等差数列与等比数列归纳

1 二轮专题复习 等差数列与等比数列二轮专题复习 等差数列与等比数列 澄海实验高级中学 陈曦怀 一 教材分析 一 教材分析 数列知识是历年高考的重点内容 是必考的热点 数列考查的重点是等差 等比数 列的定义 通项公式 前几项和公式 等差 比 中项及等比等差数列的性质的灵活运 用 这一部分主要考查学生的运算能力 逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力 其中考查思维能力是支柱 运算能力是主体 应用是归宿 在选择题 填空题中突出了 小 巧 活 的三大特点 在解答题中以中等难度以上的综合题为主 涉及函数 方 程 不等式等重要内容 试题中往往体现了函数与方程 等价转化 分类讨论等重要的 数学思想 二 复习目的 二 复习目的 1 熟练掌握等差 等比数列的定义 通项公式 前 n 项和公式 等差 比 中项及等差 比 数列的相关性质 2 灵活运用等差 比 数列的相关性质解决相应问题 在解决数列综合性问题时 灌输 方程思想 化归思想及分类讨论思想 培养学生运算能力 逻辑思维能力 分析问题以 及解决问题的能力 三 复习重点 难点 三 复习重点 难点 重点 重点 等差 等比数列的定义 通项公式 前几项和公式 等差 比 中项及等差 比 数列的相关性质 难点 难点 灵活运用差 比 数列的相关性质结合函数思想 方程思想探求解题思路 分析 问题 解决问题 复习内容 复习内容 四 复习过程 四 复习过程 一 知识要点回顾 一 知识要点回顾 1 1 重要公式 重要公式 1 数列通项公式与前 n 项和公式之间的关系 n a n S 1 n1 n1 S n2 n n S a S 2 等差数列 定义 1 nnn aaad 为等差数列常数 通项公式 1 1 n aand nm aanm d 前 n 项和公式 1 1 1 22 n n n aan n Snad 等差中项 11 2 nnn aaa 2 3 等比数列 定义 1 0 n nn n a aq qa a 为等比数列 为常数 通项公式 1 1 n n aa q n m nm aa q 前 n 项和公式 1 11 1 1 1 11 n n n naq S aa qaq q qq 等比中项 2 11nnn aaa A 2 2 重要性质 重要性质 1 若 m n p q m n p q N 在等差数列中有 n a mnpq aaaa 在等比数列中有 n a mnpq aaaa AA 2 等差 比 数列依次 k 项之和仍然成等差 比 数列 若数列是等差 比 数列 则 n a 23243 kkkkkkk SSSSSSS 仍然成等差 比 数列 3 等差 比 数列依次 等距离 取出若干项仍然成等差 比 数列 二 基础练习 二 基础练习 1 等差数列 an 中 a1 1 a3 a5 14 其前 n 项和 Sn 100 则 n B A 9 B 10 C 11 D 12 2 在由正数组成的等比数列中 若 n a 56 9 a a 3132310 logloglogaaa 则 的值为 C A B 12 C 10 D 8 3 2log 5 三 例题讲解 三 例题讲解 例 1 已知等差数列 an 的首项 a1 1 公差 d 0 且其第 2 项 第 5 项 第 14 项分别是 等比数列 bn 的第 2 3 4 项 求数列与的通项公式 n a n b 设数列对任意自然数 n 均有 n c 成立 312 123 1 n n n ccc c bbbb a 3 求 的值 1232009 cccc 解 由题意得 2 111 13 4 0 ad adadd 1 2 0d da 化简得 解得 1 020dda 舍去 或 1 12ad 21 nn aan 数列的通项公式为 2235 3 9baba 3 n 2 3 b aqq b 设等比数列的公比为 则 221 2 3 33 nnn nn bbb q 数列的通项公式为 当 n 1 时 1 211 1 3 33 c acb b 当 n 2 时 312 1 123 n n n cccc a bbbb 由 3112 1231 n n n cccc a bbbb 得 由 得 1 2 nn n n aa c b 1 22 3 n nn cb n 2 1 13 nc 当时 不满足上式 1 3 1 2 3 n n n c n 2 22008 1232009 32 32 32 3cccc 2008 2 3 1 3 3 1 3 20082009 33 31 3 4 小结 本小题考查等差 等比数列的基本知识 利用基本量小结 本小题考查等差 等比数列的基本知识 利用基本量 结合等比数列的中项公结合等比数列的中项公 1 a d 式 得出数列式 得出数列的通项公式 还考查已知前的通项公式 还考查已知前 n 项和项和求通项公式的基本方法 求通项公式的基本方法 nn ab n S 要注意分要注意分 