2017年高考文科数学全国2卷(含答案)

2017 年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 2 文科数学文科数学 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡 上 写在本试卷上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共一 选择题 本题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 一项是符合题目要求的 1 设集合 则 A 1 2 3 2 3 4 AB AB A B C D 12 3 4 12 3 2 3 4 13 4 2 B 1 2 ii A B C D 1 i 1 3i 3i 33i 3 函数的最小正周期为 C sin 2 3 f xx A 4 B 2 C D 2 4 设非零向量 满足则 A ab bbaa A B C D ab baab ba 5 若 则双曲线的离心率的取值范围是 C 1a 2 2 2 1 x y a A B C D 2 2 2 2 1 12 6 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗实线画出的是某几何体 的三视图 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得 则 该几何体的体积为 B A 90 B 63 C 42 D 36 7 设满足约束条件 则 的最小 x y 2 330 2330 30 xy xy y 2zxy 值是 A A 15 B 9 C 1 D 9 8 函数 的单调递增区间是 D 2 ln 28 f xxx A 2 B 1 C 1 D 4 9 甲 乙 丙 丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩 老师说 你们四人中有 2 位优秀 2 位良好 我现在给甲看乙 丙的成绩 给乙看丙的成绩 给丁看甲的成绩 看后甲对大家说 我还是不知道我的成绩 根据以上信息 则 D A 乙可以知道两人的成绩 B 丁可能知道两人的成绩 C 乙 丁可以知道对方的成绩 D 乙 丁可以知道自己的成绩 10 执行右面的程序框图 如果输入的 则输出的 S B 1a A 2 B 3 C 4 D 5 11 从分别写有 1 2 3 4 5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张 放回后再随机 抽取 1 张 则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数 的概率为 D A B C D 1 10 1 5 3 10 2 5 12 过抛物线的焦点 且斜率为的直线交于点 2 4C yx F3C 在轴上方 为的准线 点在 上且 MMxlCNlMNl 则到直线的距离为 C MNF A B C D 52 22 33 3 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分分 13 函数的最大值为 2cossinf xxx 5 14 已知函数是定义在 R 上的奇函数 当时 f x 0 x 32 2f xxx 则 12 2 f 15 长方体的长 宽 高分别为 3 2 1 其顶点都在球的球面上 则球的表面积为OO 14 16 的内角的对边分别为 若 则ABC A B C a b c2 coscoscosbBaCcA B 3 三 解答题 共三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 至至 21 题为必考题为必考 题 每个试题考生都必须作答 第题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 一 必考题 共 60 分 分 17 12 分 已知等差数列的前项和为 等比数列的前项和为 n an n S n bn 1 1 n T a 1 1b 22 2ab 1 若 求的通项公式 33 5ab n b 2 若 求 3 21T 3 S 解 解 设的公差为 的公比为 则 由得dq 1 1 1 n nn and bq 22 2ab 3dq 1 由得 33 5ab 2 26dq 联立 和 解得 舍去 因此的通项公式 3 0 d q 1 2 d q 1 2n n b 2 由得 解得 13 1 21bT 2 200qq 5 4qq 当时 由 得 则 5q 8d 3 21S 当时 由 得 则 4q 1d 3 6S 18 12 分 如图 四棱锥中 侧面为等PABCD PAD 边三角形且垂直于底面 ABCD 1 2 ABBCAD 90BADABC 1 证明 直线平面 BCPAD 2 若的面积为 求四棱锥的体积 PCD 2 7PABCD 解 1 在平面内 因为 所以 又平面ABCD90BADABC BCADBC 平面 故平面 PAD AD PAD BCPAD 2 取的中点 连结 ADM PM CM 由及 1 2 ABBCAD BCAD90ABC 得四边形为正方形 则 ABCMCMAD 因为侧面为等边三角形且垂直于底面 PADABCD 平面平面 PAD ABCDAD 所以底面 PMAD PM ABCD 因为底面 所以 CM