高考不等式专题-讲解

1 高考重难点专题突破之 不等式 一 一 综述综述 内容 地位 作用 在苏教版高中数学教科书必修系列中 直接涉及 不等式 内容的部分为必修 5 第三章 不等式 另外 在实际教学过程中 在学到必修 5 不等式 之前的某 些章节 如集合 函数的值域等 无论文理科班 基于教学内容的关联性和完整性 老师们基本上都要对选修 4 5 中的部分基础性内容进行选讲 所以 不等式 的内 容主要来自必修 5 第三章 不等式 以及选修系列 4 5 不等式选讲 综合来看 不等式的内容主要可分为不等式的求解 证明和应用三部分 它们又分别以一元二 次不等式的求解 均值不等式相关的证明 不等式在应用题以及线性规划中的应用 为主 不等式是中学数学的主干内容之一 它不仅是中学数学的基础知识 而且在中 学数学中起着广泛的工具性作用 对学生们步入大学之后的数学学习也具有基础性 的铺垫作用 在历年的高考中 不等式虽很少单独命题 理科附加卷除外 但无论 从它所涉及到的知识点或是题量来看 有关不等式的试题分布范围极广 甚至有些 题目很难界定其中对不等式的考查所占到的比重 所以我们也很难准确给出高考中 不等式所占分值 试题不仅考查了不等式的基础知识 基本技能 基本思想方法 还考查了运算能力 逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的应用能力等数学素养 在高考命题趋势上 不等式的考查极其突出工具性 淡化独立性 突出解 是 不等式命题的总体取向 高考中不等式试题的落脚点主要有 一 不等式的性质 常与指数函数 对数函数 三角函数等结合起来 考查不等式的性质 函数的单调 性 最值等 二 不等式的证明 多以函数 数列 解析几何等知识为背景 在知 识网络的交汇处命题 综合性强 能力要求高 三 解不等式 往往与公式 根式 和参数的讨论联系在一起 考查学生的等价转化能力和分类讨论能力 四 不等式 的应用 以当前经济 社会生产 生活为背景与不等式综合的应用题是高考的热点 主要考查学生阅读理解能力以及分析问题 解决问题的能力 二 二 考试要求与教学建议 考试要求与教学建议 2 一 一 必修必修 5 5 部分部分 新课标在对 必修 5 不等式 一章的说明中指出 不等关系与相等关系都 是客观事物的基本数量关系 是数学研究的重要内容 掌握求解一元二次不等式 的基本方法 并能解决一些实际问题 能用二元一次不等式组表示平面区域 并尝 试解决一些简单的二元线性规划问题 认识基本不等式及其简单应用 体会不等式 方程及函数之间的联系 由此 我们大致可以看出教材对于本部分的基本要求以及 高考的考查要点 本部分的课标建议课时为大约 16 课时 相应的说明与建议主要有 1 一元二次不等式教学中 应注重使学生了解一元二次不等式的实际背景 求解一 元二次不等式 首先可求出相应方程的根 然后根据相应函数的图象求出不等 式的解 也可以运用代数的方法求解 鼓励学生设计求解一元二次不等式的程 序框图 2 不等式有丰富的实际背景 是刻画区域的重要工具 刻画区域是解决线性规划问 题的一个基本步骤 教学中可以从实际背景引入二元一次不等式组 3 线性规划是优化的具体模型之一 在本模块的教学中 教师应引导学生体会线性 规划的基本思想 借助几何直观解决一些简单的线性规划问题 不必引入很多 名词 二 二 不等式选讲部分不等式选讲部分 此部分文理科考生的对待方式见的异同我们已在 综述 部分有所讲解 次不 赘述 本专题主要介绍几个数学中重要的不等式以及数学归纳法 本专题特别强调不 等式及其证明的几何意义与背景 以加深学生对这些不等式的数学本质的理解 提 高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力 从文理科学习之间的异同的角度 我们可以将本专题内容分为两部分 前半部分 文理科同等要求 且均在必修过程 中已基本讲解到位 后半部分 只对理科生做简单要求 即高考时所考题目难度不 大 基本上可直接套用公式 或只需经简单并行即可套用公式 同时 也不是必做 题 下面 我们把新课标中的内容与要求重点性的摘录于此 以供诸位师生探讨 同时也作为本部分内容的一个基本总结 后文将不再详细展开 1 理解绝对值的几何意义 并能利用绝对值不等式的几何意义证明三角不等式等 3 2 认识柯西不等式的几种不同形式 3 了解数学归纳法的原理及其使用范围 会用数学归纳法证明一些简单问题 4 会用上述不等式证明一些简单问题 能够利用平均值不等式 柯西不等式求一些 特定函数的极值 5 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法 比较法 综合法 分析法 反证 法 放缩法 三 三 考点归纳与题型讲解之考点归纳与题型讲解之 不等式的求解不等式的求解 一 一 不等式的性质 不等式的性质 1 不等式的性质是解 证不等式的基础 对于这些性质 关键是正确理解 和熟练运用 要弄清每一个条件和结论 学会对不等式进行条件的放宽和加强 2 两个实数的大小 baba 0 baba 0 baba 0 3 不等式的基本性质 1 不等式的两边都加上 或减去 同一个数或同一个整式 不等号的方向 不变 如果 那么 ab cbca 2 不等式的两边都乘以 或除以 同一个正数 不等号的方向不变 如果 那么 或 0ab c bcac c b c a 3 不等式的两边都乘以 或除以 同一个负数 