4第14章勾股定理能力培优

1 第第 1414 章章 勾股定理勾股定理 14 1 勾股定理勾股定理 专题一专题一 勾股定理与方程勾股定理与方程 1 如图所示 已知在三角形纸片 ABC 中 BC 3 AB 6 BCA 90 在 AC 上取一点 E 以 BE 为折痕 使 AB 的一部分与 BC 重合 A 与 BC 延长线上的点 D 重合 则 DE 的长度为 A 6 B 3 C D 2 33 2 一个正方体物体沿斜坡向下滑动 其截面如图所示 正方形 DEFH 的边长为 2 米 坡角 A 30 B 90 BC 6 米 当正方形 DEFH 运动到什么位置 即当 AE 米时 有 DC AE BC 222 专题二专题二 构造直角三角形构造直角三角形 3 如图 在 ABC 中 A 30 B 45 AC 2 求 AB 的长 3 4 如图所示 在 ABC 中 已知 AB 13cm AC 5cm BC 边上的中线 AD 6 cm 求 BC 2 5 如图 在四边形 ABCD 中 AB BC CD DA 2 2 3 1 且 ABC 90 求 DAB 的度数 专题三专题三 勾股定理中的分类讨论思想勾股定理中的分类讨论思想 6 在等腰 ABC 中 A 30 AB 8 则 AB 边上的高 CD 的长是 7 在 ABC 中 AB 15 AC 13 高 AD 12 则 ABC 的周长为 3 8 在 ABC 中 AB 2 AC 4 BC 2 以 AB 为边向 ABC 外作 ABD 使 5 ABD 为等腰直角三角形 求线段 CD 的长 状元笔记状元笔记 知识要点知识要点 1 勾股定理 如果直角三角形的两直角边分别为 a b 斜边为 c 那么 222 abc 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边 a b c 满足 那么这个三角形是直角三角形 222 abc 温馨提示温馨提示 在直角三角形中知道任意两边都可以利用勾股定理求出第三边 方法技巧方法技巧 1 当图形中没有直角三角形时 有时可以通过作高构造直角三角形 2 判定一个三角形是直角三角形有两种方法 借助三角形内角和求出一个角是直角 利用勾股定理的逆定理 4 参考答案参考答案 1 C 解析 由折叠可知 BD BA 6 DE AE BC 3 CD BC 3 BE DE AE 由 勾股定理可得 AC 设 DE AE BE x 在 Rt BCE 中 32 x2 解得3 3 2 3 3x x 即 DE 的长度为 2 32 3 2 解析 因 A 30 B 90 BC 6 米 所以 AC 12 米 设当 AE 为 x 时 所以 14 3 EC 12 x 由 DC AE BC 及 DC2 DE2 EC2 所以有 22 12 x 222 2 x2 36 解得 x 14 3 3 解 过 C 作 CD AB 于 D ADC BDC 90 B 45 BCD B 45 CD BD A 30 AC 2 3 CD 3 BD CD 3 由勾股定理得 AD 3 22 ACCD AB AD BD 3 3 答 AB 的长是 3 3 4 解 延长 AD 到 E 使 DE AD 连接 BE 在 ADC 与 EDB 中 AD ED ADC EDB CD BD ADC EDB EB AC 5cm 在 AEB 中 AB 13cm EB 5 cm AE 2AD 12 cm 222 ABEBAE E 90 在 Rt BED 中 由勾股定理得 22 61BDEBDE BC 2BD 2cm 61 5 5 解 连结 AC 设 AB BC CD DA 分别为 2x 2x 3x x 则 222222 8 9ACxADx CDx 222 ACADCD DAC 90 DAB 90 45 135 6 或 4或 4 解析 1 如图 当 AB AC 时 4 3 3 3 A 30 CD AC 8 4 1 2 1 2 2 如图 当 AB BC 时 则 A ACB 30 ACD 60 BCD 30 BD 1 4 2 BC CD 4 22 BCBD 3 3 如图 当 AC BC 时 则 AD 4 设 CD x 则 AC 2x 则 解得 x 222 2 4xx 