第一章--函数、极限与连续

1 第一章 函数 极限 连续 知知识识点拔点拔 1 1 函数函数 一 函数的概念一 函数的概念 设是一个非空数集 若存在一个对应法则 使得对内的每一个值 都有唯一的值与DfDxy 之对应 则称这个对应法则是定义在数集上的一个函数 记作 其中叫自变量 fD xfy x 叫因变量或函数 数集称为函数的定义域 而数集叫函数的值域 yD Dxxfyyz 如果 称函数在处有定义 函数在处的函数值记为或 Dx 0 xf 0 x xf 0 x 0 xx y 0 xf 注注释释 函数定义的两个要素 定义域和对应法则 两个函数相等条件 定义域和对应法则都相同的两个函数是相同函数 如 与不同 因定义域不同 2 2 2 x xx xf1 xxg 与不同 因对应法则不同 xxf 2 sin xxgsin 与相同 也就是当两上函数的定义域和对应法则都相xxxxf 222 cossin 1 2 ttg 同时 即使其自变量所用的字母不同 但两个函数相同 若定义域内的每一个只对应一个函数值 则称该函数为单值函数 若同一个值可对应于xyx 多于一个的函数值 这种函数称为多值函数 y 二 函数的基本性质二 函数的基本性质 1 1 函数的单调性 函数的单调性 设函数在区间上有定义 如果对 恒有D 2121 xxDxx 且 或 则称在区间上严格单调增加 或严格单调减少 的 21 xfxf 21 xfxf xfD 如果对于Dxx 21 有 或 称在区间上是单调增加 或单调减少 21 xx 且 21 xfxf 21 xfxf xfD 的 注释 注释 1 函数的有界性与单调性是与某个区间密切相关的 区间不同函数的有界性与单调性 2 也不同 2 增 增 增 增 减 增 减 减 减 减 增 减 增的倒数为减 减的倒数为增 3 增函数与增函数或减函数与减函数的复合为单调增加函数 4 增函数与减函数或减函数与增函数的复合为单调减少函数 2 2 函数的奇偶性 函数的奇偶性 设是对称于原点的区间 若对 则称DDx xfxf 且 是奇函数 若有 称是偶函数 xf xfxf xf 注释 注释 奇 偶 函数的定义域必须是关于原点对称的区间 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于轴对称 xfy 奇偶函数的运算性质 1 奇函数的代数和仍为奇函数 偶函数的代数和仍为偶函数 奇函数与偶函数的代数和为非奇 非偶函数 2 偶数个奇 或偶 函数的积为偶函数 奇数个奇函数的积为奇函数 3 一奇一偶函数的积是奇函数 4 奇函数的导数是偶函数 偶函数的导数是奇函数 5 奇函数的原函数是偶函数 偶函数的原函数是奇函数的充要条件是 xf x a dttfxF 即在所有原函数中只有一个函数是奇函数 0 a 任何一个定义域是关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和的形式 即 xf 2 2 xfxfxfxf 3 3 函数的有界性 函数的有界性 设在区间上有定义 如果存在 使得对一切都有 xfD0 MDx 则称在上有界 否则称为无界 即对 若存在 使得Mxf xfD0 MDx 0 称在上是无界的 Mxf xfD 注释 注释 函数的有界性与的取值区间有关 若函数在区间上有界 但在内是x x y 1 1 1 0 无界的 因为在这个区间上函数满足定义的不存在 即函数的有界性与的取值区间有关 Mx 4 4 函数的周期性 函数的周期性 设的定义域为 若存在常数 伎得对 必有 xfD0 TDx 3 并且有成立 则称是以为周期的周期函数 称为函数DTx xfTxf xfTT 的周期 所有周期中的最小正周期叫函数的周期 xf xf 注释 注释 周期函数的定义域必须是无限点集 但不能是有限区间 如 的定义域是 且xytan 2 1 0 2 kkx 若的周期为 则的周期为 xfT xf T 0 周期函数的和 差 积仍为周期函数 且周期为各个函数周期的最小公倍数 如 周期是的最小公倍数 但也有例外 如 的周期为xxy3cos4sin 3 2 4 2 2xsinxcos 2 但的周期为 xxycossin 周期函数的导数仍为周期函数 且周期不变 设是周期为的函数 则它的原函数为周期函数的充要条件是 xfT x a dttfxF 或者说 周期函数的原函数不一定是周期函数 如 是以 