n 1 和和 n 2 两种情况 最后根据等比数列的前两种情况 最后根据等比数列的前 n 项和公式求和项和公式求和 考查方程思想 考查方程思想 化归思想 及分类讨论等思想方法 以及推理和运算能力 化归思想 及分类讨论等思想方法 以及推理和运算能力 例例 2 在数列中 n a 1 2a 1 431 nn aan n N 1 证明数列是等比数列 n an 2 求数列的前项和 n an n S 3 证明不等式 对任意皆成立 1 4 nn SS n N 1 证明 由题设 得 1 431 nn aan 1 1 4 nn anan n N 又 所以数列是首项为 且公比为的等比数列 1 11a n an 14 2 解 由 可知 于是数列的通项公式为 1 4n n an n a 1 4n n an 所以数列的前项和 n an 41 1 32 n n n n S 3 证明 对任意的 n N 1 1 41 1 2 41 1 44 3232 nn nn nnn n SS 1212 41324444 3232 nn nnnn 2 1 34 2 nn 2 314 233 nn 2 3149 2636 n 1 4 nn nNSS 当时 单调递减 5 2 121 1 44 3 114 0 2 nn SSSS 所以不等式 对任意皆成立 1 4 nn SS n N 另解 另解 1 4 nnn TSS 令 1 61 2 n Tn 1 04 nnn nNTSS 当时 单调递减 2 121 1 44 3 114 0 2 nn SSSS 所以不等式 对任意皆成立 1 4 nn SS n N 小结 本小题以数列的递推关系为载体主要考查等比数列的概念 通项公式及分组求和小结 本小题以数列的递推关系为载体主要考查等比数列的概念 通项公式及分组求和 的方法 并且解决数列与不等式证明综合运用的问题 考查转化思想 以及推理和运算的方法 并且解决数列与不等式证明综合运用的问题 考查转化思想 以及推理和运算 能力 能力 四 巩固练习 四 巩固练习 1 在数列中 设 n a 1 1a 1 22n nn aa 1 2 n n n a b 证明 数列是等差数列 且求出的通项公式 n b n a 解 1 1 22n nn aa 1 1 1 22 nn nn aa 1 1 nn bb 则为等差数列 n b 1 1b n bn 1 2n n an 2 等差数列的各项均为正数 前项和 为等比数列 且 n a 1 3 a n n s n b 1 1 b 2 23 3 64 960b sb s 1 求 2 求 nn ab与 12 111 n sss 1 设的公差为 的公比为 则为正整数 n ad n bqd 3 1 n and 1n n bq 6 依题意有 2 3 3 22 93 960 6 64 S bd q S bd q 解得或 舍去 2 8 d q 6 5 40 3 d q 故 1 32 1 21 8n nn annb 2 35 21 2 n Snn n 12 1111111 1 32 43 5 2 n SSSn n 11111111 1 2324352nn 1111 1 2212nn 323 42 1 2 n nn 五 专题小结 五 专题小结 1 数列考查的重点是等差 等比数列的定义 通项公式 前数列考查的重点是等差 等比数列的定义 通项公式 前 n 项和公式 中项公式及等比 项和公式 中项公式及等比 等差数列的性质的灵活运用 等差数列的性质的灵活运用 2 解数列问题时 若条件中指出数列为等差或等比数列一般将条件化归为基本量首项和公解数列问题时 若条件中指出数列为等差或等比数列一般将条件化归为基本量首项和公 差 比 运用方程的思想求出基本量 进而解决问题 差 比 运用方程的思想求出基本量 进而解决问题 3 解数列问题时 若条件中的数列不是等差 比 数列 一般通过构造新的等差 比 数解数列问题时 若条件中的数列不是等差 比 数列 一般通过构造新的等差 比 数 列 将问题转化为等差 比 数列问题来解决 列 将问题转化为等差 比 数列问题来解决 六 课外练习 六 课外练习 1 是等差数列 B n a 127810 4 28 aaaas A 64 B 100 C 110 D 120 2 已知等差数列 an bn 前 n 项和分别是 Sn Tn 若 则等于 C 2 31 n n Sn Tn 11 11 a b A B C D 11 17 2 3 21 32 4 9 7 3 设是公比大于 1 的等比数列 为数列的前项和 已知 且 n a n S n an 3 7S 构成等差数列 1 3a 2 3a 3 4a 1 求数列的通项 2 令求数列的前项和 n a 31 ln12 nn ban n bn n T 解 1 由已知得 解得 123 13 2 7 3 4 3 2 aaa aa a 2 2a 公比为 由 得 q 2 2a 13 2 2aaq q 又 知 即 3 7S