2019-2020学年高中数学 课时作业14 三角形中的几何计算 北师大版必修5

1 课时作业课时作业 十四十四 1 已知锐角 abc 的面积为 3 bc 4 ca 3 则角 c 的大小为 3 a 75 b 60 c 45 d 30 答案 b 解析 3 4 3sinc sinc 3 1 2 3 2 abc 为锐角三角形 c 60 故选 b 2 在 abc 中 bc 2 b 当 abc 的面积等于时 sinc 等于 3 3 2 a b 3 2 1 2 c d 3 3 3 4 答案 b 解析 由正弦定理得 s abc ab bc sinb ab ab 1 ac2 ab2 bc2 2ab bc cosb 1 4 4 1 2 3 2 3 2 3 ac 再由正弦定理 得 sinc 1 23 1 sinc 3 sin 3 1 2 3 在 abc 中 a 60 ab 2 且 abc 的面积 s abc 则边 bc 的长为 3 2 a b 3 3 c d 7 7 答案 a 解析 由 s abc 得 ab acsina 3 2 1 2 3 2 即 2ac ac 1 由余弦定理 得 1 2 3 2 3 2 bc2 ab2 ac2 2ab ac cosa 22 12 2 2 1 3 1 2 bc 3 4 在 abc 中 已知 a 30 且 3a b 12 则 c 的值为 3 a 4 b 8 c 4 或 8 d 无解 2 答案 c 解析 由 3a b 12 得 a 4 b 4 利用正弦定理可得 b 为 60 或 120 从而解 33 出 c 的值 5 2014 新课标全国 钝角三角形 abc 的面积是 ab 1 bc 则 ac 1 22 a 5 b 5 c 2 d 1 答案 b 解析 由题意可得 ab bc sinb 又 ab 1 bc 所以 sinb 所以 b 45 1 2 1 22 2 2 或 b 135 当 b 45 时 由余弦定理可得 ac 1 此时 ab2 bc2 2ab bc cosb ac ab 1 bc 易得 a 90 与 钝角三角形 条件矛盾 舍去 所以 b 135 2 由余弦定理可得 ac ab2 bc2 2ab bc cosb5 6 在 abc 中 2acosb c 则 abc 是 a 等腰三角形 b 直角三角形 c 等腰直角三角形 d 等边三角形 答案 a 解析 方法一 由余弦定理 得 2a c 所以 a2 c2 b2 c2 则 a b 则 abc a2 c2 b2 2ac 是等腰三角形 方法二 由正弦定理 得 2 2rsinacosb 2rsinc 即 2sinacosb sinc 又 sin a b sin a b 2sinacosb 所以 sin a b sin a b sinc 又 a b c 所以 sin a b sinc 所以 sin a b 0 又 0 a 0 b 则 a b 所以有 a b 则 abc 是等腰三角形 探究 思路一是转化为三角形的边的关系 利用代数运算获得三角形的关系式 思路二是 转化为三角形的角的关系 利用三角函数知识获得了三角形的角的关系 思路二中 如果 没有想到等式 sin a b sin a b 2sinacosb 那么就会陷入困境 由于受三角函数 知识的限制 提倡将已知条件等式转化为边的关系来判断三角形的形状 7 已知锐角三角形的边长分别是 3 5 x 则 x 的取值范围是 a 1 x b 4 x 530 c 1 x 4 d 4 x0 得 x 4 若 x 最大 则 32 52 x2 0 得 0 x 34 又 2 x 8 则 4 x 34 8 在 abc 中 a b 1 2 角 c 的平分线 cd 把三角形面积分为 3 2 两部分 则 cosa a b 1 3 1 2 c d 0 3 4 答案 c 解析 cd 是 c 的平分线 s acd s bcd 1 2ac cdsin c 2 1 2bc cdsin c 2 ac bc sinb sina 3 2 b 2a 2cosa sinb sina sin2a sina 3 2 cosa 3 4 9 已知等腰三角形的底边长为 6 一腰长为 12 则它的外接圆半径为 答案 8 15 5 解析 设顶角为 a 则有 cosa b2 c2 a2 2bc 122 122 62 2 12 12 7 8 sina 1 cos2a 15 8 2r r a sina a 2sina 8 15 5 10 在 abc 中 已知 sina sinb 1 c2 b2 bc 则三内角 a b c 的度数依次 22 是 答案 45 30 105 解析 a b a2 b2 c2 2bccosa 2 4 2b2 b2 c2 2bccosa 又 c2 b2 bc cosa a 45 2 2 2 sinb b 30 c 105 1 2 11 在 abc 中 角 a b c 所对的边分别为 a b c 若 b c cosa acosc 则 3 cosa 答案 3 3 解析 由正弦定理 得 sinb sinc cosa sinacosc 3 化简得sinbcosa sin a c 3 0 sinb 1 cosa 3 3 12 在 abc 中 b 45 ac cosc 10 2 5 5 1 求 bc 边的长 2 记 ab 的中点为 d 求中线 cd 的长 解析 1 由 cosc 得 sinc 2 5 5 5 5 sina sin 180 45 c cosc sinc 由正弦定理知 2 2 3 10 10 bc sina 3 ac sinb 10 2 2 3 10 102 2 ab sinc 2 ac sinb 10 2 2 5 5 bd ab 1 1 2 由余弦定理知 cd bd2 bc2 2bd bc cosb 1 18 2 1 3 2 2 213 5 13 如图 在平面四边形 abcd 中 ad 1 cd 2 ac 7 1 求 cos cad 的值 2 若 cos bad 7 14 sin cba 求 bc 的长 21 6 解析 1 如题图 在 adc 中 由余弦定理 得 cos cad ac2 ad2 cd2 2ac ad 故由题设知 cos cad 7 1 4 2 7 2 7 7 2 如题图 设 bac 则 bad cad 因为 cos cad cos bad 2 7 7 7 14 所以 sin cad 1 cos2 cad 1 2 7 7 2 21 7 sin bad 1 cos2 bad 1 7 14 2 3 21 14 于是 sin sin bad cad sin badcos cad cos badsin cad 3 21 14 2 7 7 7 14 21 7 3 2 在 abc 中 由正弦定理 得 bc sin ac sin cba 6 故 bc 3 ac sin sin cba 7 3 2 21 6 14 如图 在 abc 中 b ab 8 点 d 在 bc 边上 且 cd 2 cos adc 3 1 7 1 求 sin bad 2 求 bd ac 的长 解析 1 在 adc 中 因为 cos adc 所以 sin adc 1 7 4 3 7 所以 sin bad sin adc b sin adccosb cos adcsinb 4 3 7 1 2 1 7 3 2 3 3 14 2 在 abd 中 由正弦定理得 bd 3 ab sin bad sin adb 8 3 3 14 4 3 7 在 abc 中 由余弦定理得 ac2 ab2 bc2 2ab bc cosb 82 52 2 8 5 49 1 2 所以 ac 7 15 如图所示 已知圆 o 的半径为 1 点 c 在直径 ab 的延长线上 bc 1 点 p 是圆 o 上半 圆上的一个动点 以 pc 为边作等边三角形 pcd 且点 d 与圆心分别在 pc 的两侧 7 1 若 pob 试将四边形 opdc 的面积 y 表示成 的函数 2 求四边形 opdc 面积的最大值 思路分析 四边形 opdc 可以分成 opc 和 pcd s opc可用 op oc sin 表示 求 1 2 pcd 的面积关键在于求出边长 pc