高考不等式经典例题

高考不等式专题精练 教师专用 高考不等式专题精练 教师专用 高考不等式经典例题 例 1 已知 a 0 a 1 P loga a3 a 1 Q loga a2 a 1 试比较 P 与 Q 的大小 解析 因为 a3 a 1 a2 a 1 a2 a 1 当 a 1 时 a3 a 1 a2 a 1 P Q 当 0 a 1 时 a3 a 1 a2 a 1 P Q 综上所述 a 0 a 1 时 P Q 变式训练 1 已知 m a a 2 n x 2 x 则 m n 之间的大小关系为 1 a 2 1 2 A m nB m nC m n D m n 解析 选 C 本题是不等式的综合问题 解决的关键是找中间媒介传递 m a a 2 2 2 2 4 而 n x 2 2 4 1 a 2 1 a 2 1 2 变式训练 2 已知函数 f x ax2 c 且 4 f 1 1 1 f 2 5 求 f 3 的取值范围 解析 由已知 4 f 1 a c 1 1 f 2 4a c 5 令 f 3 9a c a c 4a c 所以 1 94 3 8 3 5 故 f 3 a c 4a c 1 20 5 3 8 3 题型三 开放性问题 例 3 已知三个不等式 ab 0 bc ad 以其中两个作条件 余下的一个作结论 则能组 c a d b 成多少个正确命题 解析 能组成 3 个正确命题 对不等式 作等价变形 0 c a d b bc ad ab 1 由 ab 0 bc ad 0 即 bc ad ab 2 由 ab 0 0 bc ad 0 bc ad 即 bc ad ab 3 由 bc ad 0 0 ab 0 即 bc ad ab 故可组成 3 个正确命题 例 2 解关于 x 的不等式 mx2 m 2 x 2 0 m R 解析 当 m 0 时 原不等式可化为 2x 2 0 即 x 1 当 m 0 时 可分为两种情况 1 m 0 时 方程 mx2 m 2 x 2 0 有两个根 x1 1 x2 2 m 所以不等式的解集为 x x 1 或 x 2 m 高考不等式专题精练 教师专用 高考不等式专题精练 教师专用 2 m 0 时 原不等式可化为 mx2 2 m x 2 0 其对应方程两根为 x1 1 x2 x2 x1 1 2 m 2 m m 2 m m 2 时 m 2 0 m 0 所以 x2 x1 0 x2 x1 不等式的解集为 x 1 x 2 m m 2 时 x2 x1 1 原不等式可化为 x 1 2 0 解集为 2 m 0 时 x2 x1 0 即 x2 x1 不等式解集为 x x 1 2 m 变式训练 2 解关于 x 的不等式 0 ax 1 x 1 解析 原不等式等价于 ax 1 x 1 0 当 a 0 时 不等式的解集为 x x 1 当 a 0 时 不等式的解集为 x x 或 x 1 1 a 当 1 a 0 时 不等式的解集为 x x 1 当 a 1 时 不等式的解集为 1 a 当 a 1 时 不等式的解集为 x 1 x 1 a 例 3 已知 ax2 bx c 0 的解集为 x 1 x 3 求不等式 cx2 bx a 0 的解集 解析 由于 ax2 bx c 0 的解集为 x 1 x 3 因此 a 0 解得 x 或 x 1 1 3 1 z x 2y 4 的最大值 2 z x2 y2 10y 25 的最小值 3 z 的取值范围 2y 1 x 1 解析 作出可行域如图所示 并求出顶点的坐标 A 1 3 B 3 1 C 7 9 1 易知直线 x 2y 4 z 过点 C 时 z 最大 所以 x 7 y 9 时 z 取最大值 21 2 z x2 y 5 2表示可行域内任一点 x y 到定点 M 0 5 的距离的平方 过点 M 作直线 AC 的垂线 易知垂足 N 在线段 AC 上 故 z 的最小值是 2 0 5 2 2 9 2 3 z 2 表示可行域内任一点 x y 与定点 Q 1 连线斜率的 2 倍 y f 1 2 x 