初一数学压轴题

第 1 页 共 33 页 一 解答题 共一 解答题 共 19 小题 小题 1 2013 扬州 如果 10b n 那么 b 为 n 的劳格数 记为 b d n 由定义可知 10b n 与 b d n 所表示的 b n 两个量之间的同一关系 1 根据劳格数的定义 填空 d 10 d 10 2 2 劳格数有如下运算性质 若 m n 为正数 则 d mn d m d n d d m d n 根据运算性质 填空 a 为正数 若 d 2 0 3010 则 d 4 d 5 d 0 08 3 如表中与数 x 对应的劳格数 d x 有且只有两个是错误的 请找出错误的劳格数 说明理由并改正 x1 5356891227 d x 3a b c2a b a c 1 a b c3 3a 3c4a 2b3 b 2c6a 3b 2 2012 安庆一模 先阅读下列材料 再解答后面的问题 一般地 若 an b a 0 且 a 1 b 0 则 n 叫做以 a 为底 b 的对数 记为 logab 即 logab n 如 34 81 则 4 叫做 以 3 为底 81 的对数 记为 log381 即 log381 4 1 计算以下各对数的值 log24 log216 log264 2 观察 1 中三数 4 16 64 之间满足怎样的关系式 log24 log216 log264 之间又满足怎样的关系式 3 猜想一般性的结论 logaM logaN a 0 且 a 1 M 0 N 0 并根据幂的运算法则 am an am n以及对数的含义证明你的猜想 3 2012 沈阳模拟 认真阅读材料 然后回答问题 我们初中学习了多项式的运算法则 相应的 我们可以计算出多项式的展开式 如 a b 1 a b a b 2 a2 2ab b2 a b 3 a b 2 a b a3 3a2b 3ab2 b3 下面我们依次对 a b n展开式的各项系数进一步研究发现 当 n 取正整数时可以单独列成表中的形式 上面的多项式展开系数表称为 杨辉三角形 仔细观察 杨辉三角形 用你发现的规律回答下列问题 1 多项式 a b n的展开式是一个几次几项式 并预测第三项的系数 2 请你预测一下多项式 a b n展开式的各项系数之和 3 结合上述材料 推断出多项式 a b n n 取正整数 的展开式的各项系数之和为 S 结果用含字母 n 的代数 式表示 4 2009 佛山 阅读材料 把形如 ax2 bx c 的二次三项式 或其一部分 配成完全平方式的方法叫做配方法 配方 法的基本形式是完全平方公式的逆写 即 a2 2ab b2 a b 2 第 2 页 共 33 页 例如 x 1 2 3 x 2 2 2x x 2 2 x2是 x2 2x 4 的三种不同形式的配方 即 余项 分别是常数项 一次项 二次项 见横线上的部分 请根据阅读材料解决下列问题 1 比照上面的例子 写出 x2 4x 2 三种不同形式的配方 2 将 a2 ab b2配方 至少两种形式 3 已知 a2 b2 c2 ab 3b 2c 4 0 求 a b c 的值 5 2007 东营 根据以下 10 个乘积 回答问题 11 29 12 28 13 27 14 26 15 25 16 24 17 23 18 22 19 21 20 20 1 试将以上各乘积分别写成一个 2 2 两数平方差 的形式 并写出其中一个的思考过程 2 将以上 10 个乘积按照从小到大的顺序排列起来 3 若用 a1b1 a2b2 anbn 表示 n 个乘积 其中 a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn为正数 试由 1 2 猜测一个一般性的结论 不要求证明 6 2006 浙江 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差 那么称这个正整数为 神秘数 如 4 22 02 12 42 22 20 62 42 因此 4 12 20 都是 神秘数 1 28 和 2012 这两个数是 神秘数 吗 为什么 2 设两个连续偶数为 2k 2 和 2k 其中 k 取非负整数 由这两个连续偶数构造的神秘数是 4 的倍数吗 为什么 3 两个连续奇数的平方差 k 取正数 是神秘数吗 为什么 8 2015 于洪区一模 如图 1 在 ABC 中 ACB 为锐角 点 D 为射线 BC 上一点 连接 AD 以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF 1 如果 AB AC BAC 90 当点 D 在线段 BC 上时 与点 B 不重合 如图 2 线段 CF BD 所在直线的位置关系为 线段 CF BD 的数量关系为 当点 D 在线段 BC 的延长线上时 如图 3 中的结论是否仍然成立 并说明理由 2 如果 AB AC BAC 是锐角 点 D 在线段 BC 上 当 ACB 满足什么条件时 CF BC 点 C F 不重合 并 说明理由 9 2015 菏泽 如图 已知 ABC 90 D 是直线 AB 上的点 AD BC 1 如图 1 过点 A 作 AF AB 并截取 AF BD 连接 DC DF CF 判断 CDF 的形状并证明 第 3 页 共 33 页 2 如图 2 E 是直线 BC 上一点 且 CE BD 直线 AE CD 相交于点 P APD 的度数是一个固定的值吗 若是 请求出它的度数 若不是 请说明理由 10 2015 铁岭一模 已知 ABC 中 BD CE 分别是 AC AB 边上的高 BQ AC 点 F 在 CE 的延长线上 CF AB 求证 