不等号的方向改变 如果 那么 或 ba 0 cbcac c b c a 由上面三条可以衍生出如下的性质 1 对称性 abba 2 传递性 cacbba 3 加法单调性 cbcaba 4 同向不等式相加 dbcadcba 5 异向不等式相减 dbcadcba 6 bcaccba 0 4 7 乘法单调性 bcaccba 0 8 同向不等式相乘 bdacdcba 0 0 异向不等式相除 9 0 0 ab abcd cd 倒数关系 11 10 0ab ab ab 11 平方法则 1 0 nZnbaba nn 且 12 开方法则 1 0 nZnbaba nn 且 4 例题 1 已知 11xy 1 3xy 则3x y 的取值范围是 答 1 37xy 2 已知 cba 且 0 cba 则a c 的取值范围是 答 1 2 2 二 解一元一次不等式 组 二 解一元一次不等式 组 1 一元一次不等式 1 1 定义 只含有一个未知数 且未知数的次数是 1 系数不等于 0 的 不等式叫做一元一次不等式 注 一元一次不等式的一般形式是 ax b O 或 ax bb 不等式组图示解集 xa xb ba xa 同大取大 xa xb ba xb 同小取小 xa xb b a bxa 大小交叉 取中间 xa xb b a 无解 大小分离 解为空 2 4 解一元一次不等式组的步骤 1 分别求出不等式组中各个不等式的解集 2 利用数轴求出这些解集的公共部分 即这个不等式组的解集 3 例题讲解 例 1 解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来 2 1 3 25 3 xx x x 解 解不等式 得 解不等式 得 不等式 和 的解集在数轴上 1x 5x 表示如下 原不等式组的解集是 51 x 5 1 0 1 2 3 4 6 三 解一元二次不等式 组 三 解一元二次不等式 组 1 一元二次不等式的定义 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 2 的不等式 称为一元 二次不等式 比如 任意的一元二次不等式 总可以化为一般形式 或 2 一般的一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解集可以联系二次函数的图 象 图象在轴上方部分对应的横坐标值的集合为不等式 的解集 图象在轴下方部分对应的横坐标值的集合为不 等式的解集 设一元二次方程的两根为且 则相应的不等式的解集的各种情况如下表 a 0 的图象 有两相异实根有两相等实根 无实根 21 xxxxx 或 注 表中不等式的二次系数均为正 如果不等式的二次项系数为负 可先利用 不等式的性质转化为二次项系数为正的形式 然后讨论解决 3 规律方法指导 7 3 1 解一元二次不等式首先要看二次项系数 a 是否为正 若为负 则将 其变为正数 3 2 若相应方程有实数根 求根时注意灵活运用因式分解和配方法 3 3 写不等式的解集时首先应判断两根的大小 若不能判断两根的大小 应分类讨论 3 4 根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根 我们可以利用韦达 定理 找到不等式的解集与其系数之间的关系 3 5 若所给不等式最高项系数含有字母 还需要讨论最高项的系数 四 四 解分式不等式 解分式不等式 1 形如 f x g x 0 或 f x g x 0 其中 f x g x 为整式且 g x 不为 的 不等式称为分式不等式 通俗的说就是分母中含未知数的不等式称之为分式不等式 2 归纳分式不等式的解法 不知道分母正负的时候 化分式不等式为标准型 方法 移项 通分 右边化为 0 左边化为 的形式 xg xf 将分式不等式进行形如以下四类的等价变形 1 0 f x g x 0 xgxf 2 0 f x g x 0 xgxf 3 0 f x g x 0 0 xg xgxf 4 0 f x g x 0 0 xg xgxf 3 例题讲解 解不等式 0 7 3 x x 解法 1 化为两个不等式组来解 8 x 或 0 7 3 x x 07 03 07 03 x x x x 或 37 x 37 x 原不等式的解集是 37 xx 解法 2 化为二次不等式来解 原不等式的解 0 7 3 x x 0 7 3 xx 37 x 集是 37 xx 点评 提倡用解法 2 避免分类讨论 提高解题速率 变式 1 解不等式 0 7 3 x x 解 0 7 3 x x 70 7 3 xxx且 37 x 的解集是 x 70 则找 线 在 x 轴上方的 区间 若不等式是 0 则找 线 在 x 轴下方的区间 说明 注意不等式若带 号 点画为实心 解集边界处应有等号 3 例题讲解 例 1 解不等式 0 32 23 2 2 xx xx 解 0 32 23 2 2 xx xx 032 0 32 23 2 22 xx xxxx 用穿根法 零点分段法 画图如下 0 1 3 0 1 3 2 1 xx xxxx 原不等式的解集为 x 1 x1 或 2x 3 例 2 解不等式 0 1 3 2 32 xxx 解 检查各因式中 x 的符号均正 求得相应方程的根为 1 2 3 注意 2 是二重根 3 是三重根 在数轴上表示各根并穿线 每个根穿一次 自右上方开始 如下图 原不等式的解集为 x 1 x 2 或 2 x 3 说明 3 是三重根 在 C 