数学模型经典实例.ppt

第一章数学模型 一 模型 为了一定的目的 人们对原型的一个抽象 二 数学模型 通过抽象和化简 使用数学语言 对实际问题的一个近似描述 以便于人们更深刻地认识所研究的对象 例1 牛顿定律 假设 1 物体为质点 忽略物体的大小和形状 2 没有阻力 摩擦力及其他外力 令x t 表示在t时刻物体的位置 则 例2 哥尼斯堡七桥问题 1736KonigsbergPregelEuler 数学模型 数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁在数学发展的进程中无时无刻不留下数学模型的印记 三 数学模型的特征 1 实践性 有实际背景 有针对性 接受实践的检验 2 应用性 注意实际问题的要求 强调模型的实用价值 3 综合性 数学知识的综合 模型的综合 四 模型举例 例1 管道包扎问题 用带子包扎管道 使带子全部包住管道 且用料最省 假设 1 直圆管 粗细一致 2 带子等宽 无弹性 3 带宽小于圆管截面周长 4 为省工 包扎时不减断带子 问题 用带子缠绕包扎管道 使带子全部包住管道 且互不重叠 参量 变量 W 带宽 C 截面周长 倾斜角模型 倾斜角模型 讨论 1 实用么 2 深刻么 模型 截口模型 讨论1 实用性2 深入分析 例题 已知 管长L 管粗C 带宽W 求带长M 若L 30m C 50cm W 30cm则有M 30 0 5 0 3 0 4 50 4 m 问题 若有带长M1 51m 缠绕包扎上面的管道 多余的60cm带子不打算裁掉 缠绕时允许带子互相重叠一部分 应该如何包扎这个管道 计算结果精确到0 001 例2 地面上的方桌在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地 假设 1 方桌的四条腿等长 四脚连线呈平面正方形ABCD 2 地面的起伏是连续变化的 模型 1 如何用描述 桌子的四个脚同时着地 xA A与地面的距离 xB xC xD 2 如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地 定位 中心O位于坐标原点移动 桌子围绕中心转动 AC与X轴的夹角 0 0 900 1 xA 表示在位置 时 桌脚A与地面的距离 同样xB xC xD 令f xA xC g xB xD 则有f g 连续且f g 0 桌子在位置 四脚落地 则有f 0 g 0 若f 0 0 g 0 0 则有f 1 0 g 1 0令h f g 则有h 连续且h 0 0 问题 1 将例2的假设1改为 方桌的四条腿等长 四脚连线呈平面长方形 试构造数学模型证实结论同样成立 2 小王早上8 00从A城出发于下午5 00到达B城 次日早上8 00他又从B城出发沿原路返回并于下午5 00准时到达A城 试用数学模型说明A B城之间定有一个位置 小王在往返A B二城的途中于相同的时间到达该位置 例3 交通路口红绿灯 十字路口绿灯亮15秒 最多可以通过多少辆汽车 假设 1 车辆相同 从静止开始做匀加速动 2 车距相同 启动延迟时间相等 3 直行 不拐弯 单侧 单车道 4 秩序良好 不堵车 车长L 车距D 加速度a 启动延迟T时间t 车位Sn t 模型 1 停车位模型 Sn 0 n 1 L D 2 启动时间 tn nT3 行驶模型 Sn t Sn 0 1 2a t tn 2 t tn4 限速行驶 tn a v tnSn t Sn 0 1 2a tn tn 2 v t tn t tn Sn 0 1 2a t tn 2 tn t tn Sn 0 tn t 参数估计 L 5m D 2m T 1s v 40km h 1 1m sa 2 6m s2 2m s2 结论 S8 15 9m S9 15 9 1m该路口最多通过八辆汽车 问题 1 调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确 10 位置 走向 车道数 时间 绿灯时间 通过的车数 至少三次 数据不同的原因 20 