AF AQ 11 2013 庐阳区校级模拟 如图 将两个全等的直角三角形 ABD ACE 拼在一起 图 1 ABD 不动 1 若将 ACE 绕点 A 逆时针旋转 连接 DE M 是 DE 的中点 连接 MB MC 图 2 证明 MB MC 2 若将图 1 中的 CE 向上平移 CAE 不变 连接 DE M 是 DE 的中点 连接 MB MC 图 3 判断并直接写 出 MB MC 的数量关系 3 在 2 中 若 CAE 的大小改变 图 4 其他条件不变 则 2 中的 MB MC 的数量关系还成立吗 说明理 由 12 2012 昌平区模拟 1 如图 在四边形 ABCD 中 AB AD B D 90 E F 分别是边 BC CD 上的点 且 EAF BAD 求证 EF BE FD 第 4 页 共 33 页 2 如图 在四边形 ABCD 中 AB AD B D 180 E F 分别是边 BC CD 上的点 且 EAF BAD 1 中的结论是否仍然成立 3 如图 在四边形 ABCD 中 AB AD B ADC 180 E F 分别是边 BC CD 延长线上的点 且 EAF BAD 1 中的结论是否仍然成立 若成立 请证明 若不成立 请写出它们之间的数量关系 并证明 13 2011 泰安 已知 在 ABC 中 AC BC ACB 90 点 D 是 AB 的中点 点 E 是 AB 边上一点 1 直线 BF 垂直于直线 CE 于点 F 交 CD 于点 G 如图 1 求证 AE CG 2 直线 AH 垂直于直线 CE 垂足为点 H 交 CD 的延长线于点 M 如图 2 找出图中与 BE 相等的线段 并证 明 14 2005 扬州 本题有 3 小题 第 1 小题为必答题 满分 5 分 第 2 3 小题为选答题 其中 第 2 小题满分 3 分 第 3 小题满分 6 分 请从中任选 1 小题作答 如两题都答 以第 2 小题评分 在 ABC 中 ACB 90 AC BC 直线 MN 经过点 C 且 AD MN 于 D BE MN 于 E 1 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时 求证 ADC CEB DE AD BE 2 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时 求证 DE AD BE 3 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时 试问 DE AD BE 具有怎样的等量关系 请写出这个等量关系 并 加以证明 注意 第 2 3 小题你选答的是第 2 小题 第 5 页 共 33 页 15 2012 淮安 阅读理解 如图 1 ABC 中 沿 BAC 的平分线 AB1折叠 剪掉重复部分 将余下部分沿 B1A1C 的平分线 A1B2折叠 剪掉重 复部分 将余下部分沿 BnAnC 的平分线 AnBn 1折叠 点 Bn与点 C 重合 无论折叠多少次 只要最后一次恰好 重合 BAC 是 ABC 的好角 小丽展示了确定 BAC 是 ABC 的好角的两种情形 情形一 如图 2 沿等腰三角形 ABC 顶角 BAC 的平分线 AB1 折叠 点 B 与点 C 重合 情形二 如图 3 沿 BAC 的平分线 AB1折叠 剪掉重复部分 将余下部分沿 B1A1C 的平 分线 A1B2折叠 此时点 B1与点 C 重合 探究发现 1 ABC 中 B 2 C 经过两次折叠 BAC 是不是 ABC 的好角 填 是 或 不是 2 小丽经过三次折叠发现了 BAC 是 ABC 的好角 请探究 B 与 C 不妨设 B C 之间的等量关系 根据以 上内容猜想 若经过 n 次折叠 BAC 是 ABC 的好角 则 B 与 C 不妨设 B C 之间的等量关系为 应用提升 3 小丽找到一个三角形 三个角分别为 15 60 105 发现 60 和 105 的两个角都是此三角形的好角 请你完成 如果一个三角形的最小角是 4 试求出三角形另外两个角的度数 使该三角形的三个角均是此三角形的好 角 16 2011 房山区一模 已知 等边三角形 ABC 1 如图 1 P 为等边 ABC 外一点 且 BPC 120 试猜想线段 BP PC AP 之间的数量关系 并证明你的猜想 2 如图 2 P 为等边 ABC 内一点 且 APD 120 求证 PA PD PC BD 17 2010 丹东 如图 已知等边三角形 ABC 中 点 D E F 分别为边 AB AC BC 的中点 M 为直线 BC 上一 动点 DMN 为等边三角形 点 M 的位置改变时 DMN 也随之整体移动 1 如图 1 当点 M 在点 B 左侧时 请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系 点 F 是否在直线 NE 上 都请直接写 出结论 不必证明或说明理由 2 如图 2 当点 M 在 BC 上时 其它条件不变 1 的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立 若成立 请利 用图 2 证明 若不成立 请说明理由 3 若点 M 在点 C 右侧时 请你在图 3 中画出相应的图形 并判断 1 的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然 成立 若成立 请直接写出结论 不必证明或说明理由 第 6 页 共 33 页 18 2006 西岗区 如图 以 ABC 的边 AB AC 为直角边向外作等腰直角 ABE 和 ACD M 是 