最大公约数与最小公倍数应用

1 最大公约数与最小公倍数应用 一 一 知识要点 1 性质 1 如果 a b 两数的最大公约数为 d 则 a md b nd 并且 m n 1 例如 24 54 6 24 4 6 54 9 6 4 9 1 2 性质 2 两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积 a 与 b 的最小公倍数 a b 是 a 与 b 的所有倍数的最大公约数 并且 a b a b a b 例如 18 12 18 12 18 12 18 12 3 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数 3 辗转相除法 二 热点考题 例 1 两个自然数的最大公约数是 6 最小公倍数是 72 已知其中一个自然数是 18 求另一个自然数 运用性质 2 练一练 甲数是 36 甲 乙两数的最大公约数是 4 最小公倍数是 288 求乙 数 例 2 两个自然数的最大公约数是 7 最小公倍数是 210 这两个自然数的和是 77 求这两个自然数 分析与解 如果将两个自然数都除以 7 则原题变为 两个自然数的最大公 约数是 1 最小公倍数是 30 这两个自然数的和是 11 求这两个自然数 例 3 已知 a 与 b a 与 c 的最大公约数分别是 12 和 15 a b c 的最小公倍数 是 120 求 a b c 分析与解 因为 12 15 都是 a 的约数 所以 a 应当是 12 与 15 的公倍数 即是 12 15 60 的倍数 再由 a b c 120 知 a 只能是 60 或 120 a c 15 说明 c 没有质因数 2 又因为 a b c 120 23 3 5 所以 c 15 练一练 已知两数的最大公约数是 21 最小公倍数是 126 求这两个数的和 是多少 例 4 已知两个自然数的和是 50 它们的最大公约数是 5 求这两个自然数 例 5 已知两个自然数的积为 240 最小公倍数为 60 求这两个数 习 题 四 1 已知某数与 24 的最大公约数为 4 最小公倍数为 168 求此数 2 已知两个自然数的最大公约数为 4 最小公倍数为 120 求这两个数 3 已知两个自然数的和为 165 它们的最大公约数为 15 求这两个数 4 已知两个自然数的差为 48 它们的最小公倍数为 60 求这两个数 2 5 已知两个自然数的差为 30 它们的最小公倍数与最大公约数的差为 450 求 这两个自然数 6 已知两个自然数的和为 900 它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为 432 求这两个自然数 7 五年一班去划船 他们算了一下 如果增加一条船 正好每船坐 6 个 如果 减少一条船 正好每船坐 9 人 这个班有多少人 8 一个数被 2 除余 1 被 3 除余 2 被 4 除余 3 被 5 除余 4 被 6 除余 5 此 数最小是几 9 已知 A 与 B 的最大公约数为 6 最小公倍数为 84 且 A B 42 求 B 10 已知 A 和 B 的最大公约数是 31 且 A B 5766 求 A 和 B 11 有一盘水果 3 个 3 个地数余 2 个 4 个 4 个数余 3 5 个 5 个数余 4 个 问这个盘子里最少有多少个水果 家 庭 练 习 1 拖拉机前轮直径 64 厘米 后轮直径 96 厘米 拖拉机开动后 前轮至少转多 少圈 才能使前 后轮同时着地的两点重新同时着地 2 现在有香蕉 42 千克 苹果 112 千克 桔子 70 千克 平均分给幼儿园的几个 班 每班分到的这三种水果的数量分别相等 那么最多分给了多少个班 每个 班至少分到了三种水果各多少千克 3 一个数被 2 除余 1 被 3 除余 2 被 4 除余 3 被 5 除余 4 被 6 除余 5 此 数最小是几 4 将 72 和 120 的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式 5 两个自然数的最大公约数是 12 最小公倍数是 72 满足条件的自然数有哪 几组 3 例例 1 1 用自然数 a 去除 498 450 414 得到相同的余数 a 最大是多少 分析与解分析与解 因为 498 450 414 除以 a 所得的余数相同 