最大公约数法与最小公倍数法解应用题

最大公约数法最大公约数法 通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法 叫做最大公约数法 例例 1 1 甲班有 42 名学生 乙班有 48 名学生 现在要把这两个班的学生平均分成若干个 小组 并且使每个小组都是同一个班的学生 每个小组最多有多少名学生 解 要使每个小组都是同一个班的学生 并且要使每个小组的人数尽可能多 就要求 出 42 和 48 的最大公约数 2 3 6 42 和 48 的最大公约数是 6 答 每个小组最多能有 6 名学生 例例 2 2 有一张长 150 厘米 宽 60 厘米的长方形纸板 要把它分割成若干个面积最大 井已面积相等的正方形 能分割成多少个正方形 解 因为分割成的正方形的面积最大 并且面积相等 所以正方形的边长应是 150 和 60 的最大公约数 求出 150 和 60 的最大公约数 2 3 5 30 150 和 60 的最大公约数是 30 即正方形的边长是 30 厘米 看上面的短除式中 150 60 除以 2 之后 再除以 3 5 最后的商是 5 和 2 这说明 当正方形的边长是 30 厘米时 长方形的长 150 厘米中含有 5 个 30 厘米 宽 60 厘米中含有 2 个 30 厘米 所以 这个长方形能分割成正方形 5 2 10 个 答 能分割成 10 个正方形 例例 3 3 有一个长方体的方木 长是 3 25 米 宽是 1 75 米 厚是 0 75 米 如果将这块 方木截成体积相等的小正方体木块 并使每个小正方体木块尽可能大 小木块的棱长是多 少 可以截成多少块这样的小木块 解 3 25 米 325 厘米 1 75 米 175 厘米 0 75 米 75 厘米 此题实际是求 325 175 和 75 的最大公约数 5 5 25 325 175 和 75 的最大公约数是 25 即小正方体木块的棱长是 25 厘米 因为 75 175 325 除以 5 得商 15 35 65 15 35 65 再除以 5 最后的商是 3 7 13 而小正方体木块的棱长是 25 厘米 所以 在 75 厘米中包含 3 个 25 厘米 在 175 厘米中包含 7 个 25 厘米 在 325 厘米中包含 13 个 25 厘米 可以截成棱长是 25 厘米的小木块 3 7 13 273 块 答 小正方体木块的棱长是 25 厘米 可以截成这样大的正方体 273 块 例例 4 4 有三根绳子 第一根长 45 米 第二根长 60 米 第三根长 75 米 现在要把三根 长绳截成长度相等的小段 每段最长是多少米 一共可以截成多少段 适于六年级程度 解 此题实际是求三条绳子长度的最大公约数 3 5 15 45 60 和 75 的最大公约数是 15 即每一小段绳子最长 15 米 因为短除式中最后的商是 3 4 5 所以在把绳子截成 15 米这么长时 45 米长的绳 子可以截成 3 段 60 米长的绳子可以截成 4 段 75 米长的绳子可以截成 5 段 所以有 3 4 5 12 段 答 每段最长 15 米 一共可以截成 12 段 例例 5 5 某校有男生 234 人 女生 146 人 把男 女生分别分成人数相等的若干组后 男 女生各剩 3 人 要使组数最少 每组应是多少人 能分成多少组 适于六年级程度 解 因为男 女生各剩 3 人 所以进入各组的男 女生的人数分别是 234 3 231 人 男 146 3 143 人 女 要使组数最少 每一组的人数应当是最多的 即每一组的人数应当是 231 人和 143 人 的最大公约数 231 143 的最大公约数是 11 即每一组是 11 人 因为 231 143 除以 11 时 商是 21 和 13 所以男生可以分为 21 组 女生可以分为 13 组 21 13 34 组 答 每一组应是 11 人 能分成 34 组 例例 6 6 把 330 个红玻璃球和 360 个绿玻璃球分别装在小盒子里 要使每一个盒里玻璃球 的个数相同且装得最多 一共要装多少个小盒 适于六年级程度 解 求一共可以装多少个盒子 要知道红 绿各装多少盒 要将红 绿分别装在盒子 中 且每个盒子里球的个数相同 装的最多 则每盒球的个数必定是 330 和 360 