2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例课时规范训练 新人教A版选修1-1

1 3 43 4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 基础练习 1 将 8 分为两个非负数之和 使其立方之和为最小 则分法为 a 2 和 6 b 4 和 4 c 3 和 5 d 以上都不对 答案 b 2 用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱 先在四周分别截去一个小正方形 然后把四边翻转 90 角 再焊接成水箱 则水箱的最大容积为 a 120 000 cm3 b 128 000 cm3 c 150 000 cm3 d 158 000 cm3 答案 b 3 某厂生产某种产品x件的总成本为c x 1 200 x3 又产品单价的平方与产品件 2 75 数x成反比 生产 100 件这样的产品的单价为 50 元 总利润最大时 产量应定为 a 25 件 b 20 件 c 15 件 d 30 件 答案 a 4 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运 据市场分析 每辆客车营运的总 利润y 万元 与营运年数x x n n 满足y x2 12x 25 则每辆客车营运多少年使其营运 年平均利润最大 a 3 b 4 c 5 d 6 答案 c 5 用总长为 14 8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架 若所制作容器的底面一边比高 长出 0 5 m 则当高为 m 时 容器的容积最大 答案 1 6 某车间要盖一间长方形小屋 其中一边利用已有的墙壁 另三边新砌 现有存砖只 够砌 20 m 长的墙壁 则应围成长为 m 宽为 m 的长方形才能使小屋面积最大 答案 10 5 7 做一个容积为 256 m3且底面为正方形的无盖水箱 求它的高为多少时最省料 解 设水箱底的边长为x m x 0 则高为 m 256 x2 2 所以水箱的表面积为s x2 4x 256 x2 则s 2x 令s 0 解得x 8 1 024 x2 当 0 x 8 时 s 0 当x 8 时 s 0 所以x 8 时 s有最小值 此时高为 4 m 所以当水箱的高为 4 m 时 最省料 8 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格 x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中 3 x 6 a为常数 已知销售价 a x 3 格为 5 元 千克时 每日可售出该商品 11 千克 1 求a的值 2 若该商品的成本为 3 元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获 得的利润最大 解 1 将x 5 y 11 代入y 10 x 6 2中 得 10 11 解得a 2 a x 3 a 2 2 由 1 可知y 10 x 6 2 2 x 3 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f x x 3 2 x 3 10 x 6 2 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 所以f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 3 4 4 4 6 f x 0 f x 极大值 由上表可知x 4 是函数f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以当x 4 时 函数f x 取得最大值 42 即当销售价格为 4 元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 能力提升 9 2019 年湖南长沙期末 一个帐篷 它下部的形状是高为 1 m 的正六棱柱 上部的形 状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥 如图所示 当帐篷的体积最大时 帐篷的顶点o到底面中心 o1的距离为 3 a m b 1 m 3 2 c m d 2 m 3 答案 d 解析 设oo1为x m 可得 1 x 4 设底面正六边形的面积为s m2 帐篷的体积为v m3 由题设得正六棱锥底面边长为 m 于是底面正六边形的面 32 x 1 28 2x x2 积为s 6 2 8 2x x2 帐篷的体积v 8 2x x2 x 1 3 48 2x x2 3 3 2 1 3 3 3 2 8 2x x2 8 2x x2 16 12x x3 3 3 2 3 2 x 1 3 3 2 v 12 3x2 令v 0 解得x 2 或x 2 不合题意 舍去 当 1 x 2 时 3 2 v 0 当 2 x 4 时 v 0 所以当x 2 时 v最大 10 内接于半径为r的球并且体积最大的圆柱的高为 a r b r 2 3 3 3 3 c r d 以上都不对 1 2 答案 a 解析 设圆柱的底面半径为r 高为h 则r2 r2 2 所以v h r2h h 2 h v h 令v h 0 得h r 显然此时体积v h 最大 r2 h2 4 r2 3 4h2 2 3 3 11 某公司规定 对于小于或等于 150 件的订购合同 每件的收益为 200 元 对于多于 150 件的订购合同 每超过 1 件 则每件的收益比原来减少 1 元 那么订购 件的合 同会使公司的收益最大 答案 175 解析 设订购x件商品 则单件商品的收益为p x error 故总收益r x error 当 0 x 150 时 x 150 r x 取得最大值 30 000 当x 150 时 x 175 r x 取得最大值 30 625 故订购 175 件的合同会使总收益最大 12 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销 在一年内 预计年销量 q 万件 与广告费x 万元 之间的函数关系为q x 0 已知生产此产品的年固定投 3x 1 x 1 4 入为 3 万元 每生产 1 万件此产品需再投入 32 万元 若每件产品售价为 年平均每件成本 的 150 与 年平均每件所占广告费的 50 之和 1 试将年利润y 万元 表示为年广告费x 万元 的函数 如果年广告费投入 100 万元 那么企业是亏损还是盈利 2 当年广告费投入多少万元时 企业年利润最大 解 1 由题意 每年销售q万件 共计成本为 32q 3 万元 销售收入是 32q 3 150 x 50 所以年利润y 年收入 年成本 年广告费 32q 3 x 1 2 1 2 x 0 32 3x 1 x 1 3 x x2 98x 35 2 x 1 即所求的函数关系式为y x 0 x2 98x 35 2 x 1 当x 100 时 y 0 即当年广告费投入 100 万元时 企业亏损 2 由y f x x 0 可得 x2 98x 35 2 x 1 f x 2x 98 2 x 1 2