处穿三次 2 是二重根 在 B 处穿两 213 1 x1x2x3xn 1xn 10 次 结果相当于没穿 由此看出 当左侧 f x 有相同因式 x x1 n 时 n 为奇 数时 曲线在 x1 点处穿过数轴 n 为偶数时 曲线在 x1 点处不穿过数轴 不妨归纳为 奇穿偶不穿 六 解无理不等式 六 解无理不等式 1 基本概念 根号下含有未知数的不等式 2 无理不等式的类型 高考对这方面的要求不太高 0 4 3 2 1 xgxf xgxf xgxf xgxf 3 根式不等式的解法 3 1 类型一 xgxf 0 0 xgxf xg xf 0 xgxf xf 例 解不等式 0343 xx 解 原不等式可化为 343 xx 根据根式的意义及不等式的性质 得 343 03 043 xx x x 解得 3 xx 所以 原不等式的解集为 3 2 类型二 xgxf 0 0 0 0 2 xg xf xgxf xg xf 或 注 第一个花括号内的注 第一个花括号内的 f x 大于等于大于等于 0 可以省略可以省略 例 2 解不等式 03227 xx 3 xx 11 9 xx 解 原不等式可化为 3227 xx 根据根式的意义及不等式的性质 得 2 032 027 1 3 27 032 027 2 x x xx x x 或 解这个不等式组 1 得 9 2 3 92 2 3 27 xxxxxxxx 解这个不等式组 2 得 2 3 27 2 3 27 xxxxxx 所以 原不等式的解集为 927 xx 3 3 类型三 xgxf 2 0 0 xgxf xg xf 例 3 解不等式 03227 xx 解 原不等式可化为 3227 xx 根据根式的意义及不等式的性质 得 2 3 27 032 027 xx x x 解这个不等式组 得 3 4 类型四 0 1 xgxf 0 0 xg xf 0 2 xgxf 12 0 0 0 xf xg xf 或 例 4 解不等式 032 2 2 xxx 解 由原不等式可得 032 032 02 2 2 xx xx x 或 解得 31 xxx或 解法小结 解无理不等式的主要思路是去根号 但去根号的时候要注意下根号里 的数和根号外的数的正负 七 解绝对值不等式的常用方法 七 解绝对值不等式的常用方法 解含有绝对值的不等式的关键是想法把它转化为不含绝对值的不等式 常见的 解法有以下几种 1 1 利用绝对值的定义 利用绝对值的定义 例 1 解不等式 5121 x 解 原不等式于 或 5121 012 x x 5 12 1 012 x x 由 得 或 得31 x02 x 原不等式的解集为 20 13xxx 或 例 2 解不等式 x x x x 2 1 2 1 解 原不等式即 由绝对值的意义可知 亦即 x x x x 2 1 2 1 0 2 1 x x 所以 即原不等式的解集为 0 2 1 xx12 x 1 2 评注 评注 利用绝对值的意义求解有些不等式时可另辟蹊径 化繁为简 例 3解不等式 分析 不等式左边可化掉无理式 解 原不等式等价于 或 13 或 原不等式的解集为 2 2 利用绝对值的性质 利用绝对值的性质 例 1 解不等式 313 2 xx 解 原不等式等价于即 3132 343 2 xx xx xx xx 023 013 2 2 由 得由 得41 x21xx 或 原不等式的解集为 11 24xxx 或 3 3 利用平方法 利用平方法 例 1 解不等式 3223 xx 解 将原不等式两边平方为 191244129 222 xxxxx即 原不等式的解集为 11x xx 或 例 2 解不等式 解 原不等式变为 等价于 即 原不等式的解集为 4 4 利用分段讨论法 即零点分段法 利用分段讨论法 即零点分段法 例 1 解不等式 42 xx 解 当时 不等式化为 2 x 4 2 xx 3 x 当时 不等式化为 02 x42 xx x 当时 0 x42 xx1 x 综上所述 不等式的解集为 3 1x xx 或 例 2 解不等式 分析 如何去掉两个绝对值的符号 首先找出零点 第一个绝对值的式 14 子的零点为 5 第二个式子的零点为 两个零点把数轴分成三段 故 可分为三段讨论 解 原不等式变为 即 原不等式的解集为 注 利用此法解题时要注意 x 的系数为正 5 5 利用绝对值的几何意义 利用绝对值的几何意义 例 1 解不等式 523 xx 解 不等式表示数轴距 A 3 B 2 两点的距离之 523 xx 和大于 5 的点 方程表示在数轴上距 A B 两点的距 523 xx 离之和等于 5 的点 原不等式的解集为 3 2 xxx或 6 利 利用用不等式组法 即等价转化法 不等式组法 即等价转化法 例 1 已知关于 x 的不等式有解 求 a 的取值范围 axx 12 解 令 则 可将原不等式变为不等式组 12 xxy 3 y 因原不等式有解 如图 易得 ay y3 3 a 例 2 已知关于 x 的不等式的解集为 R 求 a 的取值 axx 34 范围 解 令 由上知 34 xxy 11 y 故可将原不等式等价变为不等式组 ay y11 15 如图 易得 1 a 7 7 利用 利用数形结合法数形结合法 例 1 解不等式 321 xx 解 画出和的图像 如图所示 求出他们的交点 1 1 xy32 2 xy 的横坐标分别是和因为 所以原不等式的解 2 3 x 4 x 321 xx 是的交点的横坐标 由图像知 原不等式的解是或 21 yy 2 3 x 