的最大公 约数 2 3 5 30330 和 360 的最大公约数是 30 即每盒装 30 个球 330 30 11 盒 红球装 11 盒 360 30 12 盒 绿球装 12 盒 11 12 23 盒 共装 23 盒 答略 例例 7 7 一个数除 40 不足 2 除 68 也不足 2 这个数最大是多少 适于六年级程度 解 一个数除 40 不足 2 除 68 也不足 2 的意思是 40 被这个数除 不能整除 要是在 40 之上加上 2 才能被这个数整除 68 被这个数除 也不能整除 要是在 68 之上 加上 2 才能被这个数整除 看来 能被这个数整除的数是 40 2 42 68 2 70 这个数是 42 和 70 的公约数 而 且是最大的公约数 2 7 14 答 这个数最大是 14 例例 8 8 李明昨天卖了三筐白菜 每筐白菜的重量都是整千克 第一筐卖了 1 04 元 第 二筐卖了 1 95 元 第三筐卖了 2 34 元 每 1 千克白菜的价钱都是按当地市场规定的价格 卖的 问三筐白菜各是多少千克 解 三筐白菜的钱数分别是 104 分 195 分 234 分 每千克白菜的价钱一定是这三 个数的公约数 把 104 195 234 分别分解质因数 104 23 13 195 3 5 13 234 2 32 13 104 195 234 最大的公有的质因数是 13 所以 104 195 234 的最大公约数是 13 即每千克白菜的价钱是 0 13 元 1 04 0 13 8 千克 第一筐 1 95 0 13 15 千克 第二筐 2 34 0 13 18 千克 第三筐 答 第一 二 三筐白菜的重量分别是 8 千克 15 千克 18 千克 例例 9 9 一个两位数除 472 余数是 17 这个两位数是多少 解 因为这个 两位数除 472 余数是 17 所以 472 17 455 455 一定能被这个 两位数整除 455 的约数有 1 5 7 13 35 65 91 和 455 这些约数中 35 65 和 91 大于 17 并且是两位数 所以这个两位数可以是 35 或 65 也可以是 91 答略 例例 1010 把图 32 1 的铁板用点焊的方式焊在一个大的铁制部件上 要使每个角必须有一 个焊点 并且各边焊点间的距离相等 最少要焊多少个点 单位 厘米 解 要求焊点最少 焊点间距就要最大 要求每个角有一个焊点 焊点间距离相等 焊点间距离就应是 42 厘米 24 厘米 18 厘米 36 厘米的最大公约数 2 3 6 它们的最大公约数是 6 即焊点间距离为 6 厘米 焊点数为 7 4 3 6 20 个 按这个算法每个角上的焊点是两个 因为要求每一个角上要有一个焊点 所以 要从 20 个焊点中减 4 个焊点 20 4 16 个 答略 最小公倍数法最小公倍数法 通过计算出几个数的最小公倍数 从而解答出问题的解题方法叫做最小公倍数法 例例 1 1 用长 36 厘米 宽 24 厘米的长方形瓷砖铺一个正方形地面 最少需要多少块瓷砖 解 因为求这个正方形地面所需要的长方形瓷砖最少 所以正方形的边长应是 36 24 的最小公倍数 2 2 3 3 2 72 36 24 的最小公倍数是 72 即正方形的边长是 72 厘米 72 36 2 72 24 3 2 3 6 块 答 最少需要 6 块瓷砖 例例 2 2 王光用长 6 厘米 宽 4 厘米 高 3 厘米的长方体木块拼最小的正方体模型 这 个正方体模型的体积是多大 用多少块上面那样的长方体木块 解 此题应先求正方体模型的棱长 这个棱长就是 6 4 和 3 的最小公倍数 2 3 2 12 6 4 和 3 的最小公倍数是 12 即正方体模型的棱长是 12 厘米 正方体模型的体积为 12 12 12 1728 立方厘米 长方体木块的块数是 1728 6 4 3 1728 72 24 块 答略 例例 3 3 有一个不足 50 人的班级 每 12 人分为一组余 1 人 每 16 人分为一组也余 1 人 这个班级有多少人 解 这个班的学生每 12 人分为一组余 1 人 每 16 人分为一组也余 1 人 这说明这个 班的人数比 12 与 16 的公倍数 50 以内 多 1 人 所以先求 12 与 16 的最小公倍数 2 2 3 4 48 12 与 16 