4 3 3 故答案为或 4或 4 4 3 3 3 6 7 42 或 32 解析 当 ABC 是锐角三角形时 如图 根据勾股定理可得 BD 9 DC 5 BC 14 此时当 ABC 的周长为 15 13 14 42 当 ABC 是钝角三角形时 如图 根据勾股定理可得 BD 9 DC 5 BC 9 5 4 此 时当 ABC 的周长为 15 13 4 32 8 解 AC 4 BC 2 AB 2 5 AC2 BC2 AB2 ACB 为直角三角形 ACB 90 分三种情况如图 1 过点 D 作 DE CB 垂足为点 E 易证 ACB BED 易求 CD 210 如图 2 过点 D 作 DE CA 垂足为点 E 易证 ACB DEA 易求 CD 2 13 如图 3 过点 D 作 DE CB 垂足为点 E 过点 A 作 AF DE 垂足为点 F 易证 AFD DEB 易求 CD 3 2 CD 的长为 2或 2或 3 10132 7 14 2 勾股定理的应用勾股定理的应用 专题专题 最短路径的探究最短路径的探究 1 编制一个底面周长为 a 高为 b 的圆柱形花柱架 需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干 根 如图中的 A1C1B1 A2C2B2 则每一根这样的竹条的长度最少是 2 请阅读下列材料 问题 如图 2 一圆柱的底面半径为 5 dm 高为 BC 是底面直径 求一只蚂蚁从 A 点出发沿圆柱表面爬行到点 C 的最短路线 小明设计了两条路线 路线路线 1 1 侧面展开图中的线段 AC 如下图 2 所示 设路线 1 的长度为 则 1 l 222222 2 1 2525 5 5 ACABACl 路线路线 2 2 高线 AB 底面直径 BC 如上图 1 所示 设路线 2 的长度为 则 2 l225 105 22 2 2 ACABl 0 8 25200252252525 22 2 2 2 1 ll 2 2 2 1 ll 21 ll 所以要选择路线 2 较短 1 小明对上述结论有些疑惑 于是他把条件 改成 圆柱的底面半径为 1dm 高 AB 为 5dm 继续按前面的路线进行计算 请你帮小明完成 下面的计算 路线 1 2 2 1 ACl 路线 2 2 2 2 ACABl 比较两个正数的大 小 有时用它们的 平方来比较更方便 哦 8 2 2 2 1 ll 填 或 21 l l 所以应选择路线 填 1 或 2 较短 2 请你帮小明继续研究 在一般情况下 当圆柱的底面半径为 r 高为 h 时 应如何选择 上面的两条路线才能使蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到 C 点的路线最短 3 探究活动有一圆柱形食品盒 它的高等于 8cm 底面直径为cm 蚂蚁爬行的速度为 18 2cm s 1 如果在盒内下底面的 A 处有一只蚂蚁 它想吃到盒内对面中部点 B 处的食物 那么 它至少需要多少时间 盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计 结果可含根号 2 如果在盒外下底面的 A 处有一只蚂蚁 它想吃到盒内对面中部点 B 处的食物 那么 它至少需要多少时间 盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计 9 参考答案参考答案 1 解析 底面周长为 a 高为 b 的圆柱形花柱架 如图每一根这样的竹条 22 ab 的长度最少是 22 ab 2 解 1 路线 1 l12 AC2 25 2 路线 2 l22 AB BC 2 49 l12 l22 l1 l2 选择路线 1 较短 2 l12 AC2 AB2 2 h2 r 2 l22 AB BC 2 h 2r 2 BC l12 l22 h2 r 2 h 2r 2 r 2r 4r 4h r 2 4 r 4h r 恒大于 0 只需看后面的式子即可 当 r 时 l12 l22 2 4 4 h 当 r 时 l12 l22 2 4 4 h 当 r 时 l12 l22 2 4 4 h 3 解 1 如图 AC 2 9