4 x 例 2 若不等式对一切恒成立 求实数的取值范围 kxx 1 Rx k 解析 在同一坐标系中分别画出函数与的图象 1 xykxy 如下图 显然 要使不等式对一切恒成立 kxx 1 Rx 须 即的取值范围是 10 kk 1 0 例 3 若不等式恒成立 求实数的取值范围 63 2 xmx m 解析 在同一坐标系中分别画出函数及 2 mxy 如下图 由于不等式恒成 63 xy 63 2 xmx 立 所以函数的图象应总在函数图 2 mxy 63 xy 象的下方 因此 函数的图象也必须经过点 2 mxy 所以 0 2 4 m 评注 运用数形结合的方法求解绝对值不等式问题 既直观形象 又简 单易行 8 8 利用利用利用定比分点法利用定比分点法 例 1 解不等式 axx21 2 0 a 解 在数轴上取 其中 使 P 为axpxpxp2 1 2 2 2 1 Rx 21 p p x y O1 kxy x y O2 2 mxy 63 xy 16 的内分点即可 这就顺利地去掉了绝对值符号 由 1 2 p p pp 0 即 即 解不等式 2 2 12 0 21 xax axx 2 2 21 0 21 xax xax 等价于整式不等式 22 21210 xaxxax 2222 11110 xaaxaaxaaxaa 又 0 x 22 11 aaxaa 故不等式的解集为 22 11 xaaxaa 9 9 利用绝对值不等式 利用绝对值不等式 注 主要指绝对值的三角不等式 bababa 例 1 解不等式 log 2 log2 22 xxxx 解析 首先应有 所以原不等式等价于 0 x 由于在不等式中 log 2 log2 22 xxxx baba 成立的条件是 所以原不等式等价于 而 0 ab 0log2 2 xx 所以 因此得 故原不等式的解集为 0 x 0log2 x 1 x 1 xx 评注 要特别注意不等式中各部分等号及不 bababa 等号成立的条件 利用这些条件可以解决一些绝对值不等式或方程问题 例 2 若不等式恒成立 求实数的取值范围 mxx 13 23 m 解析 令 则只须求出函数的最小值即 13 23 xxxf xf 可 由于 当 3 13 23 13 23 xxxxxf 时等号取到 即的最小值等 3 2 3 1 0 13 23 xxx即 xf 于 3 所以不等式恒成立时 的取值范围是 mxx 13 23 m 3 m 17 评注 此处用绝对值不等式求最值 避免了 bababa 对函数的分段讨论 显得非常简单 13 23 xxxf 八 八 用数学思想方法解不等式 用数学思想方法解不等式 注 再解不等式时 有时充分借用常见数学思想 如整体思想 等价变形思 想 补集思想 方程与函数思想等等 进行求解 会起到事半功倍的效果 读者 可自行对照相关题型研究 学习 此不详细列举 例例 1 解不等式 1 2 0152 23 xxx0 2 5 4 32 xxx 分析分析 如果多项式可分解为个一次式的积 则一元高次不等式 或 xfn0 xf 可用 穿根法 求解 但要注意处理好有重根的情况 0 xf 解 解 1 原不等式可化为 0 3 52 xxx 把方程的三个根顺次标上数轴 然后从右0 3 52 xxx3 2 5 0 321 xxx 上开始画线顺次经过三个根 其解集如下图的阴影部分 原不等式解集为 30 2 5 xxx或 2 原不等式等价于 24 5 0 2 4 05 0 2 5 4 32 xx x xx x xxx 或 原不等式解集为 2455 xxxx或或 说明说明 用 穿根法 解不等式时应注意 各一次项中的系数必为正 对于偶次x 或奇次重根可转化为不含重根的不等式 也可直接用 穿根法 但注意 奇穿偶不穿 其法如下图 典型例题二典型例题二 例例 2 解下列分式不等式 18 1 2 2 2 1 2 3 xx 1 273 14 2 2 xx xx 分析分析 当分式不等式化为时 要注意它的等价变形 0 0 或 xg xf 0 0 xgxf xg xf 0 0 0 0 0 0 xgxfxf xg xf xg xgxf xg xf 或或 1 解 解 原不等式等价于 0 2 2 0 2 2 1 6 0 2 2 1 6 0 2 2 65 0 2 2 2 2 3 0 22 3 22 3 2 xx xxxx xx xx xx xx xx xxx x x xx x x 用 穿根法 原不等式解集为 62 1 2 2 解法一 解法一 原不等式等价于 0 273 132 2 2 xx xx 21 2 1 3 1 0273 0132 0273 0132 0 273 132 2 2 2 2 22 xxx xx xx xx xx xxxx 或或 或 原不等式解集为 2 1 2 1 3 1 解法二 原不等式等价于0 2 13 1 12 xx xx 0 2 13 1 12 xxxx 19 用 穿根法 原不等式解集为 2 1 2 1 3 1 典型例题三典型例题三 例例 3 解不等式24 2 xx 分析分析 解此题的关键是去绝对值符号 而去绝对值符号有两种方法 一是根据绝对值 的意义 0 0 aa aa a 二是根据绝对值的性质 或 因此本题有axaxaxaax ax 如下两种解法 解法一 解法一 原不等式 24 04 24 04 2 2 2 2 xx x xx x 或 即 12 22 2 22 xx x xx xx 或 或 或 或32 x21 x 故原不等式的解集为 31 xx 