所以它们两两之差的公约数应能 被 a 整除 498 450 48 450 414 36 498 414 84 所求数是 48 36 84 12 例例 2 2 现有三个自然数 它们的和是 1111 这样的三个自然数的公约数中 最大 的可以是多少 分析与解分析与解 只知道三个自然数的和 不知道三个自然数具体是几 似乎无法求最大公约数 只能从唯一的条件 它们的和是 1111 入手分析 三个数的和是 1111 它们的公约数一定 是 1111 的约数 因为 1111 101 11 它的约数只能是 1 11 101 和 1111 由于三个自 然数的和是 1111 所以三个自然数都小于 1111 1111 不可能是三个自然数的公约数 而 101 是可能的 比如取三个数为 101 101 和 909 所以所求数是 101 练习 1 在 1000 到 2000 之间 能同时被 6 8 10 这三个自然数整除的自然数一共 有几个 2 三个连续偶数 它们分别是 12 14 16 的倍数 比它们大的这样三个偶数 最小各是多少 3 四个连续自然数 它们分别是 6 7 8 9 的倍数 比它们大的这样四个自 然数最小各是多少 4 甲 乙 丙三人沿 600 米的环形跑道从同一地点出发同时同向跑步 甲每秒 跑 3 米 乙每秒跑 4 米 丙每秒跑 2 米 至少经过多少时间三人又同时从出发 点出发 5 两数的乘积是 9000 它们的最大公因数是 15 这个两数各是多少 6 甲 乙 丙三人绕操场竞走 他们走一圈分别需要 1 分 1 分 15 秒和 1 分 30 秒 三人同时从起点出发 最少需多长时间才能再次在起点相会 4 7 两个小于 150 的数的积是 2028 它们的最大公约数是 13 求这两个数 8 有一堆桔子 按每 4 个一堆分少 1 个 按每 5 个一堆分也少 1 个 按每 6 个 一堆分还是少 1 个 这堆桔子至少有多少个 例例 3 3 狐狸和袋鼠进行跳远比赛 狐狸每次跳 4 5 米 袋鼠每次跳 2 75 米 它们每秒都只跳一次 比赛途中 从起点开始 每隔 12 375 米设一个陷阱 当 它们之中一个先掉进陷阱时 另一个跳了多少米 例例 5 5 用长 9 厘米 宽 6 厘米 高 4 厘米的长方体搭一个正方体 至少需要 多少块这样的长方体木块 例例 6 6 1 A B 两数的乘积是 216 它们的最小公倍数是 36 A B 两数的 最大公因数是多少 2 甲乙两数的最小公倍数是 288 最大公因数是 4 甲 数是 36 乙数是多少 例例 7 7 加工某种机器零件 要经过三道工序 第一道工序每个工人每小时可 完成 3 个零件 第二道工序每个工人每小时可完成 10 个 第三道工序每个工人 每小时可完成 5 个 要使加工生产均衡 三道工序至少各分配几个工人 练习 1 甲数是乙数的三分之一 甲数和乙数的最小公倍数是 54 甲数是多少 乙数 是多少 2 一块长方形地面 长 120 米 宽 60 米 要在它的四周和四角种树 每两棵之 间的距离相等 最少要种树苗多少棵 每相邻两棵之间的距离是多少米 3 已知两个自然数的积是 5766 它们的最大公约数是 31 求这两个自然数 4 有一队同学去野炊 吃饭时 他们两人一个饭碗 三个人一个菜碗 四个人 一个汤碗 一共用了 91 个碗 参加野炊的至少有多少同学 5 带余数的除法 前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题 除此之外 例如 16 3 5 1 即 16 5 3 1 此时 被除数除以除数出现了余数 我们称之为带 余数的除法 一般地 如果 a 是整数 b 是整数 b 0 那么一定有另外两个整数 q 和 r 0 r b 使得 a b q r 当 r 0 时 我们称 a 能被 b 整除 当 r 0 时 我们称 a 不能被 b 整除 r 为 a 除以 b 的余数 q 为 a 除以 b 的不完全商 亦简称为商 用带余除式又可以表示为 a b q r 0 r b 例 1 一个两位数去除 251 得到的余数是 41 求这个两位数 分析 这是一道带余除法题 且要求的数是大于 41 的两位数 解题可从带余除式 入手分析 解 被除数 除数 商 余数 即被除数 除数 商 余数 251 除数 商 41 251 41 除数 商 210 除数 商 210 2 3 5 7 210 的两位数的约数有 10 14 