福建省莆田市2020届高三下学期3月模拟考试 理科数学（PDF版）

年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷 数 学 理科 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 本试卷共 页 满分 分 考试时间 分钟 注意事项 答题前 考生先将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 考生作答时 将答案答在答题卡上 请按照题号在各题的答题区域 黑色线框 内 作答 超出答题区域书写的答案无效 在草稿纸 试题卷上答题无效 选择题答案使用 铅笔填涂 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 非选择题答案使用 毫米的黑色中性 签字 笔或碳素笔书写 字体工整 笔迹清楚 保持答题卡卡面清洁 不折叠 不破损 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第 卷 一 选择题 本大题共 小题 每小题 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 已知集合 则 的左 右焦点分别为 过 的直线与 的左支交于 两点 若 且 则 的离心率为 设函数 的定义域为 已知 有且只有一个零点 下列四个结论 在区间 单调递增 是 的零点 是 的极大值点 是 的最小值 其中正确的个数是 理科数学试卷 第 页 共 页 第 卷 本本卷卷包包括括必必考考题题和和选选考考题题两两部部分分 第第 题题为为必必考考题题 每每个个试试题题考考生生都都必必须须作作答答 第第 题题为为选选考考题题 考考生生根根据据要要求求作作答答 已知非零向量 满足 且 则 与 的夹角为 设 满足约束条件 则 的最大值为 已知函数 且 则 的内角 的对边分别为 已知 是 边上的中线 且 则 面积的最大值为 三 解答题 共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 题为必考 题 每个试题考生都必须作答 第 题为选考题 考生根据要求作答 一一 必必考考题题 共共 分分 分 设 是公差不为 的等差数列 其前 项和为 已知 成等比数列 求 的通项公式 设 数列 的前 项和为 求 分 B C D A P M 如图 四棱锥 的底面是菱形 证明 平面 平面 若 点 在棱 上 且 求二面角 的余弦值 理科数学试卷 第 页 共 页 分 莆田市是福建省 历史文化名城 之一 也是旅游资源丰富的城市 九头十八巷 二十四景 美如画 某文化传媒公司为了解莆田民众对当地风景民俗知识的了解情况 在全市进行网上问卷 满分 分 调查 民众参与度极高 该公司对得分数据 进行 统计拟合 认为 服从正态分布 从参与调查的民众中随机抽取 名作为幸运者 试估算其中得分在 分以上 含 分 的人数 四舍五入精确到 人 在 的条件下 为感谢参与民众 该公司组织两种活动 得分在 分以上 含 分 的幸运者选择其中一种活动参与 活动如下 活活动动一一 参与一次抽奖 已知抽中价值 元的礼品的概率为 抽中价值 元的礼品 的概率为 活活动动二二 挑战一次闯关游戏 规则如下 游戏共有三关 闯关成功与否相互独立 挑战 者依次闯关 第一关闯关失败者没有获得礼品 第二关起闯关失败者只能获得 上一关的礼品 获得的礼品不累计 闯关结束 已知第一关通过的概率为 可获得价值 元的礼品 第二关通过的概率为 可获得价值 元的 礼品 第三关通过的概率为 可获得价值 元的礼品 若参与活动的幸运者均选择礼品价值期望值较高的活动 该公司以该期望值为 依据 需准备多少元的礼品 附 若 则 的左 右焦点 点 在 上 有以下三个条件 点 的坐标为 且 从三个条件中任意选择两个 求 的方程 在 的条件下 过点 的直线 与 交于 两点 关于坐标原点的 对称点为 求 面积的最大值 理科数学试卷 第 页 共 页 分 已知函数 求 在区间 的极值点 证明 在区间 有且只有 个零点 且之和为 二二 选选考考题题 共共 分分 请请考考生生在在第第 题题中中任任选选一一题题作作答答 注注意意 只只能能做做所所选选定定的的题题目目 如如 果果多多做做 则则按按所所做做第第一一个个题题目目计计分分 作作答答时时请请用用 铅铅笔笔在在答答题题卡卡上上将将所所选选题题号号后后的的方方框框涂涂 黑黑 选修 坐标系与参数方程 分 在直角坐标系 中 已知直线 过点 以坐标原点为极点 轴正半轴为极轴 建立极坐标系 曲线 的极坐标方程为 求 的直角坐标方程 若 与 交于 两点 求 的最大值 选修 不等式选讲 分 已知 求不等式 的解集 若 时 求 的取值范围 理科数学试卷 第 页 共 页 