解法二 解法二 原不等式等价于 24 2 2 xxx 即 2 4 24 2 2 xx xx 31 21 32 x xx x 故 或 典型例题四典型例题四 例例 4 解不等式 0 412 56 2 2 xx xx 分析 分析 这是一个分式不等式 其左边是两个关于二次式的商 由商的符号法则 它x 等价于下列两个不等式组 或 0412 056 2 2 xx xx 0412 056 2 2 xx xx 所以 原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集 也可用数轴标根法求解 解法一 解法一 原不等式等价下面两个不等式级的并集 20 或 0412 056 2 2 xx xx 0412 056 2 2 xx xx 或 0 6 2 0 5 1 xx xx 0 6 2 0 5 1 xx xx 或 62 51 x x 6 2 5 1 xx xx 或 或 或或 51 x2 x6 x 原不等式解集是 6512 xxxx 或 或 解法二 解法二 原不等式化为 0 6 2 5 1 xx xx 画数轴 找因式根 分区间 定符号 符号 6 2 5 1 xx xx 原不等式解集是 6512 xxxx 或 或 说明 说明 解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集 再求两 组的解的并集 否则会产生误解 解法二中 定符号 是关键 当每个因式的系数为正值时 最右边区间一定是正值 其x 他各区间正负相间 也可以先决定含 的区间符号 其他各区间正负相间 在解题时要正 确运用 典型例题五典型例题五 例例 5 解不等式 x xx xx 2 2 23 22 分析 分析 不等式左右两边都是含有的代数式 必须先把它们移到一边 使另一边为 0 x 再解 解 解 移项整理 将原不等式化为 0 1 3 1 2 2 xx xxx 由恒成立 知原不等式等价于 01 2 xx0 1 3 2 xx x 解之 得原不等式的解集为 321 xxx或 21 说明 说明 此题易出现去分母得的错误解法 避免误解的方法 23 22 22 xxxxx 是移项使一边为 再解 另外 在解题过程中 对出现的二项式要注意其是否有实根 以便分析不等式是否有解 从而使求解过程科学合理 典型例题六典型例题六 例例 6 设 解关于的不等式 Rm x032 22 mxxm 分析 分析 进行分类讨论求解 解 解 当时 因一定成立 故原不等式的解集为 0 m03 R 当时 原不等式化为 0 m0 1 3 mxmx 当时 解得 0 m m x m 13 当时 解得 0 m m x m 31 当时 原不等式的解集为 0 m m x m x 13 当时 原不等式的解集为 0 m m x m x 31 说明 说明 解不等式时 由于 因此不能完全按一元二次不等式的解法求解 因为Rm 当时 原不等式化为 此时不等式的解集为 所以解题时应分与0 m03 R0 m 两种情况来讨论 0 m 在解出的两根为 后 认为 这也是易出现032 22 mxxm m x 3 1 m x 1 2 mm 13 的错误之处 这时也应分情况来讨论 当时 当时 0 m mm 13 0 m mm 13 典型例题七典型例题七 例例 7 解关于的不等式 x 0 12 2 axaax 分析 分析 先按无理不等式的解法化为两个不等式组 然后分类讨论求解 解 解 原不等式或 1 2 01 02 1 22 2 xaax x aax 01 02 2 2 x ax 22 由 得 0 a 01 1 2 1 2 1 22 axax x a x 1 2 2 x a x 由判别式 故不等式的解是08 1 4 1 4 22 aaa01 1 2 22 axax aaxaa2121 当时 不等式组 1 的解是20 a121 2 aa a 121 aa 不等式组 2 的解是 121 xaa1 x 当时 不等式组 1 无解 2 的解是 2 a 2 a x 综上可知 当时 原不等式的解集是 当时 原不等20 a 21aa2 a 式的解集是 2 a 说明 说明 本题分类讨论标准 是依据 已知及 1 中 20 a2 a0 a 2 a x 2 中 确定的 解含有参数的不等式是不等式问题中的难点 也1 x 2 a x 1 x 是近几年高考的热点 一般地 分类讨论标准 解不等式 大多数情况下依 不等式组中 的各不等式的解所对应的区间的端点 去确定 本题易误把原不等式等价于不等式 纠正错误的办法是熟练掌握无理不等 1 2 2 xaax 式基本类型的解法 典型例题八典型例题八 例例 8 解不等式 33104 2 xx 分析 分析 先去掉绝对值号 再找它的等价组并求各不等式的解 然后取它们的交集即 可 解答 解答 去掉绝对值号得 331043 2 xx 原不等式等价于不等式组 06104 0104 33104 31043 2 2 2 2 xx xx xx xx 23 3 2 1 2 5 0 0 12 3 2 0 52 2 x xx xx xx 或 原不等式的解集为 3 2 5 0 2 1 xxx或 说明 说明 解含绝对值的不等式 关键是要把它化为不含绝对值的不等式 然后把不等式 等价转化为不等式组 变成求不等式组的解 典型例题九典型例题九 例例 9 解关于的不等式 x0 322 axaax 分析 分析 不等式中含有字母 故需分类讨论 但解题思路与一般的一元二次不等式的a 解法完全一样 