BC 的中点 请你 探究线段 DE 与 AM 之间的关系 说明 1 如果你经历反复探索 没有找到解决问题的方法 请你把探索过程中的某种思路写出来 要求至少写 3 步 2 在你经历说明 1 的过程之后 可以从下列 中选取一个补充或更换已知条件 完成你的证明 画出将 ACM 绕某一点顺时针旋转 180 后的图形 BAC 90 如图 附加题 如图 若以 ABC 的边 AB AC 为直角边 向内作等腰直角 ABE 和 ACD 其它条件不变 试探究线段 DE 与 AM 之间的关系 19 2006 大连 如图 1 Rt ABC 中 AB AC 点 D E 是线段 AC 上两动点 且 AD EC AM 垂直 BD 垂足为 M AM 的延长线交 BC 于点 N 直线 BD 与直线 NE 相交于点 F 试判断 DEF 的形状 并加以证明 说明 1 如果你经历反复探索 没有找到解决问题的方法 请你把探索过程中的某种思路写出来 要求至少写 3 步 2 在你经历说明 1 的过程之后 可以从下列 中选取一个补充或者更换已知条件 完成你的证明 1 画出将 BAD 沿 BA 方向平移 BA 长 然后顺时针旋转 90 后图形 2 点 K 在线段 BD 上 且四边形 AKNC 为等腰梯形 AC KN 如图 2 附加题 如图 3 若点 D E 是直线 AC 上两动点 其他条件不变 试判断 DEF 的形状 并说明理由 第 7 页 共 33 页 第 8 页 共 33 页 2016 年年 06 月月 26 日日 842051969 的初中数学组卷的初中数学组卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 19 小题 小题 1 2013 扬州 如果 10b n 那么 b 为 n 的劳格数 记为 b d n 由定义可知 10b n 与 b d n 所表示的 b n 两个量之间的同一关系 1 根据劳格数的定义 填空 d 10 1 d 10 2 2 2 劳格数有如下运算性质 若 m n 为正数 则 d mn d m d n d d m d n 根据运算性质 填空 3 a 为正数 若 d 2 0 3010 则 d 4 0 6020 d 5 0 6990 d 0 08 1 0970 3 如表中与数 x 对应的劳格数 d x 有且只有两个是错误的 请找出错误的劳格数 说明理由并改正 x1 5356891227 d x 3a b c2a b a c 1 a b c3 3a 3c4a 2b3 b 2c6a 3b 考点 整式的混合运算 反证法 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 1 根据定义可知 d 10 和 d 10 2 就是指 10 的指数 据此即可求解 2 根据 d a3 d a a a d a d a d a 即可求得的值 3 通过 9 32 27 33 可以判断 d 3 是否正确 同理以依据 5 10 2 假设 d 5 正确 可以求得 d 2 的值 即可通过 d 8 d 12 作出判断 解答 解 1 d 10 1 d 10 2 2 故答案为 1 2 2 3 因为 d 2 0 3010 故 d 4 d 2 d 2 0 6020 d 5 d 10 d 2 1 0 3010 0 6990 d 0 08 d 8 10 2 3d 2 d 10 2 1 0970 第 9 页 共 33 页 3 若 d 3 2a b 则 d 9 2d 3 4a 2b d 27 3d 3 6a 3b 从而表中有三个劳格数是错误的 与题设矛盾 d 3 2a b 若 d 5 a c 则 d 2 1 d 5 1 a c d 8 3d 2 3 3a 3c d 6 d 3 d 2 1 a b c 表中也有三个劳格数是错误的 与题设矛盾 d 5 a c 表中只有 d 1 5 和 d 12 的值是错误的 应纠正为 d 1 5 d 3 d 5 1 3a b c 1 d 12 d 3 2d 2 2 b 2c 点评 本题考查整式的运算 正确理解规定的新的运算法则是关键 2 2012 安庆一模 先阅读下列材料 再解答后面的问题 一般地 若 an b a 0 且 a 1 b 0 则 n 叫做以 a 为底 b 的对数 记为 logab 即 logab n 如 34 81 则 4 叫做 以 3 为底 81 的对数 记为 log381 即 log381 4 1 计算以下各对数的值 log24 2 log216 4 log264 6 2 观察 1 中三数 4 16 64 之间满足怎样的关系式 log24 log216 log264 之间又满足怎样的关系式 3 猜想一般性的结论 logaM logaN loga MN a 0 且 a 1 M 0 N 0 并根据幂的运算法则 am an am n以及对数的含义证明你的猜想 考点 同底数幂的乘法 菁优网版权所有 专题 压轴题 新定义 分析 1 根据材料叙述 结合 22 4 24 16 26 64 即可得出答案 2 根据 1 的答案可得出 log24 log216 log264 之间满足的关系式 3 设 logaM b1 logaN b2 则 ab1 M ab2 N 分别表示出 MN 及 b1 b2的值 即可得出猜想 解答 解 1 log24 2 log216 4 log264 6 2 log24 log216 log264 3 猜想 logaM logaN loga MN 证明 设 logaM b1 logaN b2 则 ab1 M ab2 N 故可得 MN ab1 ab2 ab1 b2 b1 b2 loga MN 即 