2为周0 0 T dxxfxxfcos1 期的函数 但其任一个原函数不是周期函数 CxxxF sin 不是每一个周期函数都有最小正周期的 如 狄利克雷函数任何有理数都 且且且 且且且 x x y 0 1 r 是它的周期 即若为有理数 也是有理数 故有 若为无理数 也xrx 1 rxfxf xrx 是无理数 故 可见为的周期 但它没有最小的正周期 0 rxfxf r xf 又如 为常数 它是周期为任意实数且没有最小正周期的周期函数 Cy C 三 反函数三 反函数 设函数 其定义域为 值域为 如果对于中的某一个值 都可 xfy DMMyMy 以从关系式确定唯一的 与之对应 这样就确定了一个以为自变量的新函数 xfy xDx y 记为 称函数为函数的反函数 它的定义域为 值域为 1 yfx 1 yfx xfy MD 注释 注释 习惯上自变量用表示 函数用表示 因此函数的反函数通常xy xfy 1 yfx 4 表示为 1 xfy 反函数的定义域就是其原来函数的值域 反函数的值域就是原来函数的定义域 且有 11 xffxxff 原来函数与其反函数的图像关于对称 前提是在同一坐标系中 xfy 1 xfy xy 的图像与其反函数的图像重合 xfy yx 只有一一对应的函数才有反函数 若在区间内单调在区间内一定存在单值反函数 反之不一定成立 即若 xfI xfI 在区间内存在单值反函数但在区间内不一定单调 如 xfI xfI 在区间内存在单值反函数 但它在上不单调 10 1 01 xx x x xf 1 1 1 1 四 复合函数四 复合函数 若函数在处有定义 而在处有定义 则称为由 xu 0 x ufy 00 xu xfy 和复合而成的复合函数 称为中间变量 ufy xu u 注释 注释 只有当函数的值域与的定义域的交集不是空集时才构成复合数 xu ufy 函数的复合 先利用外层函数关系 再利用内层函数关系而构成 如 设 xxfsin 则 x ex x exxfsin sin 复合函数的分解 先找到外层函数关系 设其内部整体为中间变量 再依次分解 如 u 可设 则原来函数是由 2 1 sin arctan xxy sinarctan xxu xxvsin 2 1 uy 复合而成 vuarctan xxvsin 五 初等函数五 初等函数 1 1 基基本本初初等等函函数数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数这五类函数统称为基 本初等函数 2 2 初等函数 初等函数 由常数和五类基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合运算且可用一个 5 数学解析式表示的函数叫初等函数 注释 注释 初等函数必须用一个式子表示 不能用一个式表示的函数不能称为初等函数 故分段函 数一般不是初等函数 3 3 分段函数 分段函数 若函数在其定义域内的不同部分上 分别用不同的表达式表示 这类函数称为分 段 函数 如 符号函数是分段函数且是有界函数和奇函数 0 1 0 0 0 1 sgn x x x x 又如 是分段函数 xx xx xx xysgn 0 0 注释 注释 分段函数一般不是初等函数 但若是初等函数 则 xf 是初等函数 0 0 2 xfxf xfxf xfxf 又如 取整函数 即 不超过的最大整数 是分段函数 xy x 又如 定义在上的狄利克雷 Dirichlet 函数是分段函数 且是有R 0 1 且且且 且且且 x x xD 界的 是周期函数 但没有最小的正周期 任何有理数都是它的周期 并且还是偶函数 xD xD 4 4 初等函数的几个特例 初等函数的几个特例 设函数和都是初等函数 则 1 是初等函数 因为 xf xg xf xf 2 xf 2 最大值函数和最小值函数都是初等函max x xgxf min xgxfx 数 这是因为 2 1 max xgxfxgxfxgxfx 2 1 min xgxfxgxfxgxfx 3 幂指函数 是初等函数 因为 xg xfy 0 xf ln ln xfxgxfxg eexf xg 1 2 极限极限 6 一 数列极限的定义一 数列极限的定义 1 1 数列极限的概念 数列极限的概念 设为数列 为定数 若对任给的正数 总存在正整数 使得当时 有 n xa NNn 则称数列收敛于 而称为数列的极限 