1 1 2 因为 kQA kQB 所以 z 的取值范围为 7 4 3 8 3 4 7 2 例 1 1 设 x y R 且 xy x y 1 则 A x y 2 1 B x y 2 1 C x y 2 1 2 D x y 1 2 2222 2 已知 a b R 则 的大小顺序是 ab a b 2 a2 b2 2 2ab a b 高考不等式专题精练 教师专用 高考不等式专题精练 教师专用 解析 1 选 A 由已知得 xy 1 x y 又 xy 2 所以 2 1 x y x y 2 x y 2 解得 x y 2 1 或 x y 2 1 因为 x y 0 所以 x y 2 1 222 2 由 有 a b 2 即 a b 所以 a b 2abab 2ab abab 2ab a b 又 所以 所以 a b 2 a2 2ab b2 4 2 a2 b2 4 a2 b2 2 a b 2 a2 b2 2 a b 2ab 2ab a b 变式训练变式训练 1 设设 a b c 不等式 不等式 恒成立 则恒成立 则 的取值范围是的取值范围是 1 a b 1 b c a c 解析 4 因为 a b c 所以 a b 0 b c 0 a c 0 而 a c a b b c 4 所以 4 1 a b 1 b c 1 a b 1 b c 例例 2 1 已知已知 x 则函数 则函数 y 4x 2 的最大值为的最大值为 5 4 1 4x 5 解析 1 因为 x 所以 5 4x 0 所以 y 4x 2 5 4x 3 2 3 1 5 4 1 4x 5 1 5 4x 当且仅当 5 4x 即 x 1 时 等号成立 所以 x 1 时 ymax 1 1 5 4x 变式训练变式训练 2 已知已知 x a b y 成等差数列 成等差数列 x c d y 成等比数列 求成等比数列 求的取值范围的取值范围 a b 2 cd 解析 由等差数列 等比数列的性质得 a b x y cd xy 所以 2 当 0 时 4 当 0 时 0 a b 2 cd x y 2 xy x y y x y x a b 2 cd y x a b 2 cd 故的取值范围是 0 4 a b 2 cd 例例 已知已知 求 求的最小值 的最小值 28 0 1x y xy xy 解 解 2 2 28464464 13223264 yxyx xyxyxy xyxyxy AAA 当且仅当时 即 上式取 故 281 2xy 4 16xy min64xy 例例 已知已知 求函数 求函数的最小值 的最小值 01x 41 1 y xx 解 解 因为 所以 01x 10 x 所以 4 14141 159 111 xx yxx xxxxxx 当且仅当时 即 上式取 故 4 1 1 xx xx 2 3 x min 9y 高考不等式专题精练 教师专用 高考不等式专题精练 教师专用 例例 已知已知 且 且 求 求的最小值 的最小值 x y zR 1xyz 149 xyz 解 解 设 故有 0 10 xyz 149149149 1xyzxyz xyzxyzxyz 当且仅当同时成立时上24612 149 xyz xyz 述不等式取 即 代入 解得 此时 123 xyz 1xyz 36 故的最小值为 36 1236 149 xyz 例例 若正实数若正实数 x y 满足满足 则 则 xy 的最小值是的最小值是 变式 求 变式 求 2x y 的最小值为的最小值为 26xyxy 答案 答案 18 解 因为 x 0 y 0 所以 62262 xyyxxy 解得 2 260 xyxy 3 22xyxy 或 舍 等号当且仅当 2x y 6 时成立 故 xy 的最小值为 18 变式答案 12 解 因为 x 0 y 0 所以 2 1 2 26 22 xy xyxy 整理得 解得 2 2 8 2 480 xyxy 21224 xyxy 或舍 等号当且仅当 2x y 6 时成立 故 2x y 的最小值为 12 例例 若对任