logaM logaN loga MN 点评 本题考查了同底数幂的乘法运算 题目出得比较新颖 解题思路以材料的形式给出 需要同学们仔细阅读 理解并灵活运用所给的信息 第 10 页 共 33 页 3 2012 沈阳模拟 认真阅读材料 然后回答问题 我们初中学习了多项式的运算法则 相应的 我们可以计算出多项式的展开式 如 a b 1 a b a b 2 a2 2ab b2 a b 3 a b 2 a b a3 3a2b 3ab2 b3 下面我们依次对 a b n展开式的各项系数进一步研究发现 当 n 取正整数时可以单独列成表中的形式 上面的多项式展开系数表称为 杨辉三角形 仔细观察 杨辉三角形 用你发现的规律回答下列问题 1 多项式 a b n的展开式是一个几次几项式 并预测第三项的系数 2 请你预测一下多项式 a b n展开式的各项系数之和 3 结合上述材料 推断出多项式 a b n n 取正整数 的展开式的各项系数之和为 S 结果用含字母 n 的代数 式表示 考点 完全平方公式 菁优网版权所有 专题 压轴题 阅读型 规律型 分析 1 由题意可求得当 n 1 2 3 4 时 多项式 a b n的展开式是一个几次几项式 第三项的系数是多 少 然后找规律 即可求得答案 2 首先求得当 n 1 2 3 4 时 多项式 a b n展开式的各项系数之和 即可求得答案 3 结合 2 即可推断出多项式 a b n n 取正整数 的展开式的各项系数之和 解答 解 1 当 n 1 时 多项式 a b 1的展开式是一次二项式 此时第三项的系数为 0 当 n 2 时 多项式 a b 2的展开式是二次三项式 此时第三项的系数为 1 当 n 3 时 多项式 a b 3的展开式是三次四项式 此时第三项的系数为 3 当 n 4 时 多项式 a b 4的展开式是四次五项式 此时第三项的系数为 6 多项式 a b n的展开式是一个 n 次 n 1 项式 第三项的系数为 2 预测一下多项式 a b n展开式的各项系数之和为 2n 3 当 n 1 时 多项式 a b 1展开式的各项系数之和为 1 1 2 21 当 n 2 时 多项式 a b 2展开式的各项系数之和为 1 2 1 4 22 当 n 3 时 多项式 a b 3展开式的各项系数之和为 1 3 3 1 8 23 当 n 4 时 多项式 a b 4展开式的各项系数之和为 1 4 6 4 1 16 24 多项式 a b n展开式的各项系数之和 S 2n 点评 此题属于规律性 阅读性题目 此题难度较大 由特殊到一般的归纳方法的应用是解此题的关键 第 11 页 共 33 页 4 2009 佛山 阅读材料 把形如 ax2 bx c 的二次三项式 或其一部分 配成完全平方式的方法叫做配方法 配方 法的基本形式是完全平方公式的逆写 即 a2 2ab b2 a b 2 例如 x 1 2 3 x 2 2 2x x 2 2 x2是 x2 2x 4 的三种不同形式的配方 即 余项 分别是常数项 一次项 二次项 见横线上的部分 请根据阅读材料解决下列问题 1 比照上面的例子 写出 x2 4x 2 三种不同形式的配方 2 将 a2 ab b2配方 至少两种形式 3 已知 a2 b2 c2 ab 3b 2c 4 0 求 a b c 的值 考点 完全平方公式 菁优网版权所有 专题 压轴题 阅读型 分析 1 2 本题考查对完全平方公式的灵活应用能力 由题中所给的已知材料可得 x2 4x 2 和 a2 ab b2的配方 也可分别常数项 一次项 二次项三种不同形式 3 通过配方后 求得 a b c 的值 再代入代数式求值 解答 解 1 x2 4x 2 的三种配方分别为 x2 4x 2 x 2 2 2 x2 4x 2 x 2 2 4 x x2 4x 2 x 2 x2 2 a2 ab b2 a b 2 ab a2 ab b2 a b 2 b2 3 a2 b2 c2 ab 3b 2c 4 a2 ab b2 b2 3b 3 c2 2c 1 a2 ab b2 b2 4b 4 c2 2c 1 a b 2 b 2 2 c 1 2 0 从而有 a b 0 b 2 0 c 1 0 即 a 1 b 2 c 1 a b c 4 点评 本题考查了根据完全平方公式 a2 2ab b2 a b 2进行配方的能力 第 12 页 共 33 页 5 2007 东营 根据以下 10 个乘积 回答问题 11 29 12 28 13 27 14 26 15 25 16 24 17 23 18 22 19 21 20 20 1 试将以上各乘积分别写成一个 2 2 两数平方差 的形式 并写出其中一个的思考过程 2 将以上 10 个乘积按照从小到大的顺序排列起来 3 若用 a1b1 a2b2 anbn表示 n 个乘积 其中 a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn为正数 试由 1 2 猜测一个一般性的结论 不要求证明 考点 平方差公式 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 利用两数的和与这两数的差的积 就是它们的平方差 如 11 29 可想几加几等于 29 几减几等于 11 可得 20 9 和 20 9 可得 11 29 202 92 同理思考其它的 解答 解 1 11 29 202 92 12 28 202 82 13 27 202 72 14 26 202 62 15 25 202 52 16 24 202 42 17 23 202 32 18 22 202 22 19 21 202 12 20 20 