求出方程的根 然后写出不等式的解 但由于方程0 322 axaax 的根含有字母 故需比较两根的大小 从而引出讨论 a 解 解 原不等式可化为 0 2 axax 1 当 即或 时 不等式的解集为 2 aa 1 a0 a 2 axaxx 或 2 当 即 时 不等式的解集为 2 aa 10 a axaxx 或 2 3 当 即或 1 时 不等式的解集为 2 aa 0 a axRxx 且 说明 说明 对参数进行的讨论 是根据解题的需要而自然引出的 并非一开始就对参数加 以分类 讨论 比如本题 为求不等式的解 需先求出方程的根 因此不ax 1 2 2 ax 等式的解就是小于小根或大于大根 但与两根的大小不能确定 因此需要讨论xxa 2 a 三种情况 2 aa 2 aa 2 aa 典型例题十典型例题十 例例 10 已知不等式的解集是 求不等式0 2 cbxax 0 xx 24 的解集 0 2 abxcx 分析 分析 按照一元二次不等式的一般解法 先确定系数的正负 然后求出方程c 的两根即可解之 0 2 abxcx 解 解 解法 1 由题可判断出 是方程的两根 0 2 cbxax a b a c 又的解集是 说明 0 2 cbxax xx0 a 而 0 0 000 c a c 00 22 c a x c b xabxcx 1 1 1 11 a c c b a c a b 即 0 2 c a x c b x0 1 1 11 2 xx 即 0 1 1 xx 又 0 11 的解集为 0 1 1 xx 11 xx 解法 2 由题意可判断出 是方程的两根 0 2 cbxax a c 又的解集是 说明 0 2 cbxax xx0 a 而 0 0 000 c a c 对方程两边同除以得0 2 abxcx 2 x 0 1 1 2 c x b x a 令 该方程即为 x t 1 它的两根为 0 2 ctbta 1 t 2 t 25 1 1 x 2 1 x 1 1 x 1 2 x 方程的两根为 0 2 abxcx 1 1 0 11 不等式的解集是 0 2 abxcx 11 xx 说明 说明 1 万变不离其宗 解不等式的核心即是确定首项系数的正负 求出相应的方程的根 2 结合使用韦达定理 本题中只有 是已知量 故所求不等式解集也用 表示 不等式系数 的关系也用 表示出来 3 注意解法 2 中用 变换 的方法求abc 方程的根 典型例题十二典型例题十二 例例 12 若不等式的解为 求 的值 11 22 xx bx xx ax 1 3 1 ab 分析 分析 不等式本身比较复杂 要先对不等式进行同解变形 再根据解集列出关于 a 式子 b 解 解 0 4 3 2 1 1 22 xxx 0 4 3 2 1 1 22 xxx 原不等式化为 0 2 2 baxbaxba 依题意 3 4 2 3 1 2 02 ba ba ba ba ba 2 3 2 5 b a 说明 说明 解有关一元二次方程的不等式 要注意判断二次项系数的符号 结合韦达定理 来解 典型例题十三典型例题十三 26 例例 13 不等式的解集为 求与的值 02 2 bxax 21 xxab 分析 分析 此题为一元二次不等式逆向思维题 要使解集为 不等式 21 xx 需满足条件 的两根为 02 2 bxax0 a0 02 2 bxax1 1 x2 2 x 解法一 解法一 设的两根为 由韦达定理得 02 2 bxax 1 x 2 x 由题意 a xx a b xx 2 21 21 21 2 21 a a b 此时满足 1 a1 b0 a0 2 4 2 ab 解法二 解法二 构造解集为的一元二次不等式 21 xx 即 此不等式与原不等式应为同解不0 2 1 xx02 2 xx02 2 bxax 等式 故需满足 2 2 11 ba 1 a1 b 说明 说明 本题考查一元二次方程 一元二次不等式解集的关系 同时还考查逆向思维的 能力 对有关字母抽象问题 同学往往掌握得不好 典型例题十四典型例题十四 例例 14 解关于的不等式 x01 1 2 xaax 分析 分析 本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法 因为含有字母系数 所以 还考查分类思想 解 解 分以下情况讨论 1 当时 原不等式变为 0 a01 x1 x 2 当时 原不等式变为 0 a0 1 1 xax 当时 式变为 不等式的解为或 0 a0 1 1 x a x1 x a x 1 当时 式变为 0 a0 1 1 x a x 当时 此时 的解为 当时 a a a 1 1 1 10 a1 1 aa x 1 1 1 a 此时 的解为 1 1 a 1 1 x a 说明 说明 解本题要注意分类讨论思想的运用 关键是要找到分类的标准 就本题来说有 27 三级分类 1 1 10 0 0 0 0 a a a a a a a Ra 分类应做到使所给参数的集合的并集为全集 交集为空集 要做到不重不漏 另外 解a 本题还要注意在讨论时 解一元二次不等式应首选做到将二次项0 a01 1 2 xaax 系数变为正数再求解 典型例题十五典型例题十五 例例 15 解不等式 xxx 8103 2 分析 分析 无理不等式转化为有理不等式 要注意平方的条件和根式有意义的条件 一般 情况下 可转化为或 而等价于 xgxf xgxf xgxf xgxf 或 0 0 xg xf 2 0 0 xgxf xg xf 解 解 