雅可比行列式

1 11 2 11 2 函数行列式函数行列式 教学目的教学目的 掌握函数行列式 教学要求教学要求 1 掌握函数行列式 2 能用函数行列式解决一些简单的问题 一 函数行列式一 函数行列式 由到 R 的映射 或变换 就是 n 元函数 即 n AR 或 12 n n x xxyfA RRR 1212 nn yf x xxx xxA 由到的映射 或变换 就是 n 个 n 元函数构成的函数组 即 n AR n R 或 1212 nnn nn x xxy yyfA RRR 1112 2212 12 12 1 n n n nnn yf x xx yfx xx x xxA yfx xx 表为 设它们对每个自变量都存在偏导数 行列式 12 n fff 1 2 1 2 i j f in jn x 2 111 12 222 12 12 n n nnn n fff xxx fff xxx fff xxx 称为函数组在点的雅可比行列式雅可比行列式 也称为函数行列式函数行列式 表为 12 n fff 12 n x xx 1212 12 12 nn nn fffD fff x xxD x xx 或 例 求下列函数组 变换 的函数行列式 求下列函数组 变换 的函数行列式 1 1 极坐标变换极坐标变换 cos sin xr yr 2 cossin sincos xx rr x y yyrr r 22 cossin rrr 2 2 柱面坐标变换柱面坐标变换 cos sin xr yr zz 22 cossin0 sincos0cossin 001 xxx rz r x y zyyy rrrr rzrz zzz rz 3 球面坐标变换 sincos sinsin cos xr yr zr 2 sincoscoscossinsin sinsincossinsincossin cossin0 xxx r rr x y zyyy rrr rr r zzz r 二 函数行列式的性质二 函数行列式的性质 为了简单起见 仅就 n 2 的情形加以讨论 所有结果对任意自然数 n 都是正确的 已知一元函数与的复合函数的导数是 与它类似的 yf x xt yft dydy dx dtdx dt 有 定理定理 1 1 若函数组有连续的偏导数 而也有连续偏 uu x y vv x y xx s tyy s t 导数 则 u vu vx y s tx ys t 证明 证明 由复合函数的微分法则 有 uu xu yuu xu y sxsystxtyt vv xv yvv xv y sx systxtyt 3 由行列式的乘法 有 u xu yu xu y uu xsysxtytu v st vvv xv yv xv ys t stxsysxtyt uu xx xyu vx y st vvyyx ys t xyst 若一元函数在点某邻域具有连续的导数 且 由连续函数的保 yf x 0 x fx 0 0fx 号性 在点某邻域保持同一符号 因而在函数严格单调 它存在 0 x 0 fxfx 与 yf x 反函数 且 xy 1 dx dy dy dx 和它类似的有 定理定理 2 2 若函数组有连续的偏导数 且 则存在有连续偏 uu x y vv x y 0 u v x y 导数的反函数组 且 xx u vyy u v 1 3 x y u v u v x y 证明 证明 11 1 定理 3 的推论已给出存在连续偏导数组的证明 下面证明 3 式成立 在定 理 1 中 令 有 su tv u vx yu v x yu vu v 10 1 01 uu uv vv uv 即 1 u v x y x y u v 0 u v x y 三 函数行列式的几何性质三 函数行列式的几何性质 4 一元函数是到的映射 取定一点 它的象是 当自变量 x 在点 yf x 1 R 1 R 0 x 00 yf x 有改变量 相应 y 在有改变量 线段的长与线段的长之比称为映 0 xx 0 yy y y x x y x A A 射 f 在到的平均伸缩系数平均伸缩系数 若当时平均伸缩系数存在极限 即 0 x 0 xx A0 x A y x A A 00 0 00 limlim xx yf xxf x fx xx AA AA AA 则称是映射 f 在点的伸缩系数伸缩系数 0 fx 0 x 由此可见 一元函数一元函数在点在点的导数的绝对值的导数的绝对值有新的几何意义 它是映射有新的几何意义 它是映射 f f yf x 0 x 0 fx 在点在点的伸缩系数的伸缩系数 0 x 同样 到的变换也有类似的几何意义 2 R 2 R uu x y vv x y 定理定理 3 3 若函数组在开区域 G 存在连续的偏导数 且 有 uu x y vv x y x yG 函数组将 xy 平面上开区域 G 变换称 uv 平面上的开区域 点 0 u v J x y x y G 变换成 u