ABCDPMCM 设 则 取的中点 BCx 2 3 2CMx CDx PMx PCPDx CDN 连结 则 所以PNPNCD 14 2 PNx 因为的面积为 所以 PCD 2 7 114 22 7 22 xx 解得 舍去 2x 2x 于是 2 4 2 3ABBCADPM 所以四棱锥的体积PABCD 12 24 2 34 3 32 V 19 12 分 海水养殖场进行某水产品的新 旧网箱养殖方法的产量对比 收获时各随机抽 取了 100 个网箱 测量各箱水产品的产量 单位 kg 其频率分布直方图如下 1 记 A 表示事件 旧养殖法的箱产量低于 50kg 估计 A 的概率 2 填写下面列联表 并根据列联表判断是否有 99 的把握认为箱产量与养殖方法有关 箱产量 50kg箱产量 50kg 旧养殖法 新养殖法 3 根据箱产量的频率分布直方图 对两种养殖方法的优劣进行较 附 p k2 k 0 0500 0100 001 k3 8416 63510 828 2 2 n adbc K ab cd ac bd 解 解 1 旧养殖法的箱产量低于的频率为50kg 0 0120 0140 0240 0340 040 50 62 因此 事件的概率估计值为 0 62A 2 根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量 50kg箱产量 50kg 旧养殖法6238 新养殖法3466 2 2 2006634 38 15 705 100 100 96 104 K 62 由于 15 705 6 635 故有 99 的把握认为箱产量与养殖方法有关 3 箱产量的频率分布直方图表明 新养殖法的箱产量平均值 或中位数 在 50kg 到 55kg 之间 旧养殖法的箱产量平均值 或中位数 在 45kg 到 50kg 之间 且新养殖法的箱 产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高 因此 可以认为新养殖法的箱产 量较高且稳定 从而新养殖法优于旧养殖法 20 12 分 设为坐标原点 动点在椭圆 上 过做轴的垂线 OMC 2 2 1 2 x y Mx 垂足为 点满足 NP2NPNM 1 求点的轨迹方程 P 2 设点在直线上 且 证明 过点且垂直于的直线 过Q3x 1OP PQ POQl 的左焦点 CF 解 解 1 设 则 P x y 00 M xy 000 0 0 N xNPxxy NMy 由得因为在上 所以2NPNM 00 2 2 xx yy 00 M xyC 因此点的轨迹方程为 22 1 22 xy P 22 2xy 2 由题意知设 则 1 0 F 3 QtP m n 3 1 33OQtPFmn OQ PFmtn A 由得 3 OPm n PQm tn 1OQ PQ A 22 31mmtnn 又由 1 知 故所以 即 22 2mn 330mtn 0OQ PF AOQPF 又过点存在唯一直线垂直于 所以过点且垂直于的直线 过的左焦点 POQPOQlCF 21 12 分 设函数 2 1 x f xx e 1 讨论的单调性 f x 2 当时 求的取值范围 0 x 1f xax a 解 解 1 令得 2 1 2 x fxxx e 0fx 12 12xx 当时 当时 12 x 0fx 12 12 x 0fx 当时 12 x 0fx 所以在单调递减 在单调递增 f x 12 12 12 12 2 1 1 x f xxx e 当时 设函数 因此在单1a 1 0 0 xx h xx e h xxex h x 0 调递减 而 故 所以 0 1h 1h x 1 11f xxh xxax 当时 设函数 所以在01a 1 10 0 xx g xexg xex g x 单调递增 而 故 0 0 0g 1 x ex 当时 01x 2 1 1 f xxx 22 1 1 1 1xxaxxaxx 取 则 故 0 541 2 a x 2 0000 0 1 1 1 10 xxxax 00 1f xax 当时 取 则0a 0 51 2 x 2 00000 0 1 1 1 11xf xxxax 综上 的取值范围是 a 1 二 选考题 共 二 选考题 共 10 分 请考生在第分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的题中任选一题作答 如果多做 则按所做的 第一题计分 第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系中 以坐标原点为极点 xOy 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线的极坐标方程为 x 1 Ccos4 1 为曲线上的动点 点在线段上 且满足 求点M 1 CPOM 16OMOP 的轨迹的直角坐标方程 P 2 C 2 设点的极坐标为 点在曲线上 求面积的最大值 A 2 3 B 2 COAB 解 解 1 设的极坐标为 的极坐标为 P 0 M 11 0 由题设知由得的极坐标方程 1 4 cos OPOM 16OMOP A 2 C 因此的直角坐标方程为4cos 0 2 C 22 2 4 0 xyx 2 设点的极坐标为 由题设知 B 0 BB 2 4cos B OAa 于是面积OAB 1 sin 2 B SOAAOB AA4cos sin 3 aa A 3 2 sin 2 32 a 23