15 21 30 35 42 70 其中 42 和 70 大于余数 41 所以除数是 42 或 70 即要求的两位数是 42 或 70 例 2 用一个自然数去除另一个整数 商 40 余数是 16 被除数 除数 商数与 余数的和是 933 求被除数和除数各是多少 解 被除数 除数 商 余数 即被除数 除数 40 16 由题意可知 被除数 除数 933 40 16 877 除数 40 16 除数 877 除数 41 877 16 除数 861 41 除数 21 被除数 21 40 16 856 答 被除数是 856 除数是 21 例 3 某年的十月里有 5 个星期六 4 个星期日 问这年的 10 月 1 日是星期几 解 十月份共有 31 天 每周共有 7 天 31 7 4 3 根据题意可知 有 5 天的星期数必然是星期四 星期五和星期六 这年的 10 月 1 日是星期四 例 4 3 月 18 日是星期日 从 3 月 17 日作为第一天开始往回数 即 3 月 16 日 第二天 15 日 第三天 的第 1993 天是星期几 解 每周有 7 天 1993 7 284 周 5 天 从星期日往回数 5 天是星期二 所以第 1993 天必是星期二 例 5 一个数除以 3 余 2 除以 5 余 3 除以 7 余 2 求适合此条件的最小数 这是一道古算题 它早在 孙子算经 中记有 今有物不知其数 三三数 之剩二 五五数之剩三 七七数之剩二 问物几何 6 关于这道题的解法 在明朝就流传着一首解题之歌 三人同行七十稀 五树梅花廿一枝 七子团圆正半月 除百零五便得知 意思是 用除以 3 的余 数乘以 70 用除以 5 的余数乘以 21 用除以 7 的余数乘以 15 再把三个乘积 相加 如果这三个数的和大于 105 那么就减去 105 直至小于 105 为止 这样就 可以得到满足条件的解 其解法如下 方法 1 2 70 3 21 2 15 233 233 105 2 23 符合条件的最小自然数是 23 例 5 的解答方法不仅就这一种 还可以这样解 方法 2 3 7 2 23 23 除以 5 恰好余 3 所以 符合条件的最小自然数是 23 方法 2 的思路是什么呢 让我们再来看下面两道例题 例 6 一个数除以 5 余 3 除以 6 余 4 除以 7 余 1 求适合条件的最小的自然数 分析 除以 5 余 3 即 加 2 后被 5 整除 同样 除以 6 余 4 即 加 2 后被 6 整除 解 5 6 2 28 即 28 适合前两个条件 想 28 5 6 之后能满足 7 除余 1 的条件 28 5 6 4 148 148 21 7 1 又 148 210 5 6 7 所以 适合条件的最小的自然数是 148 例 7 一个数除以 3 余 2 除以 5 余 3 除以 7 余 4 求符合条件的最小自然数 解 想 2 3 之后能满足 5 除余 3 的条件 2 3 2 8 再想 8 3 5 之后能满足 7 除余 4 的条件 8 3 5 3 53 符合条件的最小的自然数是 53 归纳以上两例题的解法为 逐步满足条件法 当找到满足某个条件的数后 为了再满足另一个条件 需做数的调整 调整时注意要加上已满足条件中除数 的倍数 解这类题目还有其他方法 将会在有关 同余 部分讲到 例 8 一个布袋中装有小球若干个 如果每次取 3 个 最后剩 1 个 如果每次取 5 个或 7 个 最后都剩 2 个 布袋中至少有小球多少个 解 2 5 7 1 37 个 37 除以 3 余 1 除以 5 余 2 除以 7 余 2 布袋中至少有小球 37 个 例 9 69 90 和 125 被某个正整数 N 除时 余数相同 试求 N 的最大值 分析 在解答此题之前 我们先来看下面的例子 15 除以 2 余 1 19 除以 2 余 1 即 15 和 19 被 2 除余数相同 余数都是 1 但是 19 15 能被 2 整除 由此我们可以得到这样的结论 如果两个整数 a 和 b 均被自然数 m 除 余数相同 那么这两个整数之差 大 小 一定能被 m 整除 7 反之 如果两个整数之差恰被 m 整除 那么这两个整数被 m 除的余数一定 相同 例 9 可做如下解答 三个整数被 N 除余数相同 N 90 69 即 N 21 N 125 90 即 N 35 N 是 21 和 35 的公约数 要求 N 的最大值 N 是 21 和 35 的最大公