记作 或 axn n xaa n xaxn n lim axn n 若数列没有极限 则称数列不收敛 或称为发散数列 n x n x n x 若 则称为无穷小数列 0lim n n x n x 定理定理 数列收敛于的充要条件是 为无穷小数列 n xa axn 2 2 有界数列的概念 有界数列的概念 对于数列 如果存在正数 使得对于一切的都有不等式成立 则称数列 n xM n xMxn 是有界的 如果这样的正数不存在 则称数列是无界的 n xM n x 注释 注释 1 若数列收敛 则数列有界 n x 2 有界数列不一定收敛 如 有界 但不收敛 所以数列有界是数列收敛的 n x n n a 1 必要条件 3 常数 CC n lim0 1 lim p n n 0 p0lim n n q1 q 4 等差数列的求和公式或 2 1n n aan S d nn naSn 2 1 1 5 等比数列的前项和公式 n q qa S n n 1 1 1 3 3 单调数列的概念 单调数列的概念 对于数列 如果满足条件 则称数列为单调增加数列 n x 121nn xxxx n x 如果满足条件 则称数列为单调减少数列 121nn xxxx n x 单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列 7 定理定理 单调有界准则 单调有界数列必有极限 二 函数极限二 函数极限 1 1 时 函数时 函数的极限的极限 x xf 1 概念 概念 定义定义 如果当时 函数无限趋近于某个确定的常数 则称常数为函数当 x xfAA xf 时的极限 记作 或 xAxf x limAxf x 注释 注释 1 是指的绝对值无限增大 它包含以下两种情况 取正值并无限增大 记 xxx 作 取负值且其绝对值无限增大 记作 xx x 2 如果和两种情况都存在且函数的极限值相等时 则可合并写成 x x x 定义定义 如果当时 函数无限趋近于某个确定的常数 则称常数为函数 x xfAA 当时的极限 记作 或 xf xAxf x limAxf x 如果当时 函数无限趋近于某个确定的常数 则称常数为函数当 x xfAA xf 时的极限 记作 或 xAxf x limAxf x 2 函数 函数在在时极限存在的充要条件时极限存在的充要条件 xf x 定理定理 极限存在的充要条件是且 Axf x limAxf x limAxf x lim 如 由于 所以 故极 2 arctanlim x x 2 arctanlim x x xx xx arctanlimarctanlim 限不存在 x x arctanlim 又如 由于 即不存在 故极限不存在 0lim x x e x x elim x x e lim 2 2 时 函数时 函数的极限的极限 0 xx xf 1 1 函数 函数在在时的极限概念时的极限概念 xf 0 xx 定义定义 设函数在的某个去心邻域内有定义 如果当时 函数无限地趋近 xf 0 x 0 xx xf 于某一确定的常数 则称为函数当时的极限 记作 或AA xf 0 xx Axf xx lim 0 8 Axf 0 xx 注释 注释 表示趋近于 含以下两种情况 0 xx x 0 x 1 从大于的一侧 即右侧 趋近于 记作 x 0 x 0 x 0 xx 2 从大于的一侧 即右侧 趋近于 记作 x 0 x 0 x 0 xx 2 2 函数左极限与右极限的概念 函数左极限与右极限的概念 定义定义 设函数在的某个左侧邻域 内有定义 如果当从的左 xf 0 x 00 xx 0 x 0 x 侧趋近于 记作 时 函数无限地趋近于某一确定的常数 则称为函数 0 x 0 xx xfAA 当时的极限 记作 或或 xf 0 xxAxf xx lim 0 Axf 0 Axf 0 0 设函数在的某个右侧邻域 内有定义 如果当从的右侧趋近 xf 0 x 00 xx0 x 0 x 于 记作 时 函数无限地趋近于某一确定的常数 则称为函数当 0 x 0 xx xfAA xf 时的极限 记作 或或 0 xxAxf xx lim 0 Axf 0 Axf 0 0 3 3 函数 函数在在时极限存在的充要条件时极限存在的充要条件 xf 0 xx 定理定理 极限存在的充要条件是且 Axf xx lim 0 Axf xx lim 0 Axf xx lim 0 注释 注释 