原不等式等价于下面两个不等式组 0103 08 2 xx x 22 2 8 103 0103 08 xxx xx x 由 得 25 8 xx x 或 8 x 由 得 13 74 25 8 x xx x 或8 13 74 x 所以原不等式的解集为 即为 88 13 74 xxx或 13 74 xx 说明 说明 本题也可以转化为型的不等式求解 注意 xgxf 2 0 0 xgxf xg xf xgxf 28 这里 设全集 52 0103 2 xxxxxxU或 xxxxA8103 2 则所求不等式的解集为的补集 AA 由或 2 8 103 0103 08 8103 22 22 x xxx xx x xxx 13 74 5 x 即 原不等式的解集是 13 74 52xxxA或 13 74 xxA 四 考点归纳与题型讲解之四 考点归纳与题型讲解之 不等式的证明不等式的证明 或 1 1 1 1 2 1 11 22 nnnn 12 1 12 1 2 14 4 4 41 222 nnnnn 3 1 1 23 1 12 1 11 1 1 1 1 1 1 nnn C n C n nn nn n nnnn 2 1 12 1 12 2 1 nn nnnnnn 2 2 2 22 2 22 2 2 1 1 2 1 1 2 nn n nn 1 1 1 1 nnn n 12 1 12 1 12 12 2 22 12 2 12 2 11 1 2 nnnn n nn n n n 一 比较法证明不等式 一 比较法证明不等式 例例 1 若 证明 且 10 x 1 log 1 logxx aa 0 a1 a 分析分析 1 用作差法来证明 需分为和两种情况 去掉绝对1 a10 a 值符号 然后比较法证明 解法解法 1 1 当时 因为 1 a11 110 xx 所以 1 log 1 logxx aa 1 log 1 logxx aa 29 0 1 log 2 x a 2 当时 因为 10 a11 110 xx 所以 1 log 1 logxx aa 1 log 1 logxx aa 0 1 log 2 x a 综合 1 2 知 1 log 1 logxx aa 分析分析 2 直接作差 然后用对数的性质来去绝对值符号 解法解法 2 作差比较法 因为 1 log 1 logxx aa a x a x lg 1lg lg 1lg 1lg 1lg lg 1 xx a 1lg 1lg lg 1 xx a 0 1lg lg 1 2 x a 所以 1 log 1 logxx aa 说明 说明 解法一用分类相当于增设了已知条件 便于在变形中脱去绝对值 符号 解法二用对数性质 换底公式 也能达到同样的目的 且不必分 而治之 其解法自然简捷 明快 例例 2 设设 求证 求证 0 ba abba baba 分析 分析 发现作差后变形 判断符号较为困难 考虑到两边都是正数 可 以作商 判断比值与 1 的大小关系 从而证明不等式 证明 证明 baabba ab ba b a ba ba ba 0 ba 0 1 ba b a 又 1 ba b a ab ba ba ba 1 0 abb a abba baba 说明 说明 本题考查不等式的证明方法 比较法 作商比较法 作商比较法 证明不等式的步骤是 判断符号 作商 变形 判断与 1 的大小 二 综合法证明不等式 二 综合法证明不等式 例例 1 对于任意实数对于任意实数a b 求证 求证 44 4 22 abab 当且仅当 当且仅当a b 时取等号 时取等号 30 分析分析 这个题若使用比较法来证明 将会很麻烦 因为 所要证明的不等 式中有 4 2 ab 展开后很复杂 若使用综合法 从重要不等式 22 2abab 出发 再恰当地利用不等式的有关性质及 配方 的技巧 可得到证明 证明 证明 22 2abab 当且仅当 22 ab 时取等号 两边同加 4444222 2 ababab 即 4422 2 22 abab 1 又 22 2abab 当且仅当ab 时取等号 两边同加 22222 2 ababab 22 2 22 abab 22 24 22 abab 2 由 1 和 2 可得 44 4 22 abab 当且仅当ab 时取等号 说明 说明 此题参考用综合法证明不等式 综合法证明不等式主要是应用均 值不等式来证明 要注意均值不等式的变形应用 一般式子中出现有平 方和乘积形式后可以考虑用综合法来解 例例 2 若若 a b c 是不全相等的正数 求证 是不全相等的正数 求证 cba cabcba lglglg 2 lg 2 lg 2 lg 分析 根据本题的条件和要证明的结论 既可用分析法由可用综合法 证法一 综合法 Rcba 0 2 ab ba 0 2 cb bc 0 2 ac ca 又 a b c 是不全相等的正数 有 abc cabcba 222 31 即 abc cabcba lg 222 lg cba cabcba lglglg 2 lg 2 lg 2 lg 证法二 分析法 要证 cba cabcba lglglg 2 lg 2 lg 2 lg 即证成立 只需证 abc cabcba lg 222 lg 成立 abc cabcba 222 0 2 ab ba 0 2 cb bc 0 2 ac ca 0 222 abc cabcba 又 a b c 是不全相等的正数 式等号不成立 原不等式成立 三 分析法证明不等式 三 分析法证明不等式 例例 1 