三角恒等变换的常见技巧

三角恒等变换的常见技巧三角恒等变换的常见技巧 注 有注 有 的内容选看 的内容选看 一 教学内容 一 教学内容 三角恒等变换的常见技巧 二 学习目标二 学习目标 1 掌握引入辅助角的技巧 2 掌握常见的拆 拼角技巧 3 掌握公式的变用 逆用技巧 4 掌握三角对等式 齐次式的处理技巧 5 掌握弦切互化 异名化同名 异次化同次 异角化同角等变形技巧 三 知识要点三 知识要点 1 三角恒等变换中的 统一 思想 三角恒等变换的主要目的是异名化同名 异次化同 次 异角化同角 异构化同构 即化异为同 也就是将待证式左右两边统一为一个形式 或将条件中的角 函数式表达为问题中的角或函数式 达到以已知表达未知的目的 基本 切入点是统一角 往往从统一角入手便能全面达到化异为同的目的 2 统一思想的应用 引入辅助角 对 xbxaycossin 型函数式的性质的研究 我们常常引入辅助角 即化a b xbaxbxay tan sin cossin 22 然 后将该式与基本三角函数 xAsiny 进行比照研究 位置相同 地位平等 是处理原则 3 统一思想的应用 拆 拼角 如 2 2 等等 4 统一思想的应用 弦切互化 如利用万能公式 把正余弦化为正切等等 对关于正 余弦函数的齐次式的处理也属于 弦化切 技巧 5 统一思想的应用 公式变 逆用 主要做法是将三角函数式或其一部分整理成公式 的一部分 然后利用公式的这一部分与另一部分的等量关系代入 6 代换思想的应用 关于正余弦对等式的处理 常以 2 1t xcosxsin txcosxsin 2 代入 把函数式化为关于 t 的函数式进行研究 另外 三 角代换也是处理函数最值 值域等问题的重要技巧 四 考点解析与典型例题四 考点解析与典型例题 考点一考点一 引入辅助角研究三角函数的性质引入辅助角研究三角函数的性质 例 1 设 f x asin x bcos x 0 ba 的周期为 且最大值 f 12 4 1 求 a b 的值 2 若 为 f x 0 的两个根 终边不共线 求 tan 的值 解解 1 a b xbaxf tan sin 22 则 32b 2a 2 3 a b tan 2 1 12 sin 2 4ba 4ba 12 f x f x f 22 22 max 周期为 由上可知 3 2sin 4 xxf 令263 20 k xkxxf 因为 终边不共线 故3 3 tan 2 12 3 k 考点二考点二 拆 拼角拆 拼角 例 2 已知 cos 9 1 2 sin 2 3 2 且 2 0 2 求 2 cos 分析分析 观察已知角和所求角 可作出 2 2 2 的配凑角变换 然后利用余弦的差角公式求角 解解 27 57 3 2 9 54 3 5 9 1 2 2 cos 2 cos 3 5 1 2 cos 9 54 1 2 sin 224 24 2 0 2 3 2 9 1 2 2 27 57 3 2 9 54 3 5 9 1 2 2 cos 2 cos 3 5 1 2 cos 9 54 1 2 sin 224 24 2 0 2 3 2 9 1 2 2 27 57 3 2 9 54 3 5 9 1 2 2 cos 2 cos 3 5 1 2 cos 9 54 1 2 sin 224 24 2 0 2 3 2 9 1 2 2 考点三考点三 化弦为切化弦为切 例 3 当 0 4 x 时 函数 2 2 cos cos sinsin x f x xxx 的最小值是 A 4 B 1 2 C 2 D 1 4 解析解析 注意到函数的表达式的分子与分母是关于sin x与cosx的齐二次式 所以 分子与分母同时除以 2 cos x转化为关于tan x的函数进行求解 因为 0 4 x 所以 1xtan0 所以 22 11 4 tantan 11 tan 24 f x xx x 故选 A 考点四考点四 巧用公式巧用公式 例例 4 求 28tan17tan28tan17tan 的值 解解 原式 1 28tan17tan 28tan17tan1 45tan 28tan17tan 28tan17tan1 2817tan 1 28tan17tan 28tan17tan1 45tan 28tan17tan 28tan17tan1 2817tan 说明说明 对于两个角的正切的三角函数的和与积的形式的求值问题 通常利用 tantan1 tantan tan 的变形式 tantan1 tan tantan 考点五考点五 1 的拆变的拆变 例 5 已知 tan2 4 求 2 1 2sincoscos 的值 分析分析 由已知易求得tan 的值 而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正 余弦函数且各式都为二次式 而分子是常数 1 可将 1 化为 22 sincos 再利用同角 三角函数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解 解解 由 1tan tan2 41tan 得 1 tan 3 于是原式 222 2 sincostan12 2sincoscos2tan13 说明说明 对于题中所给三角式中的常数 如 23 13 23 等 比照特殊角的三角 函数值 将它们化为相应的三角函数 如 xxxxcottan 4 tancossin1 22 等 参 与其它三角函数的运算 在解题中往往起着十分奇妙的作用 考点六考点六 三角代换三角代换 例 6 已知正数 1 21 ba ba 求 minba 解解 223 cos sin2 sin cos 3 cos cos sin2 sin cossin cos 2 sin 1 cos 2 sin 1 2 2 2 2 2 22 2 22 22 22 x x x x x xx x xx xx bax b x a 说明说明 本题解题方法十分丰富 以下方法仅供参考 法一 223 2 3 21 1 a b b a ba bababa 法二 设 bxaxba 代入条件式 解出2 2 b bb x 然后利用数形结合或函 数最值求解方法或利用求导方法或利用不等式知识求解 法三 由条件式解出2 b b a 代入2 2 b bb ba 下同法二 五 数学思想方法五 数学思想方法 三角函数式恒等变形是三角函数最重要的学习内容 无论是研究三角函数式的性质 或是三角函数式的化简 求值和证明 都需要对三角函数式进行恒等变形 方法和技巧十 分丰富 其中也蕴含着数形结合 化归 函数与方程 换元 等量代换 图形变换等诸多 思想方法 学习中要注意对典型题型和典型方法进行总结整理 加强对数学思想方法的培 养和训练 以及对数学思维品质的培养和训练 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 函数 y cos4x sin4x 的最小正周期是 A 2 B C 2 D 4 2 对任意的锐角 下列不等关系中正确的是 A sin sin sin B sin cos cos C cos sin sin D cos cos cos 3 已知 2 sin 5 3 则 tan 4 等于 A 7 1 B 7 C 7 1 D 7 4 10cos2 70sin3 2 A 1 2 B 2 2 C 2 D 3 2 5 已知tan 2 则 22 sinsincos2cos A 4 3 B 5 4 C 3 4 D 4 5 6 若 cos22 2 sin 4 则cos sin 的值为 A 7 2 B 1 2 C 1 2D 7 2 7 已知 ABC 中 12 cot 5 A 则cos A A 12 13 B 5 13 C 5 13 D 12 13 二 填空题 8 tan10 tan20 3 tan10 tan20 的值为 9 函数 2 2cossin2yxx 的最小值是 三 解答题 10 化简 50sin 10cos 310 tan 11 已知