该定理主要用来判定分段函数在分段点处极限是否存在的重要定理 4 4 几个常用极限 几个常用极限 常数 0 1 lim x x CC xx 0 lim0sinlim 0 x x 1coslim 0 x x 0 0 limxx xx 5 5 初等函数的极限 初等函数的极限 基本初等函数在定义域内任一点的极限等于该点的函数值 初等函数在定义区间内任一点 0 x 的极限等于该点的函数值 0 x 3 3 函数极限的性质 函数极限的性质 1 唯一性 唯一性 若极限存在 则它的极限必唯一 lim 0 xf xx 9 2 局部有界性 局部有界性 若存在 则和 当时 有 lim 0 xf xx 0 0 M 0 0 xx Mxf 3 保序性 保序性 设 Axf xx lim 0 Bxg xx lim 0 若 则 当时 有 BA 0 0 0 xx xgxf 若当时 有 则 0 0 xx xgxf BA 4 保号性 保号性 若 或 0 则必 当时 有0 lim 0 Axf xx 0 0 0 xx 或 0 xf0 xf 若 或 且 则 或 0 xf0 xfAxf xx lim 0 0 A0 A 注释 注释 上述的变化趋势 可以换成 0 xx 0 xx 0 xx x x x 若 且 则是错误的 如 0 0 或xfAxf xx lim 0 0 A 0 或 但 0 0 2 xxxf0 lim 0 xf x 1 3 极限的运算法极限的运算法则则 若 都存在 则 limxf limxg 1 lim lim limxgxfxgxf 2 特别地 lim lim limxgxfxgxf lim limxfCxCf 3 其中 lim lim lim xg xf xg xf 0 lim xg 4 lim limxgfxgf 5 其中且不等于 1 lim lim lim xg xg xfxf 0 lim xf 特别地 为实数 lim lim xfxf 10 注释 注释 法则 1 2 可以推广到有限个函数 时有理分式极限的求法 0 xx 设是有理分式 其中 xR 01 1 1 01 1 1 bxbxbxb axaxaxa xQ xP xR n n n n n n n n m n 0 n a0 n b 1 若 则 0 0 xQm lim 0 0 0 0 xR xQ xP xR m n xx 2 若 而 则 0 0 xQm0 0 xPn lim 0 xR xx 3 若且 则与一定有公因子 将与0 0 xQm0 0 xPn xPn xQm 0 xx xPn 因式分解 约去公因式后再计算极限 xQm 时有理分式极限的求法 x 其中 0 lim 时当 时当 时当 nm nm b a nm xR n n x 0 n a0 n b 无理分式极限的求法 先分子或分母有理化 在计算极限 型有理分式的求法 先通分 再求极限 1 4 极限存在准极限存在准则则及两个重要极限及两个重要极限 一 极限存在准则一 极限存在准则 夹逼定理 夹逼定理 如果对于的去心邻域内的一切都有 且 0 xx xhxfxg 则有 Axhxg xxxx lim lim 00 Axf xx lim 0 二 两个重要极限二 两个重要极限 1 1 sin lim 0 x x x 1 sin lim 0 x x x 一般的 表示任一函数 即 1 sin lim 0 xu1 sin lim 0 xu xu xu 2 e x x x 1 1 limex x x 1 0 1 lim 11 一般的 表示任一函数 即e 1 1 lime 1 0 1 lim xu e xu xu xu 1 1 limexu xu xu 1 0 1 lim 1 5 无无穷穷小量与无小量与无穷穷大量 无大量 无穷穷小的比小的比较较 一 无穷小量 1 无穷小量的概念 无穷小量的概念 若 或 则称是 或 时的无穷小量 简称0 lim 0 xf xx 0 lim xf x xf 0 xx x 无穷小 2 极限与无穷小量的关系 极限与无穷小量的关系 其中是时的无穷小量 AxfAxf x xx lim 0 0 xx 是 或 时的无穷小量 lim 0 AxfAxf x xx 0 xx x 3 无穷小量的性质 无穷小量的性质 1 有限个无穷小量的和 差 积仍然是无穷小量 2 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量 