已知已知 求证 求证 0 cba accbba 111 分析 此题直接入手不容易 考虑用分析法来证明 由于分析法的过程 可以用综合法来书写 所以此题用两种方法来书写证明过程 证明一 分析法书写过程 为了证明 0 accbba 111 只需要证明 cbba 11 ca 1 cba 0 0 cbbaca 0 cbcaba 1 11 成立 cbba 11 ca 1 32 0 成立 accbba 111 证明二 综合法书写过程 cba 0 0 cbbaca 0 ba 1 ca 1 cb 1 成立 cbba 11 ca 1 0 成立 accbba 111 说明 学会分析法入手 综合法书写证明过程 但有时这两种方法经常 混在一起应用 混合应用时 应用语言叙述清楚 例例 2 若若 0 0ab 且 且2c ab 求证 求证 22 ccabaccab 分析 这个不等式从形式上不易看出其规律性 与我们掌握的定理和重要 的结论也没有什么直接的联系 所以可以采用分析的方法来寻找证明途 径 但用 分析 法证不等式 要有严格的格式 即每一步推出的都是 上一步的充分条件 直到推出的条件是明显成立的 已知条件或某些定 理等 证明 为要证 22 ccabaccab 只需证 22 cabaccab 即证 2 accab 也就是 22 accab 即证 2 2aacab 即证2 aca ab 0 2 0acab b 2 ab cab 故 2 cab 即有 2 0cab 33 又 由2c ab 可得2 aca ab 成立 所求不等式 22 ccabaccab 成立 说明 此题考查了用分析法证明不等式 在题目中分析法和综合法是综 合运用的 要注意在书写时 分析法的书写过程应该是 欲证 需 证 综合法的书写过程是 因为 所以 即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混 例例 3 设设 为正数 求证为正数 求证 x y 3 3322 yxyx 分析 用综合法证明比较困难 可试用分析法 证明 要证 只需证 3 3322 yxyx 233322 yxyx 即证 6336642246 233yyxxyyxyxx 化简得 334224 233yxyxyx 0 323 2222 yxyxyx 03344 22 yy 0323 22 yxyx 0 323 2222 yxyxyx 原不等式成立 说明 1 本题证明易出现以下错误证法 xyyx2 22 然后分 1 2 3 且 3 2 3 2 3 3 33 2yxyx 1 yx1 yx 1 x 4 且来讨论 结果无效 10 y1 y 10 x 2 用分析法证明数学问题 要求相邻两步的关系是 前一步是后 BA 一步的必要条件 后一步是前一步的充分条件 当然相互为充要条件也 可以 四 反证法证明不等式 四 反证法证明不等式 例例 1 若若 求证 求证 2 33 ba 2 ba 分析 本题结论的反面比原结论更具体 更简 宜用反证法 证法一 假设 则 2 ba 2 222233 babababababa 而 故 2 33 ba 1 22 baba 34 从而 abbaab21 22 1 ab 21 22 abba 4222 222 ababbaba 2 ba 这与假设矛盾 故 2 ba 证法二 假设 则 2 baba 2 故 即 即 3333 2 2bbba 2 61282bb 0 1 2 b 这不可能 从而 2 ba 证法三 假设 则 2 ba 8 3 333 baabbaba 由 得 故 2 33 ba 6 3 baab2 baab 又 2 2233 babababa 22 babababaab 即 abbaba 22 0 2 ba 这不可能 故 2 ba 说明 本题三种方法均采用反证法 有的推至与已知矛盾 有的推至与 已知事实矛盾 一般说来 结论中出现 至少 至多 唯一 等字句 或结论以否定 语句出现 或结论肯定 过头 时 都可以考虑用反证法 例例 2 已知已知 求证 求证 中至少有一个不中至少有一个不 qpxxxf 2 3 2 1 fff 小于小于 2 1 分析 由于题目的结论是 三个函数值中 至少有一个不小于 情 2 1 况较复杂 会出现多个异向不等式组成的不等式组 一一证明十分繁冗 而结论的反面构成三个同向不等式 结构简单 故采用反证法为宜 证明 反证法 假设都小于 则 3 2 1 fff 2 1 2 3 2 2 1 fff 而 2 2 3 1 3 2 2 1 ffffff 相互矛盾 2 248 39 1 qpqpqp 35 中至少有一个不小于 3 2 1 fff 2 1 思维点拔 用反证法证明命题时 推导出的矛盾可能多种多样 有的与 已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与事实相违背等等 推导出的矛盾必 须是明显的 五 三角换元法证明不等式 五 三角换元法证明不等式 例例 1 已知已知 求证 求证 21 22 yx3 2 1 22 yxyx 分析 联想三角函数知识 进行三角换元 然后利用三角函数的值域进 行证明 证明 从条件看 可用三角代换 但需要引入半径参数 r 可设 其中 21 22 yx cosrx sinry 2021 r 2sin 2 1 1 cossin 22222 rrryxyx 由 故 2 3 2sin 2 1 1 2 1 222 2 3 2sin 2 1 1 2 1 rrr 而