 上方 若点 M 在点 N 下方 若点 M 在点 MNNA CDDA MNNA CDDA N 上方 若点 M 在点 N 下方 四种情况讨论即可 MNNA DACD MNNA DACD 4 根据二次函数的性质 分 x 4 4 x 6 和 6 x 7 三个区间分别求出最大值 比较即 7 2 可 51 51 20122012 贵州安顺贵州安顺 1414 分 分 如图所示 在平面直角坐标系 xOy 中 矩形 OABC 的边长 OA OC 分别为 12cm 6cm 点 A C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上 抛物线 y ax2 bx c 经过点 A B 且 18a c 0 1 求抛物线的解析式 2 如果点 P 由点 A 开始沿 AB 边以 1cm s 的速度向终点 B 移动 同时点 Q 由点 B 开始沿 BC 边以 2cm s 的速度向终点 C 移动 移动开始后第 t 秒时 设 PBQ 的面积为 S 试写出 S 与 t 之间的函数关系式 并写出 t 的取值范围 当 S 取得最大值时 在抛物线上是否存在点 R 使得以 P B Q R 为顶点的四边形是平行四边形 如 果存在 求出 R 点的坐标 如果不存在 请说明理由 答案答案 解 1 由题意知点 A 0 12 用心 爱心 专心20 由矩形 OABC 知 AB OC 且 AB 6 B 6 12 抛物线 y ax2 bx c 经过 A B 两点 且 18a c 0 解得 c 12 36a 6b c 12 18ac0 2 a 3 b 4 c12 抛物线的解析式为 2 2 y x4x12 3 2 由已知 PB 6 t QB 2t 2 1 S6t2t t 6t 0t6 2 当 t 3 时 S 取最大值为 9 2 2 S t 6t t3 9 这时点 P 的坐标 3 12 点 Q 坐标 6 6 若以 P B Q R 为顶点的四边形是平行四边形 有如下三种情况 当点 R 在 BQ 的左边 且在 PB 下方时 点 R 的坐标 3 18 将 3 18 代入抛物线的解析式中 满足解析式 所以存在 点 R 的坐标就是 3 18 当点 R 在 BQ 的左边 且在 PB 上方时 点 R 的坐标 3 6 将 3 6 代入抛物线的解析式中 不满足解析式 所以点 R 不满足条件 当点 R 在 BQ 的右边 且在 PB 上方时 点 R 的坐标 9 6 将 9 6 代入抛物线的解析式中 不满足解析式 所以点 R 不满足条件 综上所述 点 R 坐标为 3 18 考点考点 二次函数综合题 矩形的性质 曲线上点的坐标与方程的关系 二次函数的最值 平行四边形 的判定 分析分析 1 由已知 求出 A B 的坐标 结合 18a c 0 解方程组即可求出抛物线的解析式 2 由已知得 PB 6 t QB 2t 根据三角形面积公式即可得出 S 与 t 之间的函数关系式 由于 AB 6 点 P 的速度为 1 BC 12 点 Q 的速度为 2 从而 0t6 将抛物线的解析式化为顶点式即可求出 S 取最大值时 t 的值 从而求出点 P 和 Q 的坐标 根据平行四边形的判定分三种情况讨论 当点 R 在 BQ 的左边 且在 PB 下方时 当点 R 在 BQ 的左边 且在 PB 上方时 当点 R 在 BQ 的右边 且在 PB 上方时 52 52 20122012 内蒙古包头内蒙古包头 1212 分 分 已知直线 y 2x 4 与 x 轴 y 轴分别交于 A D 两点 抛物线 经过点 A D 点 B 是抛物线与 x 轴的另一个交点 2 1 y x bx c 2 用心 爱心 专心21 1 求这条抛物线的解析式及点 B 的坐标 2 设点 M 是直线 AD 上一点 且 求点 M 的坐标 AOMOMD S S1 3 3 如果点 C 2 y 在这条抛物线上 在 y 轴的正半轴上是否存在点 P 使 BCP 为等腰三角形 若存在 请求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 答案答案 解 1 在 y 2x 4 中 令 y 0 得 x 2 令 x 0 得 y 4 A 2 0 D 0 4 将 A 2 0 D 0 4 代入 得 2 1 y x bx c 2 解得 1 42b c 0 2 c 4 b 1 c 4 这条抛物线的解析式为 2 1 y x x 4 2 令 解得 B 4 0 2 1 y x x 4 0 2 12 x 2x 4 形 2 设 M m 2 m 4 分两种情况 当 M 在线段 AD 上时 由 得 AOMOMD S S1 3 11 2 2m 2 4m1 3 22 解得 M1 3 m 2 3 1 2 形 当 M 在线段 DA 延长线上时 由得 AOMOMD S S1 3 解得 11 2 2m 2 4m1 3 22 M2 m3 34 形 综上所述 点 M 的坐标为 M1 M2 3 1 2 形34 形 用心 爱心 专心22 3 存在 点 C 2 y 在上 2 1 y x x 4 2 C 2 4 2 1 y 2 2 4 4 2 设 P 根据勾股定理 得 0 p 2 22 BC42 420 2222 PB4 p16 p 2 222 PC2 p4p8p 20 分三种情况 若 PB BC 则 解得 2 16 p20 p2 点 P 在 y 轴的正半轴上 P1 0 2 若 PB PC 则 解得 P2 0 22 16 pp8p 20 1 p 2 1 2 若 BC PC 则 解得 2 20p8p 20 p0p8 形 点 P 在 y 轴的正半轴上 不符合要求 p0 当时 B C P 在一直线上 不构成三角形 也不符合要求 p8 BC PC 时 在 y 轴的正半轴上是不存在点 P 使 BCP 为等腰三角形 综上所述 在 y 轴的正半