第一课时等比数列1

2 3 1 等比数列的概念等比数列的概念 2 3 2 等比数列的通项公式 一 等比数列的通项公式 一 读一读学习要求 目标更明确读一读学习要求 目标更明确 1 通过实例 理解等比数列的概念 能够利用概念进行等比数列的判定与证明 2 掌握等比中项的概念 3 理解等比数列的通项公式及推导 能用公式解决一些简单的实际问题 看一看学法指导 学习更灵活看一看学法指导 学习更灵活 1 要善于通过实例的观察 分析 归纳 提炼等比数列的概念 2 学习等比数列时 要注意与等差数列进行类比 掌握两个数列的联系与区别 3 由等差中项类比得到等比中项时 要注意等比中项的存在前提是 a b 必须同号 而且同号的两个数的等比中项有两个 它们互为相反数 这点与等差中项不同 课前预习课前预习 1 等差数列的定义 2 阅读课本至内容 并思考 什么叫等比数列 如何判断一个数列是否是等比数 49 P 50 P 列 3 等比数列的定义 一般地 如果一个数列从 每一项与它前一项的 都等于 这个数列就叫做等比数列 这个常数就叫做 常用字母 表示 此定义用符号表示为 q 思考 能否为 0 q 情境创设情境创设 1 我国古代数学家很早就研究过等比数列的问题 孙子算经 中有一个有趣的题目 出门望九堤 今有出门望九堤 堤有九木 木有 九枝 枝有九巢 巢有九禽 禽有九雏 雏有九毛 毛有九色 问各几何 2 一尺之棰 日取其半 万世不竭 表达了什么样的数学含义 合作探究合作探究 探究点一探究点一 等比数列的概念等比数列的概念 观察以下数列 1 2 4 8 16 32 2 6 18 54 162 486 1 1 1 1 1 1 1 1 234 33333 1 2 2222 n n 2 1 4 7 10 5 3 1 1 3 5 3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 讨论 1 哪些是等差数列 2 我们怎样判断一个数列是等差数列 3 上述数列中 哪些数列从第2项起 每一项与它的前一项的前一项的比都等于同一个常 数 称这样的数列叫做什么数列 探究 1 为等差数列 2 从第2项起 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 3 数列 从第2项起 每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 称 这样的数列为等比数列 提 升总结 等比数列的概念 一般地 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 那么 这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q q 0 表示 温 馨 提 示 对于等比数列的理解注意以下几点 由于等比数列每一项都可能作分母 故每一项均不为 0 因此 q 也不能是 0 从第 2 项起 是因为首项没有 前一项 均为同一个常数 即比值相等 由此体现了公比的意义 同时还要注意公比是 1n n a a 每一项与其前 一项之比 防止前后次序颠倒 如果一个数列不是从第 2 项起而是从第 3 项或第 4 项起每一项与它前一项的比都是 同一个常数 此数列不是等比数列 这时可以说此数列从第 2 项或第 3 项起是一个等比数 列 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它前一项的比尽管是一个与 n 无关的 常 数 但 却是不同的常数 这时此数列不是等比数列 常数列都是等差数列 但却不一定是等比数列 如 常数列是各项都为 0 的数列 它 就不是等比数列 当常数列各项不为 0 时 它也是等比数列 证明一个数列为等比数列 其依据是 利用这种形式来判定就便于操 1 n n a q nN a 作了 例1 判断下列各数列是否是等比数列 1 2 4 8 3 6 12 2 1 1 1 1 1 1 3 1 11 1 1 2 48 16 4 0 2 4 8 16 处理建议 引导学生从定义思考 规范板书 解 1 不是等比数列 2 是等比数列 首项为 1 公比为 1 3 是等比数列 首项为 1 公比为 1 2 4 不是等比数列 因为 0 不能作为等比数列中的项 题后反思 由于等比数列每一项都可能作为分母 故每一项都不为零 为同一常数 即 1 比值相等 变式 判断数列 a a a a 是否为等比数列 处理建议 学生讨论 判断 并且由学生给出理由 规范板书 解 当 a 0 时 它不是等比数列 当 a 0 时 它是等比数列 探究点二探究点二 等比中项的概念等比中项的概念 例 2 求出下列等比数列中的未知项 1 2 a 8 2 4 b c 1 2 处理建议 引导学生利用等比数列定义进行求解 规范板书 解 1 根据题意得 所以 a 4 或 a 4 8 2 a a 2 根据题意得 解得 1 8 2 4 c bc 2 1 b c 题后反思 根据等比数列的定义列出关系式 进行解方程或方程组 第 1 小题中三项成等比数列 称 a 是 2 与 8 的等比中项 即若 a G b 成等比数列 则 称 G 是 a 与 b 的等比中项 那么有 G2 ab 变式 求 1 和 16 的等比中项 规范板书 解 设 G 是 1 和 16 的等比中项 则 G2 16 所以 G 4 温 馨 提 示 在理解等比中项时应注意 只有当 a b 同号 即 ab 0 时 a 与 b 才有等比中项 而且有两个 它们互为相反 数 若 ab 0 则 a 与 b 没有等比中项 在等比数列中 从第2项起 末项除外 每一项都是它前 后两项 n a 2 11nnn aaa 的等比中项 探究点三探究点三 等比数列的通项公式及应用等比数列的通项公式及应用 思考 根据等比数列的定义 如何推导出等比数列的通项公式 探究 解法1 迭代法 根据等比数列的定义 可以得到 221 1221 nn nnn aaqaqaqaq 解法2 归纳法 23 21321431 aaq aaqa qaaqaq 1 1 n nn aaq 解法3 累乘法 根据等比数列的定义 可以得到 324 1231 n n aaaa qqqq aaaa 把以上n 1个等式左右两边分别相乘得 即 1324 1231 nn n aaaa q aaaa AAA A 11 1 nnn n a qaa q a 提升总结 1 等比数列的通项公式 n a 1 1 n n aa q 2 等比数列通项公式的推广 在等比数列中 对于任意的m n 有 n aN 即 n mn m a q a n m nm aqa 温馨提示 1 等比数列与函数的关系 等比数列的通项公式还可以改写为 当且时 n a 1 1 n n aa q 1n n a aq q 0q 1q 是一个指数函数 而是一个不为零的常数与指数函数的积 且n 因 x yq 1n a yq q N 此等比数列的图象是函数的图象上的一些孤立的点 n a 1n a yq q 2 等比数列通项公式的应用 在等比数列中已知等比数列的首项和公比可以求 得任何一项 在等比数列中 已知四个量中的三个 可以求得第四个量 1 n a n q a 例 3 在等比数列中 n a 1 已知 求 1 3a 2q 6 a 2 已知 求 3 20a 6 160a n a 解 1 由等比数列的通项公式得 6 1 6 3 2 96a 2 设等比数列的公比为 那么 得 q 2 1 5 1 20 160 a q a q 1 2 5 q a 1 5 2n n a 课堂小练课堂小练 书 P51 练习 1 2 3 4 P53 练习 1 2 反思感悟反思感悟 1 由等比数列的概念可知 要判定一个数列是否为等比数列 只需看的比值是 a