模型的假设与实际是否一致 模型的参数与实际是否一致 30 模型的计算结果与观测结果是否一致 不一致时 为什么 如何修改模型 2 分析汽车开始以最高限速穿过路口的时间 3 给出穿过路口汽车的数量随时间变化的数学模型 例4 人员疏散 建模分析意外事件发生时建筑物内的人员疏散所用的时间 假设 1 单排教室 直走道 一个出口 2 人员撤离时 单行 有序 间隔均匀 匀速地撤出 3 忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的时间 参数 人数nk 教室距离Lk 门宽D 速度v 间隔d 疏散时间Tk 模型 T1 n1d L1 vT2 n2d L1 L2 D vT12 n2d L1 L2 D v L2 D n1 1 d n1 n2 1 d L1 v L2 D n1 1 d 讨论 1 模型分析 T nd L v v 则T d 则T 2 多行行进3 d 则T 令d 0 则有T L v 疏散时间与人数无关 假设中忽略了人体的厚度 修改假设 1 单排教室 直走道 一个出口 2 人员撤离时 单行 有序 间隔均匀 匀速地撤出 3 忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的时间 4 人体厚度相同w 继续讨论 1 T nd L v v 则T d 则T 2 多行行进3 令d 0 则有T L v 疏散时间与人数无关 假设中忽略了人体的厚度 4 考虑厚度的影响T n d w L v 若v v d 0 则T nw L v 最短合理吗 继续修改假设 1 单排教室 直走道 一个出口 2 人员撤离时 单行 有序 间隔均匀 匀速地撤出 3 忽略列队的时间和第一个人到达教室门口的时间 4 人体厚度相同5 速度与密度有关v v d 模型 T nd L v d 其中v v d 应满足d 则v 若d 则v v 若d 0 则v 0 这时存在唯一的间隔d 和相应的速度v 使得疏散的时间最短 V ad b d 7 83d 75 60 d 问题 在上面的讨论中 证明如果疏散队伍的速度是队列间隔的增函数 则存在有唯一的间隔d 和速度v 使得疏散的时间最短 如果有n 400 L 30m w 0 2m 求最优疏散方案 例5 赛程安排五支球队在同一场地上进行单循环比赛 共进行十场比赛 如何安排赛程对各队来说都是公平的 B1C92D357E68104ABCD 12345678910ABBCADDEBDAECDBEACCE间隔场次数ABCDE104012210122011 问题 赛程如何做到公平安排 如何安排比赛的赛程 使相邻比赛各队最小的间隔场次达到可能的最大 例6 一个农民有一头重量大约是200磅的猪 在上一周猪每天增重约5磅 五天前猪价为70美分 磅 但现在猪价下降为65美分 磅 饲养每天需花费45美分 求出售猪的最佳时间 假设 1 出售前 猪每天以定常的日增重量生长 2 猪出售的价格以每天相同的数量减少 3 猪饲养的花费每天不变 4 猪在饲养和出售期间不再有其他的花费 变量和参量 猪的重量w 磅 猪的饲养时间t 天 t天内饲养猪的花费C 美元 猪的市场价格p 美元 磅 售猪所获得的总收益R 美元 最终获得的净收益P 美元 猪的初始重量w0 磅 猪的日增重量g 磅 出售价格 单价 的日减少量r 美元 每天饲养猪的花费k 美元 模型 重量w w0 gt 单价p p0 rt 总花费C kt 总收益R pw净收益的模型P R C p0 rt w0 gt kt 参数估计w0 200 g 5 p0 0 65 r 0 01 k 0 445P R C 0 65 0 01t 200 5t 0 45tP t 130 0 8t 0 05t2 问题 求出售时间使净收益最高令P t 0则有0 8t 2 0 05t 0得t 8P 8 130 0 8 8 0 05 82 133 2结论 饲养8天后出售 收益最高为133 2美元 分析 1 结果对参数的敏感程度 结论所依赖的参数猪的初始重量w0 猪的初始价格p0 猪的饲养花费k 猪重的增加速率g 价格降低的速率r 