二 无穷大量 1 无穷大量的概念 无穷大量的概念 如果当 或 时 函数的绝对值无限增大 则称函数为 或 0 xx x xf xf 0 xx 时的无穷大量 简称无穷大 记作 x lim 0 xf x xx 2 无穷大与无穷小的关系 无穷大与无穷小的关系 在自变量的同一变化过程中 如果是无穷大量 则是无穷小量 如果是无穷小 xf 1 xf xf 量且 则是无穷大量 0 xf 1 xf 12 三 无穷小量的比较 1 无穷小比较的概念 无穷小比较的概念 设 则0 lim x 0 lim x 0 x 若 则称是的高阶无穷小量 记 0 lim x x x x o 若 则称与是等价无穷小量 记 1 lim x x x x 若 则称与都是同阶无穷小量 0 lim a x x x x 若 称是的阶无穷小量 0 lim aa x x k x x k 若 称是的低阶无穷小量 lim x x x x 注释 注释 在无穷小的比较中 是在自变量相同变化趋势下的无穷小量 xx 无穷小量的比较只是定性的 即只有阶的高低之别 没有数量上的关系 不是任何无穷小量都能比较其阶的高低的 如 当时 都是无穷 x 2 sin x x 2 1 x 小量 但不存在 不能比较其阶的高低 x xx sinlimlim 2 几个常用的等价无穷小量 几个常用的等价无穷小量 当时 有下列无穷小等价0 x xx sinxx tan 2 cos1 2 x x xx arcsinxx arctanxe x 1 axa x ln 1 xx 1ln a x x a ln log 0 1 1 xx 3 等价无穷小替换定理 等价无穷小替换定理 若 则 limlimlimlim 13 注释 注释 在求极限时 整个式子的分子或分母必须整体替换 不能分子或分母分项替换 即在分 子或分母是和 差的情况不能替换 只能替换乘积中的无穷小量 等价无穷小量具有传递性 变化趋势必须相同 它们都是互相等价的 1 6 函数的函数的连续连续性及性及闭闭区区间间上上连续连续函数的性函数的性质质 一 函数一 函数在点在点的连续性的连续性 xfy 0 x 1 1 函数 函数在点在点的连续性概念的连续性概念 xfy 0 x 定义定义 设函数在点及其附近有定义 如果 则称 xf 0 x0 limlim 00 00 xfxxfy xx 函数在点连续 xf 0 x 定义定义 设函数在点及其附近有定义 如果 则称函数在点连 xf 0 x lim 0 0 xfxf xx xf 0 x 续 注释 注释 1 函数在点处连续必须满足三个条件 xfy 0 x 函数在点及其附近有定义 xf 0 x 极限存在 lim 0 xf xx 极限的值等于函数在点处的函数值 lim 0 xf xx xf 0 x 2 判断函数在某个具体的点是否连续 特别是判断分段函数在分段点是否连续 一般利用 来完成 lim 0 0 xfxf xx 2 2 左 右连续的定义 左 右连续的定义 若在点的左邻域内有定义 且 则称在点左连续 xf 0 x lim 0 0 xfxf xx xf 0 x 若在点的右邻域内有定义 且 则称在点右连续 xf 0 x lim 0 0 xfxf xx xf 0 x 3 3 函数 函数在点在点连续的充要条件连续的充要条件 xf 0 x 函数在点处连续的充要条件是 在点既左连续又右连续 xf 0 x xf 0 x 注释 注释 该定理主要用来讨论分段函数在分段点处的连续性 14 二 函数二 函数在区间上的连续性概念在区间上的连续性概念 xf 若对在点都连续 则称在开区间上连续 若在开区间 0 xfbax 0 x xf ba xf 上连续 且在点右连续 在点左连续 则称在闭区间上连续 baab xf ba 三 连续函数的性质三 连续函数的性质 1 1 连续函数的四则运算 连续函数的四则运算 若函数 在点都连续 则也都在点也 xf xg 0 x 0 xg xg xf xgxfxgxf 0 x 连续 2 2 复合函数的连续性 复合函数的连续性 若在点连续 而在点连续 则 xgu 0 x 00 xgu ufy 0 u 复合函数在点也连续 且有 xgfy 0 x lim lim 0 00 xgfxgfxgf xxxx 3 反函数的连续性 反函数的连续性 若函数在区间 I 上严格单调且连续 则其反函数也 xfy 1 xfy 在相应的区间上严格单调且连续 4 初等