年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷 理科数学试题参考解答及评分标准 评分说明 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 分 满分 分 二 填空题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 分 满分 分 三 解答题 本大题共 小题 共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 本小题主要考查等差数列 等比数列 数列求和等基础知识 考查推理论证能力 运算 求解能力 考查化归与转化思想 函数与方程思想 考查逻辑推理 数学运算等核心素 养 体现基础性 综合性 满分 分 解 设 的公差为 则 分 因为 成等比数列 所以 分 又 分 所以 分 所以 的通项公式为 分 由 得 分 分 分 分 理科数学试卷答案 第 页 共 页 本小题主要考查空间直线与平面的位置关系 空间向量等基础知识 考查空间想象能 力 推理论证能力 运算求解能力 考查化归与转化思想 数形结合思想 考查直观想 象 逻辑推理 数学运算等核心素养 体现基础性 综合性 满分 分 解 连接 交 于点 连接 在菱形 中 分 又 是 中点 所以 分 因为 平面 平面 分 所以 平面 分 又 平面 故平面 平面 分 B C D A P M O z y x E 由 知 又 所以 平面 设 中点为 连接 由已知 得 又 则 从而 两两垂直 分 以 为坐标原点 的方向为 轴正方向如图建立空间直角坐标系 则 分 设 则 分 由 得 即 解得 或 舍去 分 设 为平面 的一个法向量 则 即 理科数学试卷答案 第 页 共 页 取 分 因为 平面 所以 为平面 的一个法向量 分 因为 且由图知二面角 为锐角 所以二面角 的余弦值为 分 本小题主要考查正态分布 随机变量的分布列 数学期望等基础知识 考查数据处理能 力 运算求解能力与应用意识 考查统计与概率思想 分类与整合思想 考查数学建 模 数据分析 数学运算等核心素养 体现基础性 综合性与应用性 满分 分 解 因为 所以 分 所以 所以该公司需准备的礼品价值为 元 分 理科数学试卷答案 第 页 共 页 本小题主要考查椭圆的定义和几何性质 直线与和椭圆的位置关系等基础知识 考查推 理论证能力 运算求解能力 考查化归与转化思想 数形结合思想 函数与方程思想 考查直观想象 逻辑推理 数学运算等核心素养 体现基础性 综合性与创新性 满分 分 解法一 若选择 设椭圆的半焦距为 由 可知 分 把 代入椭圆方程 得 分 又 分 所以 分 故 的方程为 分 若选择 设椭圆的半焦距为 由 可知 分 在 中 由椭圆定义可知 分 又 且 所以 分 故 从而 分 所以 的方程为 分 若选择 设椭圆的半焦距为 由 得 分 在 中 由椭圆定义可知 分 又 且 所以 分 故 从而 分 所以 的方程为 分 理科数学试卷答案 第 页 共 页 显然直线 斜率存在且不为 故可设其方程为 联立直线与椭圆方程 消去 得 分 由 得 所以 设 则 由韦达定理可得 分 又点 为 的中点 且 到直线 的距离 分 所以 分 设 则 分 当且仅当 即 得 所以 设 则由韦达定理可得 分 又点 为 的中点 所以 分 因为 所以 分 令 则 分 当且仅当 即 时 等号成立 所以 面积的最大值为 分 本小题主要考查导数及其应用等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能力与创新意 识 考查函数与方程思想 化归与转化思想 数形结合思想 分类与整合思想 考查直 观想象 数学运算 逻辑推理等核心素养 体现综合性 创新性 满分 分 解 因为 所以 分 令 得 或 分 由 得 或 由 得 所以 在区间 有且只有两个零点 其中 分 且当 时 当 时 故当 时 当 时 所以 在区间 和 为增函数 在区间 为减函数 分 因为 所以 在区间 有唯一零点 分 又因为 所以对于任意的 若 必有 分 所以 在区间 有唯一零点 分 故 在区间 有且只有 个零点 所以 在区间 有且只有共有 个零点 且之和为 分 选修 坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程与极坐标方程 直线与抛物线的位置关系等基础知识 考查运 算求解能力 考查函数与方程思想 转化与化归思想 数形结合等思想 考查数学运 算 逻辑推理等核心素养 体现基础性与综合性 满分 分 解 曲线 的方程可化为 分 将 代入得 分 即 所以 的直角坐标方程为 分 理科数学试卷答案 第 页 共 页 设直线 的倾斜角为 依题意可知 设 的参数方程为 为参数 代入 得 即 分 设 对应的参数分别为 则 分 所以 分 当且仅当 时 等号成立 所以