202 02 4 分 例如 11 29 假设 11 29 2 2 因为 2 2 所以 可以令 11 29 解得 20 9 故 11 29 202 92 5 分 或 11 29 20 9 20 9 202 92 5 分 2 这 10 个乘积按照从小到大的顺序依次是 11 29 12 28 13 27 14 26 15 25 16 24 17 23 18 22 19 21 20 20 7 分 3 若 a b 40 a b 是自然数 则 ab 202 400 8 分 若 a b 40 则 ab 202 400 8 分 若 a b m a b 是自然数 则 ab 9 分 若 a b m 则 ab 9 分 若 a1 b1 a2 b2 a3 b3 an bn 40 且 a1 b1 a2 b2 a3 b3 an bn 则 a1b1 a2b2 a3b3 anbn 10 分 第 13 页 共 33 页 若 a1 b1 a2 b2 a3 b3 an bn m 且 a1 b1 a2 b2 a3 b3 an bn 则 a1b1 a2b2 a3b3 anbn 10 分 说明 给出结论 或 之一的得 1 分 给出结论 或 之一的得 2 分 给出结论 或 之一的得 3 分 点评 此题主要考查了乘法的平方差公式 即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差 这个公式就 叫做乘法的平方差公式 6 2006 浙江 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差 那么称这个正整数为 神秘数 如 4 22 02 12 42 22 20 62 42 因此 4 12 20 都是 神秘数 1 28 和 2012 这两个数是 神秘数 吗 为什么 2 设两个连续偶数为 2k 2 和 2k 其中 k 取非负整数 由这两个连续偶数构造的神秘数是 4 的倍数吗 为什么 3 两个连续奇数的平方差 k 取正数 是神秘数吗 为什么 考点 平方差公式 菁优网版权所有 专题 压轴题 新定义 分析 1 试着把 28 2012 写成平方差的形式 解方程即可判断是否是神秘数 2 化简两个连续偶数为 2k 2 和 2k 的差 再判断 3 设两个连续奇数为 2k 1 和 2k 1 则 2k 1 2 2k 1 2 8k 4 2k 即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘 数 解答 解 1 设 28 和 2012 都是 神秘数 设 28 是 x 和 x 2 两数的平方差得到 则 x2 x 2 2 28 解得 x 8 x 2 6 即 28 82 62 设 2012 是 y 和 y 2 两数的平方差得到 则 y2 y 2 2 2012 解得 y 504 y 2 502 即 2012 5042 5022 所以 28 2012 都是神秘数 2 2k 2 2 2k 2 2k 2 2k 2k 2 2k 4 2k 1 由 2k 2 和 2k 构造的神秘数是 4 的倍数 且是奇数倍 第 14 页 共 33 页 3 设两个连续奇数为 2k 1 和 2k 1 则 2k 1 2 2k 1 2 8k 4 2k 即 两个连续奇数的平方差是 4 的倍数 是偶数倍 不满足连续偶数的神秘数为 4 的奇数倍这一条件 两个连续奇数的平方差不是神秘数 点评 此题首先考查了阅读能力 探究推理能力 对知识点的考查 主要是平方差公式的灵活应用 7 2007 淄博 根据以下 10 个乘积 回答问题 11 29 12 28 13 27 14 26 15 25 16 24 17 23 18 22 19 21 20 20 1 试将以上各乘积分别写成一个 2 2 两数平方差 的形式 并写出其中一个的思考过程 2 将以上 10 个乘积按照从小到大的顺序排列起来 3 试由 1 2 猜测一个一般性的结论 不要求证明 考点 整式的混合运算 绝对值 菁优网版权所有 专题 压轴题 规律型 分析 1 根据要求求出两数的平均数 再写成平方差的形式即可 2 减去的数越大 乘积就越小 据此规律填写即可 3 根据排列的顺序可得 两数相差越大 积越小 解答 解 1 11 29 202 92 12 28 202 82 13 27 202 72 14 26 202 62 15 25 202 52 16 24 202 42 17 23 202 32 18 22 202 22 19 21 202 12 20 20 202 02 4 分 例如 11 29 假设 11 29 2 2 因为 2 2 所以 可以令 11 29 解得 20 9 故 11 29 202 92 或 11 29 20 9 20 9 202 92 2 这 10 个乘积按照从小到大的顺序依次是 11 29 12 28 13 27 14 26 15 25 16 24 17 23 18 22 19 21 20 20 3 若 a b 40 a b 是自然数 则 ab 202 400 若 a b 40 则 ab 202 400 8 分 若 a b m a b 是自然数 则 ab 第 15 页 共 33 页 若 a b m 则 ab 若 a b 的和为定值 则 ab 的最大值为 若 a1 b1 a2 b2 a3 b3 an bn 40 且 a1 b1 a2 b2 a3 b3 an bn 则 a1b1 a2b2 a3b3 anbn 10 分 若 a1 b1 a2 b2 a3 b3 an bn m 且 a1 b1 a2 b2 a3 b3 an bn 则 a1b1 a2b2 a3b3 anbn 若 a