的最小公倍数是 48 48 1 49 人 49 50 正好符合题中全班不足 50 人的要求 答 这个班有 49 人 例例 4 4 某公共汽车站有三条线路通往不同的地方 第一条线路每隔 8 分钟发一次车 第 二条线路每隔 10 分钟发一次车 第三条线路每隔 12 分钟发一次车 三条线路的汽车在同 一时间发车以后 至少再经过多少分钟又在同一时间发车 适于六年级程度 解 求三条线路的汽车在同一时间发车以后 至少再经过多少分钟又在同一时间发车 就是要求出三条线路汽车发车时间间隔的最小公倍数 即 8 10 12 的最小公倍数 2 2 2 5 3 120 答 至少经过 120 分钟又在同一时间发车 例例 5 5 有一筐鸡蛋 4 个 4 个地数余 2 个 5 个 5 个地数余 3 个 6 个 6 个地数余 4 个 这筐鸡蛋最少有多少个 解 从题中的已知条件可以看出 不论是 4 个 4 个地数 还是 5 个 5 个地数 6 个 6 个 地数 筐中的鸡蛋数都是只差 2 个就正好是能被 4 5 6 整除的数 因为要求这筐鸡蛋最 少是多少个 所以求出 4 5 6 的最小公倍数后再减去 2 就得到鸡蛋的个数 2 2 5 3 604 5 6 的最小公倍数是 60 60 2 58 个 答 这筐鸡蛋最少有 58 个 例例 6 6 文化路小学举行了一次智力竞赛 参加竞赛的人中 平均每 15 人有 3 个人得一 等奖 每 8 人有 2 个人得二等奖 每 12 人有 4 个人得三等奖 参加这次竞赛的共有 94 人 得奖 求有多少人参加了这次竞赛 得一 二 三等奖的各有多少人 解 15 8 和 12 的最小公倍数是 120 参加这次竞赛的人数是 120 人 得一等奖的人数是 3 120 15 24 人 得二等奖的人数是 2 120 8 30 人 得三等奖的人数是 4 120 12 40 人 答略 例例 7 7 有一个电子钟 每到整点响一次铃 每走 9 分钟亮一次灯 中午 12 点整时 电 子钟既响铃又亮灯 求下一次既响铃又亮灯是几点钟 解 每到整点响一次铃 就是每到 60 分钟响一次铃 求间隔多长时间后 电子钟既 响铃又亮灯 就是求 60 与 9 的最小公倍数 60 与 9 的最小公倍数是 180 180 60 3 小时 由于是中午 12 点时既响铃又亮灯 所以下一次既响铃又亮灯是下午 3 点钟 答略 例例 8 8 一个植树小组原计划在 96 米长的一段土地上每隔 4 米栽一棵树 并且已经挖好 坑 后来改为每隔 6 米栽一棵树 求重新挖树坑时可以少挖几个 解 这一段地全长 96 米 从一端每隔 4 米挖一个坑 一共要挖树坑 96 4 1 25 个 后来 改为每隔 6 米栽一棵树 原来挖的坑有的正好赶在 6 米一棵的坑位上 可不重 新挖 由于 4 和 6 的最小公倍数是 12 所以从第一个坑开始 每隔 12 米的那个坑不必挖 96 12 1 9 个 96 米中有 8 个 12 米 有 8 个坑是已挖好的 再加上已挖好的第一个坑 一共有 9 个 坑不必重新挖 答略 例例 9 9 一项工程 甲队单独做需要 18 天 乙队单独做需要 24 天 两队合作 8 天后 余 下的工程由甲队单独做 甲队还要做几天 解 由 18 24 的最小公倍数是 72 可把全工程分为 72 等份 72 18 4 份 是甲一天做的份数 72 24 3 份 是乙一天做的份数 4 3 8 56 份 两队 8 天合作的份数 72 56 16 份 余下工程的份数 16 4 4 天 甲还要做的天数 答略 例例 1010 甲 乙两个码头之间的水路长 234 千米 某船从甲码头到乙码头需要 9 小时 从乙码头返回甲码头需要 13 小时 求此船在静水中的速度 解 9 13 的最小公倍数是 117 可以把两码头之间的水路 234 千米分成 117 等份 每一份是 234 117 2 千米 静水中船的速度占总份数的 13 9 2 11 份 船在静水中每小时行 2 11 22 千米 答略 例例 1111 王勇从山脚下登上山顶 再按原路返回 他上山的速度为每小时 3 千米 下山 的速度为每小时 5 千米 他上 下山的平均速度是每小时多少千米 适于六年级程度 解 设山脚到山顶的距离为 3 与 5 的最小公倍数 3 5 15 千米 上山用 15 3