价格变化率r对售猪时间t的影响 价格p t 0 65 rt 净收益P t 0 65 rt 200 5t 0 45t最大值点t 7 500r 25r r0 0080 0090 010 0110 012t1511 18 05 53 3 增重率g对售猪时间t的影响 重量w t 200 gt净收益P t 0 65 0 01t 200 gt 0 45t最大值点t 5 13g 49 2g g44 555 56t1 8755 28810 2312 08 将敏感性数据表示成相对改变量 要比绝对改变量的形式更自然也更实用 模型的参数灵敏度如果r改变了 r 则的相对改变量为 r r 如果r改变了 r 导致t有 t的改变量 则相对改变量的比值为 t t比上 r r令 r 0 按照导数的定义 我们有称这个极限值为t对r的灵敏度 记为S t r 对于我们的问题 有时间与价格的关系t 7 500r 25r 在r 0 01附近 t关于r的灵敏度为S t r dt dr r t 2800 0 01 8 3 5价格变化率降低1 将导致时间延长3 5 时间与增重量的关系t 5 13g 49 2g 在g 5附近 t关于g的灵敏度为S t g dt dg g t 4 9 5 8 3 06增重率增加1 将导致出售时间延长3 2 模型的稳健性一个数学模型称为是稳健的 是指即使这个模型不完全精确 但其结果仍是可信的 虽然数学模型力求完美 但这是不可能达到的 一个更确切的说法是数学模型力求接近完美 一个好的数学模型有较好的稳健性 是指虽然它给出的答案并不是完全精确的 但是足够近似的从而可以在实际问题中应用 因此 在数学模型问题中关于稳健性的讨论是很有必要的 1 参数r g的变化对净收益P的影响固定r 令g 4 5和5 5 可得出售时间t为5 28和10 23 分别代入模型P t 0 65 0 01t 200 gt 0 45t可得最优净收益为131 2 135 8只相差2美元固定g 令r 009和 011 可得出售时间t为11 1和5 5 分别代入模型P t 0 65 rt 200 5t 0 45t可得最优净收益为135 6 131 6只相差2美元净收益值P对参数r g的变化视稳健的 2 假设对模型的影响关于猪的重量增加和价格降低是线性函数的假设不总是成立的 以这些数据 w0 200 w 5 p0 0 65 p 0 01 为依据确定何时售出时 要注意到在未来的几周内w 和p 可能不会保持常数 因此也不会是时间的线性函数 这时 经收益的增长率P w p wp 0 45其中w p wp 代表猪价的增长率 第一项代表由于猪增重而增加的 第二项代表因价格下降而损失的价值价值 模型告诉我们 只要猪价比饲养的费用增长快 就应暂不卖出 继续饲养 另一方面 只要时间不长 在这段时期内w 和p 的变化就不会太大 由于假设它们是线性的而导致的误差就不会太大 这时 按照前面的数据所得到的8天出售的结果对净收益值P来说也是稳健的 不难算出 在3天到13天之间出售的净收益的数值都在132美元之上 与最优的收益只损失了不到2美元 在今后的几天内 如果猪的增重量降低10 或者出售价格增加了10 出售时间将会提前 在第8天出售时净收益的损失量也是稳健的 不会超过1美元 g 5 r 01g 4 5 r 01g 5 r 011 结论我们现在能说的只是至少要等8天再出售 对较小的p 接近0 模型建议我们等较长的时间再出售 但我们的模型对较长的时间不再有效 因此 解决这个问题的最好的方法是将猪再饲养一周的时间 然后重新估计w0 w p0和p 再用模型重新计算 问题1 在售猪问题中 对每天的饲养花费做灵敏度分析 分别考虑对最佳售猪时间和相应收益的影响 如果有新的饲养方式 每天的饲养花费为60美分 会使猪按7磅 天增重 那么是否值得改变饲养方式 求出使饲养方式值得改变的最小的增重率 问题2 假设p t 0 65 0 01t 0 00004t2 表示t天后猪的价格 美元 磅 1 画图表示p t 及我们原来的价格函数 解释为什么原来的价格函数可以作为p t 在接近零时的