b m a b 差的绝对值越大 则它们的积就越小 说明 给出结论 或 之一的得 1 分 给出结论 或 之一的得 2 分 给出结论 或 之一的得 3 分 点评 本题主要考查整式的混合运算 找出规律是解答本题的关键 8 2015 于洪区一模 如图 1 在 ABC 中 ACB 为锐角 点 D 为射线 BC 上一点 连接 AD 以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF 1 如果 AB AC BAC 90 当点 D 在线段 BC 上时 与点 B 不重合 如图 2 线段 CF BD 所在直线的位置关系为 垂直 线段 CF BD 的数量关系为 相等 当点 D 在线段 BC 的延长线上时 如图 3 中的结论是否仍然成立 并说明理由 2 如果 AB AC BAC 是锐角 点 D 在线段 BC 上 当 ACB 满足什么条件时 CF BC 点 C F 不重合 并 说明理由 考点 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 压轴题 开放型 分析 1 当点 D 在 BC 的延长线上时 的结论仍成立 由正方形 ADEF 的性质可推出 DAB FAC 所以 CF BD ACF ABD 结合 BAC 90 AB AC 得到 BCF ACB ACF 90 即 CF BD 2 当 ACB 45 时 过点 A 作 AG AC 交 CB 的延长线于点 G 则 GAC 90 可推出 ACB AGC 所以 AC AG 由 1 可知 CF BD 解答 证明 1 正方形 ADEF 中 AD AF BAC DAF 90 BAD CAF 第 16 页 共 33 页 又 AB AC DAB FAC CF BD B ACF ACB ACF 90 即 CF BD 当点 D 在 BC 的延长线上时 的结论仍成立 由正方形 ADEF 得 AD AF DAF 90 度 BAC 90 DAF BAC DAB FAC 又 AB AC DAB FAC CF BD ACF ABD BAC 90 AB AC ABC 45 ACF 45 BCF ACB ACF 90 度 即 CF BD 2 当 ACB 45 时 CF BD 如图 理由 过点 A 作 AG AC 交 CB 的延长线于点 G 则 GAC 90 ACB 45 AGC 90 ACB AGC 90 45 45 ACB AGC 45 AC AG DAG FAC 同角的余角相等 AD AF GAD CAF ACF AGC 45 BCF ACB ACF 45 45 90 即 CF BC 点评 本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定 判定两个三角形全等的一般方法有 SSS SAS ASA AAS HL 判定两个三角形全等 先根据已知条件或求证的结论确定三角形 然后再根据三角形 全等的判定方法 看缺什么条件 再去证什么条件 9 2015 菏泽 如图 已知 ABC 90 D 是直线 AB 上的点 AD BC 1 如图 1 过点 A 作 AF AB 并截取 AF BD 连接 DC DF CF 判断 CDF 的形状并证明 2 如图 2 E 是直线 BC 上一点 且 CE BD 直线 AE CD 相交于点 P APD 的度数是一个固定的值吗 若是 请求出它的度数 若不是 请说明理由 第 17 页 共 33 页 考点 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 1 利用 SAS 证明 AFD 和 BDC 全等 再利用全等三角形的性质得出 FD DC 即可判断三角形的形状 2 作 AF AB 于 A 使 AF BD 连结 DF CF 利用 SAS 证明 AFD 和 BDC 全等 再利用全等三角形的性质得 出 FD DC FDC 90 即可得出 FCD APD 45 解答 解 1 CDF 是等腰直角三角形 理由如下 AF AD ABC 90 FAD DBC 在 FAD 与 DBC 中 FAD DBC SAS FD DC CDF 是等腰三角形 FAD DBC FDA DCB BDC DCB 90 BDC FDA 90 CDF 是等腰直角三角形 2 作 AF AB 于 A 使 AF BD 连结 DF CF 如图 AF AD ABC 90 FAD DBC 在 FAD 与 DBC 中 FAD DBC SAS FD DC CDF 是等腰三角形 FAD DBC FDA DCB BDC DCB 90 BDC FDA 90 CDF 是等腰直角三角形 FCD 45 第 18 页 共 33 页 AF CE 且 AF CE 四边形 AFCE 是平行四边形 AE CF APD FCD 45 点评 此题考查了全等三角形的判定与性质的运用 平行四边形的判定及性质的运用 等腰直角三角形的判定及性 质的运用 解答时证明三角形全等是关键 10 2015 铁岭一模 已知 ABC 中 BD CE 分别是 AC AB 边上的高 BQ AC 点 F 在 CE 的延长线上 CF AB 求证 AF AQ 考点 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 证明题 压轴题 分析 首先证明出 ABD ACE 再有条件 BQ AC CF AB 可得 ABQ ACF 进而得到 F BAQ 然后再根 据 F FAE 90 可得 BAQ FAE 90 进而证出 AF AQ 解答 证明 BD CE 分别是 AC AB 边上的高 ADB 90 AEC 90 ABQ BAD 90 BAC ACE 90 ABD ACE 在 ABQ 和 ACF 中 ABQ ACF SAS F BAQ F FAE 90 BAQ FAE 90 AF AQ 第 19 页 共 33 页 点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质 关键是掌握全等三角形的判定方法 以及全等三角形的性质定 理 11 2013 庐阳区校级模拟 如图 将两个全等的直角三角形 ABD ACE 拼在一起 图 1 ABD 不动 1 若将 ACE 绕点 A 逆时针旋转 连接 DE M 是 DE 的中点 连接 MB MC 图 2 证明 MB MC 2 若将图 1 中的 CE 向上平移 CAE 不变 连接 DE M 是 DE 的中点 连接 MB MC 图 3 判断并直接写 出 MB MC 的数量关系 3 在 2 中 若 CAE 的大小改变 图 4 其他条件不变 则 2 中的 MB MC 的数量关系还成立吗 说明理 由 考点 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 证明题 几何综合题 压轴题 分析 1 连接 AM 根据全等三角形的对应边相等可得 AD AE AB AC 全等三角形对应角相等可得 BAD CAE 再根据等腰三角形三线合一的性质得到 MAD MAE 然后利用 边角边 证明 ABM 和 ACM 全等 根据全等三角形对应边相等即可得证 2 延长 DB AE 相交于 E 延长 EC 交 AD 于 F 根据等腰三角形三线合一的性质得到 BD BE 然后求出 MB AE 再根据两直线平行 内错角相等求出 MBC CAE 同理求出 MC AD 根据两直线平行 同位角相等求 出 BCM BAD 然后求出 MBC BCM 再根据等角对等边即可得证 3 延长 BM 交 CE 于 F 根据两直线平行 内错角相等可得 MDB MEF MBD MFE 然后利用 角角边 证 明 MDB 和 MEF 全等 根据全等三角形对应边相等可得 MB MF 然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半证明即可 解答 证明 1 如图 2 连接 AM 由已知得 ABD ACE AD AE AB AC BAD CAE MD ME MAD MAE MAD BAD MAE CAE 即 BAM CAM 在 ABM 和 ACM 中 ABM ACM SAS MB MC 2 MB MC 理由如下 如图 3 延长 DB AE 相交于 E 延长 EC 交 AD 于 F BD BE CE CF M 是 ED 的中点 B 是 DE 的中点 第 20 页 共 33 页 MB AE MBC CAE 同理 MC AD BCM BAD BAD CAE MBC BCM MB MC 3 MB MC 还成立 如图 4 延长 BM 交 CE 于 F CE BD MDB MEF MBD MFE 又 M 是 DE 的中点 MD ME 在 MDB 和 MEF 中 MDB MEF AAS MB MF ACE 90 BCF 90 MB MC 点评 本题考查了全等三角形的判定与性质 等腰三角形三线合一的性质 等角对等边的性质 直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半的性质 以及三角形的中位线定理 综合性较强 但难度不大 作辅助线构造出等腰三角形或 全等三角形是解题的关键 12 2012 昌平区模拟 1 如图 在四边形 ABCD 中 AB AD B D 90 E F 分别是边 BC CD 上的点 且 EAF BAD 求证 EF BE FD 第 21 页 共 33 页 2 如图 在四边形 ABCD 中 AB AD B D 180 E F 分别是边 BC CD 上的点 且 EAF BAD 1 中的结论是否仍然成立 3 如图 在四边形 ABCD 中 AB AD B ADC 180 E F 分别是边 BC CD 延长线上的点 且 EAF BAD 1 中的结论是否仍然成立 若成立 请证明 若不成立 请写出它们之间的数量关系 并证明 考点 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 证明题 压轴题 探究型 分析 1 可通过构建全等三角形来实现线段间的转换 延长 EB 到 G 使 BG DF 连接 AG 目的就是要证明三 角形 AGE 和三角形 AEF 全等将 EF 转换成 GE 那么这样 EF BE DF 了 于是证明两组三角形全等就是解题的关 键 三角形 ABE 和 AEF 中 只有一条公共边 AE 我们就要通过其他的全等三角形来实现 在三角形 ABG 和 AFD 中 已知了一组直角 BG DF AB AD 因此两三角形全等 那么 AG AF 1 2 那么 1 3 2 3 EAF BAD 由此就构成了三角形 ABE 和 AEF 全等的所有条件 SAS 那么就能得出 EF GE 了 2 思路和作辅助线的方法与 1 完全一样 只不过证明三角形 ABG 和 ADF 全等中 证明 ABG ADF 时 用 到的等角的补角相等 其他的都一样 因此与 1 的结果完全一样 3 按照 1 的思路 我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换 就应该在 BE 上截取 BG 使 BG DF 连 接 AG 根据 1 的证法 我们可得出 DF BG GE EF 那么 EF GE BE BG BE DF 所以 1 的结论在 3 的 条件下是不成立的 解答 证明 1 延长 EB 到 G 使 BG DF 连接 AG 第 22 页 共 33 页 ABG ABC D 90 AB AD ABG ADF AG AF 1 2 1 3 2 3 EAF BAD GAE EAF 又 AE AE AEG AEF EG EF EG BE BG EF BE FD 2 1 中的结论 EF BE FD 仍然成立 3 结论 EF BE FD 不成立 应当是 EF BE FD 证明 在 BE 上截取 BG 使 BG DF 连接 AG B ADC 180 ADF ADC 180 B ADF AB AD ABG ADF BAG DAF AG AF BAG EAD DAF EAD EAF BAD GAE EAF AE AE AEG AEF EG EF 第 23 页 共 33 页 EG BE BG EF BE FD 点评 本题考查了三角形全等的判定和性质 本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键 没有明确的 全等三角形时 要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形 13 2011 泰安 已知 在 ABC 中 AC BC ACB 90 点 D 是 AB 的中点 点 E 是 AB 边上一点 1 直线 BF 垂直于直线 CE 于点 F 交 CD 于点 G 如图 1 求证 AE CG 2 直线 AH 垂直于直线 CE 垂足为点 H 交 CD 的延长线于点 M 如图 2 找出图中与 BE 相等的线段 并证 明 考点 全等三角形的判定与性质 等腰直角三角形 菁优网版权所有 专题 几何综合题 压轴题 分析 1 首先根据点 D 是 AB 中点 ACB 90 可得出 ACD BCD 45 判断出 AEC CGB 即可得出 AE CG 2 根据垂直的定义得出 CMA MCH 90 BEC MCH 90 再根据 AC BC ACM CBE 45 得出 BCE CAM 进而证明出 BE CM 解答 1 证明 点 D 是 AB 中点 AC BC ACB 90 CD AB ACD BCD 45 CAD CBD 45 CAE BCG 又 BF CE CBG BCF 90 又 ACE BCF 90 ACE CBG 在 AEC 和 CGB 中 AEC CGB ASA AE CG 2 解 BE CM 证明 CH HM CD ED CMA MCH 90 BEC MCH 90 CMA BEC 第 24 页 共 33 页 又 ACM CBE 45 在 BCE 和 CAM 中 BCE CAM AAS BE CM 点评 本题主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的性质 难度适中 14 2005 扬州 本题有 3 小题 第 1 小题为必答题 满分 5 分 第 2 3 小题为选答题 其中 第 2 小题满分 3 分 第 3 小题满分 6 分 请从中任选 1 小题作答 如两题都答 以第 2 小题评分 在 ABC 中 ACB 90 AC BC 直线 MN 经过点 C 且 AD MN 于 D BE MN 于 E 1 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时 求证 ADC CEB DE AD BE 2 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时 求证 DE AD BE 3 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时 试问 DE AD BE 具有怎样的等量关系 请写出这个等量关系 并 加以证明 注意 第 2 3 小题你选答的是第 2 小题 考点 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 证明题 压轴题 探究型 分析 1 根据已知可利用 AAS 证明 ADC CEB 由此可证 DE AD BE 2 根据已知可利用 AAS 证明 ADC CEB 由此可证 DE AD BE 3 根据已知可利用 AAS 证明 ADC CEB 由此可证 DE BE AD 解答 证明 1 ADC ACB BEC 90 CAD ACD 90 BCE CBE 90 ACD BCE 90 CAD BCE AC BC ADC CEB 第 25 页 共 33 页 ADC CEB CE AD CD BE DE CE CD AD BE 解 2 ADC CEB ACB 90 ACD CBE 又 AC BC ACD CBE CE AD CD BE DE CE CD AD BE 3 当 MN 旋转到图 3 的位置时 AD DE BE 所满足的等量关系是 DE BE AD 或 AD BE DE BE AD DE 等 ADC CEB ACB 90 ACD CBE 又 AC BC ACD CBE AD CE CD BE DE CD CE BE AD 点评 本题重点考查了三角形全等的判定定理 普通两个三角形全等共有四个定理 即 AAS ASA SAS SSS 直角三角形可用 HL 定理 但 AAA SSA 无法证明三角形全等 再根据全等三角形对应边相等得出结论 15 2012 淮安 阅读理解 如图 1 ABC 中 沿 BAC 的平分线 AB1折叠 剪掉重复部分 将余下部分沿 B1A1C 的平分线 A1B2折叠 剪掉重 复部分 将余下部分沿 BnAnC 的平分线 AnBn 1折叠 点 Bn与点